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四个基本子空间

通过 博士

a的四个基本子空间 矩阵 是范围和 由矩阵及其转置定义的线性图的核。他们是 通过几个有趣的关系相互联系。

目录

符号

在下文中,我们用以下方式表示:

目前,我们不会指定是否 向量是实数还是复数。

此外,我们认为 $ Kimes L $ 矩阵 A, 定义了 线性图 [eq1]那 与任何人有关 $酸橙1 $ 向量 $ s $Kx1 产品 $ 如 $:[eq2]

定义 [eq3] 矩阵 [eq4]的 关联的线性图变换 $ 3imes 1 $ 向量进入 $ 2imes 1 $ 向量。对于 实例[eq5][eq6]

列空间

第一个基本子空间是 范围 线性图的 被定义为 A:[eq7]哪一个 叫做 列空间A.

考虑矩阵 A 在前面的示例中介绍。我们可以写一个产品 $ 如 $[eq8]因此, 的列空间 A 是个 跨度 两列 向量:[eq9]

一般而言, A 是其列的跨度。

空空间

第二个基本空间是 核心 线性图的 被定义为 A:[eq10]哪一个 叫做 空空间A.

我们不断定义 A 如上例所示。在那里,我们展示了 那[eq11]从 很明显 $As=0$ 当且仅当 $ s_ {1} = s_ {3} = 0 $, 在这种情况下 $ s_ {2} $ 可以取任何值。因此,零空间的所有向量都具有 形成[eq12]哪里 标量 $ lpha $ 可以任意选择。换句话说,的零空间 A 是一个的线性跨度 向量:[eq13]

行空间

让我们考虑第二个线性图 $ g:T
ightarrow S $, 被定义为 [eq14]

第三个基本子空间是由 $ A ^ {op} $:[eq15]哪一个 叫做 行空间A.

我们继续使用与前面的示例相同的矩阵。 从而,[eq16][eq17]所以, 的行空间 A 是两个的跨度 向量:[eq18]

左侧空空间

第四个基本空间是由 $ A ^ {op} $:[eq19]哪一个 叫做 左侧空空间A.

在前面的示例中,我们有 那[eq20]因此, $ A ^ {op} t = 0 $ 当且仅当 $ t_ {1} = t_ {2} = 0 $. 因此, A 仅包含零 向量:[eq21]

四个子空间的尺寸如何关联

尺寸 的 这四个子空间彼此相关。

一个产品 $ 如 $ 可以写成 线性的 列的组合A:[eq22]哪里 线性组合的系数 [eq23]$ L $ 的条目 $ s $. 因此,尺寸 [eq24] 是个 列等级A.

同样,一个产品 $ A ^ {op} t $ 可以看作是行的线性组合 A 带有系数 [eq25]. 因此,尺寸 [eq26] 是的行列 A.

我们之前已经证明 行 和列排名一致, 是的[eq27]

等级无效 定理, 我们有 [eq28][eq29]

通过组合(1),(2)和(3),我们可以得到许多有趣的关系。 四个子空间的尺寸。

例如,两者 [eq26][eq31] 是的子空间 $ S $ 和我们 有[eq32]

同样, [eq33][eq34] 是的子空间 $ T $ 和我们 有[eq35]

在前面的示例中, A 是一个 2元3元 矩阵。因此,我们有 [eq36][eq37]. 我们已经显示 那[eq38]以来 跨越的两个向量 [eq33] 线性独立, 我们 有[eq40]此外, 我们发现 那[eq41]哪一个 暗示[eq42]从而,[eq43]

正交互补

当矩阵 A 是实数(即其条目是实数),而不仅是 四个基本子空间相互关联,但四个空间形成 两对正交互补。

主张 如果 A 是真实的,这两个子空间 [eq26][eq45] 正交的 补品.

证明

根据定义, [eq46][eq47]哪里 [eq48] 是标准 内部产品 对于 实向量的空间。但 [eq49] 当且仅当存在时 $锡T $ 这样 $ A ^ {op} t = r $. 从而,[eq50]此外,[eq51]如 结果,我们 有[eq52]以来 $ 如in T $[eq53] 每一个 $锡T $, 我们 有[eq54]哪一个, 由内积的确定性表示 [eq55]因此,[eq56]

主张 如果 A 是真实的,这两个子空间 [eq33][eq58] 是正交补码。

证明

根据定义, [eq33][eq60][eq61] 当且仅当存在时 $罪S $ 这样 $ 如 = u $. 从而,[eq62]此外,[eq63]如 结果,我们 有[eq64]以来 $ A ^ {op}锡币S $[eq65] 每一个 $罪S $, 我们 有[eq66]哪一个, 由内积的确定性表示 [eq67]因此,[eq68]

结果,该域 $ S $ 和共域 $ T $ 的线性图可以写成两个 直接 总和:[eq69]

在前面的示例中,我们 有[eq70][eq71]A 通用向量 [eq72] 可以写 如 [eq73]哪里 $ lpha $$ eta $ 是标量。任何向量 [eq74] 可以写 如 [eq75]的 向量之间的内积 [eq26] 和向量 [eq77][eq78]哪一个 显示来自两个子空间的向量对是正交的,如 预期。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设一个 $ 5动漫3 $ 矩阵 A 全职。找出 四个子空间的尺寸。

我们从矩阵的维度推断 那[eq79][eq80]以来 矩阵是满秩的,我们 有[eq81]此外, 根据秩为零定理,我们有 [eq82][eq83]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "四个基本子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/four-fundamental-subspaces.

这本书

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