基本行操作

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

基本行操作是简单的操作，可以转换 线性方程组 当量 系统，也就是说，进入具有相同解的新方程组 作为原始系统。

有三个基本操作：

• 将方程乘以非零常数；

• 将一个方程式的倍数与另一个方程式相加；

• 互换两个方程。

在本讲座中，我们将展示如何通过以下方式执行这三个操作 使用 矩阵 线性系统的表示 我们将证明它们会产生 等效的系统。

符号

与以前的讲座一样， 线性方程 未知数以矩阵形式编写 如 哪里 是个 系数矩阵 是个 未知向量和 是个 常数向量。

系统的行是 方程式哪里 是个 -th 排 （它包含 -th 等式）和 是个 -th 进入 .

将方程式乘以非零常数

我们考虑的第一个基本运算是一个的乘法 常数方程 .

如果 -th 等式是被乘的那个，那么我们用 方程与 的 方程

的系数和向量的原始矩阵 常数成为所以 新系统 是

可以达到以下相同的结果：

1. 拿 单位矩阵 ;

2. 乘以 -th 排 通过 并表示由此获得的变换矩阵 :

3. 将系统矩阵形式的两边乘以 :

可以很容易地验证 那

在讲座中 当量 系统，我们证明了 是 可逆的，然后是新 系统相当于原来的系统。但是矩阵 以上是可逆的 ( 全职），因为其行 是 线性独立 （它们都不能写成 线性组合 的 其他）。

因此，将方程式乘以非零常数即可得出 系统。

将一个方程式的倍数添加到另一个方程式

我们考虑的第二个基本行操作是倍数的加法 一个方程到另一个方程

假设我们要添加 倍 -th 等式 -th 方程。然后我们用 方程与 的 方程

的系数和向量的原始矩阵 常数 成为所以 新系统 是

可以达到以下相同的结果：

1. 拿 单位矩阵 ;

2. 加 倍 -th 排 到 -th 排 , 并表示由此获得的变换矩阵 :

3. 将矩阵方程的两边都乘以 :

和以前一样 那和 新系统与原始系统等效，因为 是可逆的（其任何行都不能写为 其他）。

换句话说，我们通过添加一行的倍数来获得等效系统 到另一行。

互换两个方程

我们考虑的第三个基本行操作是两个的互换 方程。

我们切换 -th 方程 与 的 -th 方程

的系数和向量的原始矩阵 常数成为所以 新系统 是

可以获得相同的结果，如下所示：

1. 拿 单位矩阵 ;

2. 切换 -th 排 与 -th 行 ( 在原始矩阵中），并通过 :

3. 将系统的两边乘以 :

至于以前的基本操作，我们有 那和 新系统与原始系统等效，因为 是可逆的（ 是一样的 , 但顺序不同；他们形成 标准基础 的空间 向量）。

综上所述，我们通过交换两行（两行 方程式）。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设 是 一个系统 中的方程 未知数。什么是矩阵 允许将第二个方程式与第四个方程式互换（当 系统预乘以 ）？

练习2

假设我们有一个 中的方程 未知数。什么是矩阵 允许将第二个方程式乘以 ?

练习3

假设我们有一个 中的方程 未知数。什么是矩阵 允许将第一个方程添加到第二个方程？

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "基本行操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-row-operations.