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基本行操作

通过 博士

基本行操作是简单的操作,可以转换 线性方程组 当量 系统,也就是说,进入具有相同解的新方程组 作为原始系统。

有三个基本操作:

在本讲座中,我们将展示如何通过以下方式执行这三个操作 使用 矩阵 线性系统的表示 我们将证明它们会产生 等效的系统。

目录

符号

与以前的讲座一样, K 线性方程 $ L $ 未知数以矩阵形式编写 如 [eq1]哪里 A 是个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是个 $酸橙1 $ 未知向量和 $ b $ 是个 Kx1 常数向量。

系统的行是 K 方程式[eq2]哪里 $ A_ {k ullet} $ 是个 k-th 排 A (它包含 k-th 等式)和 $ b_ {k} $ 是个 k-th 进入 $ b $.

将方程式乘以非零常数

我们考虑的第一个基本运算是一个的乘法 常数方程 $lpha 
eq 0$.

如果 k-th 等式是被乘的那个,那么我们用 方程[eq3]与 的 方程[eq4]

的系数和向量的原始矩阵 常数[eq5]成为[eq6]所以 新系统 是[eq7]

可以达到以下相同的结果:

  1. $ Kimes K $ 单位矩阵 I;

  2. 乘以 k-th 排 I 通过 $ lpha $ 并表示由此获得的变换矩阵 $ R $:[eq8]

  3. 将系统矩阵形式的两边乘以 $ R $:[eq9]

可以很容易地验证 那[eq10]

在讲座中 当量 系统,我们证明了 $ R $ 可逆的,然后是新 系统相当于原来的系统。但是矩阵 $ R $ 以上是可逆的 ( 全职),因为其行 是 线性独立 (它们都不能写成 线性组合 的 其他)。

因此,将方程式乘以非零常数即可得出 系统。

考虑三个方程组中的两个方程组 未知数[eq11]那 可以用矩阵形式写成 [eq12]哪里 [eq13]相乘 第二个方程式 $2$, 我们得到等效 系统[eq14]那 可以用矩阵形式写 如 [eq7]哪里[eq16]的 通过1)采取 2元2元 身份 矩阵[eq17]2) 将第二行乘以 $2$ 从而获得 矩阵[eq18]和 3)预乘 A$ b $ 通过 $ R $:[eq19]

将一个方程式的倍数添加到另一个方程式

我们考虑的第二个基本行操作是倍数的加法 一个方程到另一个方程

假设我们要添加 $ lpha $$ j $-th 等式 k-th 方程。然后我们用 方程[eq20]与 的 方程[eq21]

的系数和向量的原始矩阵 常数[eq22] 成为[eq23]所以 新系统 是[eq7]

可以达到以下相同的结果:

  1. $ Kimes K $ 单位矩阵 I;

  2. $ lpha $$ j $-th 排 Ik-th 排 I, 并表示由此获得的变换矩阵 $ R $:[eq25]

  3. 将矩阵方程的两边都乘以 $ R $:[eq9]

和以前一样 那[eq10]和 新系统与原始系统等效,因为 $ R $ 是可逆的(其任何行都不能写为 其他)。

换句话说,我们通过添加一行的倍数来获得等效系统 到另一行。

考虑三个方程组中的三个 未知数[eq28]那 可以用矩阵形式写成 [eq12]哪里 [eq30]让 我们将第二个方程乘以 $-3$ 到第三个。我们得到等效 系统[eq31]那 可以用矩阵形式写 如 [eq7]哪里[eq33]的 通过1)采取 3美金3美金 身份 矩阵[eq34]2) 将第二行乘以 $-3$ 并将其添加到第三个中,以获得 矩阵[eq35]和 3)预乘 A$ b $ 通过 $ R $:[eq36]

互换两个方程

我们考虑的第三个基本行操作是两个的互换 方程。

我们切换 $ j $-th 方程 [eq37]与 的 k-th 方程[eq38]

的系数和向量的原始矩阵 常数[eq39]成为[eq40]所以 新系统 是[eq7]

可以获得相同的结果,如下所示:

  1. $ Kimes K $ 单位矩阵 I;

  2. 切换 $ j $-th 排 Ik-th 行 ($j<k$ 在原始矩阵中),并通过 $ R $:[eq42]

  3. 将系统的两边乘以 $ R $:[eq9]

至于以前的基本操作,我们有 那[eq10]和 新系统与原始系统等效,因为 $ R $ 是可逆的( $ R $ 是一样的 I, 但顺序不同;他们形成 标准基础 的空间 $ 1imes K $ 向量)。

综上所述,我们通过交换两行(两行 方程式)。

考虑三个方程组中的三个 未知数[eq45]那 可以用矩阵形式写成 [eq12]哪里 [eq47]让 我们用第三个方程切换第一个方程。我们得到等效 系统[eq48]那 可以矩阵形式表示 如 [eq7]哪里[eq50]的 也可以通过1)从 3美金3美金 身份 矩阵[eq51]2) 将第一行与第三行切换 一[eq52]和 3)预乘 A$ b $ 通过 $ R $:[eq53]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设 [eq12]是 一个系统 $4$ 中的方程 $3$ 未知数。什么是矩阵 $ R $ 允许将第二个方程式与第四个方程式互换(当 系统预乘以 $ R $)?

矩阵 $ R $ 是通过交换行的 4美金4美金 单位矩阵: [eq55]

练习2

假设我们有一个 $2$ 中的方程 $2$ 未知数。什么是矩阵 $ R $ 允许将第二个方程式乘以 $2$?

矩阵 $ R $ 乘以 $2$ 第二行 2元2元 单位矩阵: [eq56]

练习3

假设我们有一个 $3$ 中的方程 $3$ 未知数。什么是矩阵 $ R $ 允许将第一个方程添加到第二个方程?

矩阵 $ R $ 通过添加第一行获得 3美金3美金 第二个单位矩阵: [eq57]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "基本行操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-row-operations.

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