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等同的方程式

经过 ,博士学位

Two systems of linear equations 如果且仅当它们具有相同的组 解决方案。换句话说,只有每个系统都是等同的 其中一个的解决方案也是另一个的解决方案。

用于解决线性系统的所有主要方法都基于相同的方法 原则:给定系统,我们将其转换为一个等效的系统 更容易解决;然后,它的解决方案也是原始的解决方案 system.

目录

定义

记住一个系统 K equations in $ l $ 未知数可以用矩阵形式编写 as[eq1]在哪里 A is the $ kimes l $ matrix of coefficients of the system, $ b $ is the Kx1 常量矢量和 x is the $ limes 1 $ vector of unknowns.

定义 Let [eq2][eq3]是 两个线性系统,都有 $ limes 1 $ vector of unknowns x. 如果它们具有相同的解决方案,则两个系统是等效的, that is, if and only if[eq4]

如何将系统转换为相同的系统

可以将等式系统逐个转换为相同的系统 预先乘以其矩阵形式的两侧 可逆 matrix.

主张 The system of K equations in $ l $ unknowns[eq5]是 equivalent to the system[eq6]为了 any invertible $ kimes k $ matrix $ r $.

证明

认为 x solves the system[eq7]那 is, $ ax $ and $ b $ 是相同的矢量。显然,如果我们预先乘以相同的矢量相同 matrix $ r $, 我们得到了相同的结果。作为结果, [eq8]哪一个 is the same as[eq6]因此, we have proved that[eq10]现在, suppose x solves the system[eq6]我们 have assumed that $ r $ 是可逆的,所以它的逆 $ r ^ { -  1} $ 存在。我们可以预先乘以最后一个等式的两侧 $ r ^ { -  1} $ and obtain[eq12]或者[eq13]自从 $ r ^ { -  1} r = i $, we have[eq14]因此, we have proved that[eq15]哪一个, 与以前衍生的含义一起, gives[eq16]那 is, x 是两个系统之一的解决方案,如果它是一个解决方案 另一个。换句话说,这两个系统是等效的。

例子 考虑两个方程的系统 unknowns[eq17]这 系统可以用矩阵形式写入 as[eq18]在哪里[eq19]如果 我们将第一个等式乘以 $2$ 并使第二方程保持不变,我们获得了一个新的 system[eq20]这 新系统的矩阵形式 is[eq3]在哪里[eq22]这 新系统相当于原始的系统,因为可以是相同的结果 通过预先乘以原始系统的矩阵形式来实现 invertible matrix[eq23]在 fact,[eq24][eq25]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "等同的方程式", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/equivalent-systems-of-equations.

这本书

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