在本讲座中,我们将研究 行列式 的 基本矩阵。此处得出的结果将用于后续 讲座以证明任何事物的行列式满足的一般特性 矩阵。
记住 初级 矩阵 是通过执行以下操作获得的方阵 基本行或列 操作 在 身份 矩阵.
此外,基本矩阵可用于执行基本运算
在其他矩阵上:如果我们对a执行基本行(列)操作
矩阵
,
这与在单位矩阵上执行给定操作相同
,
从而得到一个基本矩阵
,
然后预乘(后乘)
通过
.
还请记住,存在三个基本行(列)操作:
将行(列)乘以非零常数;
将一行(列)的倍数添加到另一行(列);
互换两行(列)。
接下来将分别分析这三个操作中的每一个 部分。我们将专注于基本行操作。列的结果 操作是类似的。
让我们从允许执行乘法的基本矩阵开始 由常数决定。
主张
让
成为
矩阵。让
是通过将行的乘积获得的基本矩阵
单位矩阵
由一个常数
.
然后,
和
表示为
全部的集合 排列 的
首先
自然数。表示为
的排列
数字按其自然顺序保留(按升序排列)。以来
不包含任何反转(请参见有关
排列的迹象),
它的奇偶性是偶数,其符号是
然后,
单位矩阵的行列式
是
哪里
在步
我们使用了这样一个事实,即所有排列
除了
的
产品
涉及
至少一个等于0的非对角线元素(请记住,所有
的对角线元素
等于
并且所有非对角元素都等于
)。
现在让我们考虑基本矩阵
.
唯一的区别
是那对角线元素之一
等于
.
结果,我们
有
假设
第一行
已乘以
,
以便
是通过将第一行乘以得到的矩阵
通过
.
我们可以写出
如:
因此,
的
假设行乘以
是第一个是不失一般性的(如果是
-th
行,然后
需要在上式中排除,但结果相同)。
现在让我们处理允许互换的基本矩阵的情况 两排。
主张
让
成为
矩阵。让
是通过交换两个行获得的基本矩阵
单位矩阵
.
然后,
和
为了理解这个证明,我们需要
修改名为“演讲”的演讲中介绍的换位概念
排列的迹象。一种
换位是交换a的任意两个不同元素的操作
排列。换位会更改排列的奇偶校验(它会使
偶数排列(奇数,反之亦然)及其符号。的任何排列
首先
自然数可以通过对它们执行一系列运算来获得
换位。换位的数量确定
排列(即使换位数为偶数,否则为奇数)。
假设矩阵
从单位矩阵中获得
通过交换行
和
并用
第一组
自然数除外
和
.
对于每个排列
第一个
自然数存在排列
这样
那
以来
是...的换位
,
我们
有
然后,
哪里:
在步
我们使用了这样一个事实,即
等于的行
,
除了
-th
和
-th
互换的;在步
我们使用了排列的定义
上面给出。的决定因素
,
通过互换
-th
和
-th
的行
,
以类似的方式派生
方式:
因此,
我们分析的最后一种情况是基本矩阵,它允许添加一个 一行到另一行的倍数。
主张
让
成为
矩阵。让
是一个基本矩阵,是通过将矩阵的一行的整数倍相加而获得的
单位矩阵
到另一排。
然后,
和
假设矩阵
从单位矩阵中获得
通过添加
倍
-th
排到
-th。
表示为
通过替换来从恒等矩阵获得的矩阵
-th
与
-th。
就这样
-th
和
-th
排
重合。通过以上关于行互换的命题,
矩阵
通过互换获得
-th
和
-th
的行
是
但
因为我们已经交换了两个相同的行,所以它必须是
那
哪一个
暗示
表示
通过
第一组
自然数除外
。然后,
的
行列式
,
通过添加获得
倍
-th
排到
-th
排
,
以类似的方式得出。让我们用
从获得的矩阵
通过替换
-th
与
-th。
然后,
因此,
上面我们证明了所有三种基本矩阵
满足
属性
在
换句话说,涉及基本矩阵的乘积的行列式
等于行列式的乘积。我们将在随后的讲座中证明
这是一个更通用的属性,适用于任何两个平方矩阵。
以上所有命题都涉及用于执行行的基本矩阵
操作。相同的结果适用于列运算,其证明是
几乎一样。这是因为移调确实
不会改变矩阵的行列式(稍后将证明这一事实)
矩阵上的列和列运算
可以看作是在其转置上执行的行操作
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "基本矩阵的行列式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-matrix-determinant.