等同的方程式

经过 Marco Taboga.，博士学位

Two systems of linear equations 如果且仅当它们具有相同的组解决方案。换句话说，只有每个系统都是等同的其中一个的解决方案也是另一个的解决方案。

用于解决线性系统的所有主要方法都基于相同的方法原则：给定系统，我们将其转换为一个等效的系统更容易解决;然后，它的解决方案也是原始的解决方案 system.

定义
如何将系统转换为相同的系统

定义

记住一个系统 equations in 未知数可以用矩阵形式编写 as在哪里 is the matrix of coefficients of the system, is the 常量矢量和 is the vector of unknowns.

定义 Let 和是两个线性系统，都有 vector of unknowns . 如果它们具有相同的解决方案，则两个系统是等效的， that is, if and only if

如何将系统转换为相同的系统

可以将等式系统逐个转换为相同的系统预先乘以其矩阵形式的两侧可逆 matrix.

主张 The system of equations in unknowns是 equivalent to the system为了 any invertible matrix .

证明

认为 solves the system那 is, and 是相同的矢量。显然，如果我们预先乘以相同的矢量相同 matrix , 我们得到了相同的结果。作为结果，哪一个 is the same as因此， we have proved that现在， suppose solves the system我们 have assumed that 是可逆的，所以它的逆 $r ^ { - 1}$ 存在。我们可以预先乘以最后一个等式的两侧 $r ^ { - 1}$ and obtain或者自从 $r ^ { - 1} r = i$ , we have因此， we have proved that哪一个，与以前衍生的含义一起， gives那 is, 是两个系统之一的解决方案，如果它是一个解决方案另一个。换句话说，这两个系统是等效的。

例子考虑两个方程的系统 unknowns [eq17] 这系统可以用矩阵形式写入 as在哪里 [eq19] 如果我们将第一个等式乘以并使第二方程保持不变，我们获得了一个新的 system [eq20] 这新系统的矩阵形式 is在哪里 [eq22] 这新系统相当于原始的系统，因为可以是相同的结果通过预先乘以原始系统的矩阵形式来实现 invertible matrix [eq23] 在 fact, [eq24] 和 [eq25]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "等同的方程式", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/equivalent-systems-of-equations.

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