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基本矩阵的行列式

通过 博士

在本讲座中,我们将研究 行列式 的 基本矩阵。此处得出的结果将用于后续 讲座以证明任何事物的行列式满足的一般特性 矩阵。

目录

基本矩阵

记住 初级 矩阵 是通过执行以下操作获得的方阵 基本行或列 操作 身份 矩阵.

此外,基本矩阵可用于执行基本运算 在其他矩阵上:如果我们对a执行基本行(列)操作 矩阵 A, 这与在单位矩阵上执行给定操作相同 I, 从而得到一个基本矩阵 E, 然后预乘(后乘) A 通过 E.

还请记住,存在三个基本行(列)操作:

接下来将分别分析这三个操作中的每一个 部分。我们将专注于基本行操作。列的结果 操作是类似的。

行乘法矩阵的行列式

让我们从允许执行乘法的基本矩阵开始 由常数决定。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 E 是通过将行的乘积获得的基本矩阵 $ Kimes K $ 单位矩阵 I 由一个常数 $c
eq 0$. 然后,[eq1][eq2]

证明

表示为 $ P $ 全部的集合 排列 的 首先 K 自然数。表示为 $ pi _ {0},以P $ 的排列 K 数字按其自然顺序保留(按升序排列)。以来 $ pi _ {0} $ 不包含任何反转(请参见有关 排列的迹象), 它的奇偶性是偶数,其符号是 [eq3]然后, 单位矩阵的行列式 是[eq4]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实,即所有排列 $ pi $ 除了 $ pi _ {0} $ 的 产品[eq5]涉及 至少一个等于0的非对角线元素(请记住,所有 的对角线元素 I 等于 1 并且所有非对角元素都等于 0)。 现在让我们考虑基本矩阵 E. 唯一的区别 I 是那对角线元素之一 E 等于 $ c $. 结果,我们 有[eq6]假设 第一行 E 已乘以 $ c $, 以便 $ EA $ 是通过将第一行乘以得到的矩阵 A 通过 $ c $. 我们可以写出 $ EA $ 如:[eq7]因此,[eq8]的 假设行乘以 $ c $ 是第一个是不失一般性的(如果是 $ j $-th 行,然后 [eq9] 需要在上式中排除,但结果相同)。

行互换矩阵的行列式

现在让我们处理允许互换的基本矩阵的情况 两排。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 E 是通过交换两个行获得的基本矩阵 $ Kimes K $ 单位矩阵 I. 然后,[eq10][eq11]

证明

为了理解这个证明,我们需要 修改名为“演讲”的演讲中介绍的换位概念 排列的迹象。一种 换位是交换a的任意两个不同元素的操作 排列。换位会更改排列的奇偶校验(它会使 偶数排列(奇数,反之亦然)及其符号。的任何排列 首先 K 自然数可以通过对它们执行一系列运算来获得 换位。换位的数量确定 排列(即使换位数为偶数,否则为奇数)。 假设矩阵 E 从单位矩阵中获得 I 通过交换行 $ k_ {1} $$ k_ {2} $ 并用 $ Q $ 第一组 K 自然数除外 $ k_ {1} $$ k_ {2} $. 对于每个排列 $ pi $ 第一个 K 自然数存在排列 $
何$ 这样 那[eq12]以来 $
何$ 是...的换位 $ pi $, 我们 有[eq13]然后,[eq14]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实,即 E 等于的行 I, 除了 $ k_ {1} $-th 和 $ k_ {2} $-th 互换的;在步 $ rame {B} $ 我们使用了排列的定义 $
何$ 上面给出。的决定因素 $ EA $, 通过互换 $ k_ {1} $-th 和 $ k_ {2} $-th 的行 A, 以类似的方式派生 方式:[eq15]因此,[eq16]

行加法矩阵的行列式

我们分析的最后一种情况是基本矩阵,它允许添加一个 一行到另一行的倍数。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 E 是一个基本矩阵,是通过将矩阵的一行的整数倍相加而获得的 $ Kimes K $ 单位矩阵 I 到另一排。 然后,[eq17][eq18]

证明

假设矩阵 E 从单位矩阵中获得 I 通过添加 $ lpha $$ k_ {1} $-th 排到 $ k_ {2} $-th。 表示为 F 通过替换来从恒等矩阵获得的矩阵 $ k_ {2} $-th 与 $ k_ {1} $-th。 就这样 $ k_ {1} $-th 和 $ k_ {2} $-th 排 F 重合。通过以上关于行互换的命题, 矩阵 $ F ^ {prime} $ 通过互换获得 $ k_ {1} $-th 和 $ k_ {2} $-th 的行 F[eq19]$ F = F ^ {prime} $ 因为我们已经交换了两个相同的行,所以它必须是 那[eq20]哪一个 暗示[eq21]表示 通过 $ Q $ 第一组 K 自然数除外 $ k_ {2} $。然后,[eq22]的 行列式 $ EA $, 通过添加获得 $ lpha $$ k_ {1} $-th 排到 $ k_ {2} $-th 排 A, 以类似的方式得出。让我们用 F 从获得的矩阵 A 通过替换 $ k_ {2} $-th 与 $ k_ {1} $-th。 然后,[eq23]因此,[eq24]

产品的行列式等于行列式的乘积

上面我们证明了所有三种基本矩阵 E 满足 属性[eq25]在 换句话说,涉及基本矩阵的乘积的行列式 等于行列式的乘积。我们将在随后的讲座中证明 这是一个更通用的属性,适用于任何两个平方矩阵。

基本列操作

以上所有命题都涉及用于执行行的基本矩阵 操作。相同的结果适用于列运算,其证明是 几乎一样。这是因为移调确实 不会改变矩阵的行列式(稍后将证明这一事实) 矩阵上的列和列运算 A 可以看作是在其转置上执行的行操作 $ A ^ {op} $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "基本矩阵的行列式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-matrix-determinant.

这本书

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