基本行操作是简单的操作,可以转换 线性方程组 当量 系统,也就是说,进入具有相同解的新方程组 作为原始系统。
有三个基本操作:
将方程乘以非零常数;
将一个方程式的倍数与另一个方程式相加;
互换两个方程。
在本讲座中,我们将展示如何通过以下方式执行这三个操作 使用 矩阵 线性系统的表示 我们将证明它们会产生 等效的系统。
与以前的讲座一样,
线性方程
未知数以矩阵形式编写
如
哪里
是个
系数矩阵
是个
未知向量和
是个
常数向量。
系统的行是
方程式
哪里
是个
-th
排
(它包含
-th
等式)和
是个
-th
进入
.
我们考虑的第一个基本运算是一个的乘法
常数方程
.
如果
-th
等式是被乘的那个,那么我们用
方程
与
的
方程
的系数和向量的原始矩阵
常数成为
所以
新系统
是
可以达到以下相同的结果:
拿
单位矩阵
;
乘以
-th
排
通过
并表示由此获得的变换矩阵
:
将系统矩阵形式的两边乘以
:
可以很容易地验证
那
在讲座中
当量
系统,我们证明了
是 可逆的,然后是新
系统相当于原来的系统。但是矩阵
以上是可逆的
( 全职),因为其行
是 线性独立
(它们都不能写成
线性组合 的
其他)。
因此,将方程式乘以非零常数即可得出 系统。
例
考虑三个方程组中的两个方程组
未知数那
可以用矩阵形式写成
哪里
相乘
第二个方程式
,
我们得到等效
系统
那
可以用矩阵形式写
如
哪里
的
通过1)采取
身份
矩阵
2)
将第二行乘以
从而获得
矩阵
和
3)预乘
和
通过
:
我们考虑的第二个基本行操作是倍数的加法 一个方程到另一个方程
假设我们要添加
倍
-th
等式
-th
方程。然后我们用
方程
与
的
方程
的系数和向量的原始矩阵
常数
成为
所以
新系统
是
可以达到以下相同的结果:
拿
单位矩阵
;
加
倍
-th
排
到
-th
排
,
并表示由此获得的变换矩阵
:
将矩阵方程的两边都乘以
:
和以前一样
那和
新系统与原始系统等效,因为
是可逆的(其任何行都不能写为
其他)。
换句话说,我们通过添加一行的倍数来获得等效系统 到另一行。
例
考虑三个方程组中的三个
未知数那
可以用矩阵形式写成
哪里
让
我们将第二个方程乘以
到第三个。我们得到等效
系统
那
可以用矩阵形式写
如
哪里
的
通过1)采取
身份
矩阵
2)
将第二行乘以
并将其添加到第三个中,以获得
矩阵
和
3)预乘
和
通过
:
我们考虑的第三个基本行操作是两个的互换 方程。
我们切换
-th
方程
与
的
-th
方程
的系数和向量的原始矩阵
常数成为
所以
新系统
是
可以获得相同的结果,如下所示:
拿
单位矩阵
;
切换
-th
排
与
-th
行
(
在原始矩阵中),并通过
:
将系统的两边乘以
:
至于以前的基本操作,我们有
那和
新系统与原始系统等效,因为
是可逆的(
是一样的
,
但顺序不同;他们形成
标准基础 的空间
向量)。
综上所述,我们通过交换两行(两行 方程式)。
例
考虑三个方程组中的三个
未知数那
可以用矩阵形式写成
哪里
让
我们用第三个方程切换第一个方程。我们得到等效
系统
那
可以矩阵形式表示
如
哪里
的
也可以通过1)从
身份
矩阵
2)
将第一行与第三行切换
一
和
3)预乘
和
通过
:
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
假设
是
一个系统
中的方程
未知数。什么是矩阵
允许将第二个方程式与第四个方程式互换(当
系统预乘以
)?
矩阵
是通过交换行的
单位矩阵:
假设我们有一个
中的方程
未知数。什么是矩阵
允许将第二个方程式乘以
?
矩阵
乘以
第二行
单位矩阵:
假设我们有一个
中的方程
未知数。什么是矩阵
允许将第一个方程添加到第二个方程?
矩阵
通过添加第一行获得
第二个单位矩阵:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "基本行操作", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/elementary-row-operations.