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统计列克特
指数 > 矩阵代数

等价方程组

通过 博士

的真人在线斗地主 线性方程组 当且仅当它们具有相同的一组时才是等效的 解决方案。换句话说,当且仅当每个 其中一个的解决方案也是另一个的解决方案。

用于求解线性真人在线斗地主的所有主要方法都基于相同的 原理:给定一个真人在线斗地主,我们将其转换为一个等效真人在线斗地主,即 更容易解决;那么,它的解决方案也是原来的解决方案 真人在线斗地主。

目录

定义

请记住, K 中的方程 $ L $ 未知数可以矩阵形式写 如 [eq1]哪里 A 是个 $ Kimes L $ 矩阵 的系数 真人在线斗地主, $ b $ 是个 Kx1 常数向量和 x 是个 $酸橙1 $ 向量的未知数。

定义[eq2][eq3]是 两个线性真人在线斗地主 $酸橙1 $ 未知向量 x. 当且仅当它们具有相同的解决方案时,这两个真人在线斗地主才是等效的, 也就是说,当且仅当 如果[eq4]

如何将真人在线斗地主转换为等效真人在线斗地主

方程组可以通过 将矩阵形式的两边预先乘以 可逆矩阵.

主张 真人在线斗地主 K 中的方程 $ L $ 未知数[eq5]是 相当于 真人在线斗地主[eq6]对于 任何可逆的 $ Kimes K $ 矩阵 $ R $.

证明

假设 x 解决 真人在线斗地主[eq7]那 是的 $ Ax $$ b $ 是相同的向量。显然,如果我们将相同的向量乘以相同的 矩阵 $ R $, 我们得到相同的结果。作为结果, [eq8]哪一个 是一样的 如 [eq6]从而, 我们已经证明 那[eq10]现在, 假设 x 解决 真人在线斗地主[eq6]我们 假设 $ R $ 是可逆的,所以它的逆 $ R ^ {-1} $ 存在。我们可以将最后一个方程式的两边都乘以 $ R ^ {-1} $ 和 获得[eq12]要么[eq13]以来 $ R ^ {-1} R = I $, 我们 有[eq14]从而, 我们已经证明 那[eq15]哪一个, 连同先前得出的含义, 给[eq16]那 是的 x 是两个真人在线斗地主之一的解决方案,当且仅当它是 另外一个。换句话说,这两个真人在线斗地主是等效的。

考虑两个方程组中的两个 未知数[eq17]的 真人在线斗地主可以矩阵形式编写 如 [eq18]哪里[eq19]如果 我们将第一个方程乘以 $2$ 并保持第二个方程不变,我们得到一个新的 真人在线斗地主[eq20]的 新真人在线斗地主的矩阵形式 是[eq3]哪里[eq22]的 新真人在线斗地主与原始真人在线斗地主等效,因为可以得到相同的结果 通过将原始真人在线斗地主的矩阵形式预先乘以 可逆的 矩阵[eq23]在 事实,[eq24][eq25]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "等价方程组", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/equivalent-systems-of-equations.

这本书

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