a的四个基本子空间 矩阵 是范围和 由矩阵及其转置定义的线性图的核。他们是 通过几个有趣的关系相互联系。
在下文中,我们用以下方式表示:
所有空间
列向量;
所有空间
列向量。
目前,我们不会指定是否 向量是实数还是复数。
此外,我们认为
矩阵
,
定义了 线性图
那
与任何人有关
向量
的
产品
:
例
定义
矩阵
的
关联的线性图变换
向量进入
向量。对于
实例
和
第一个基本子空间是
范围 线性图的
被定义为
:
哪一个
叫做 列空间 的
.
例
考虑矩阵
在前面的示例中介绍。我们可以写一个产品
如
因此,
的列空间
是个 跨度 两列
向量:
一般而言,
是其列的跨度。
第二个基本空间是
核心 线性图的
被定义为
:
哪一个
叫做 空空间 的
.
例
我们不断定义
如上例所示。在那里,我们展示了
那
从
很明显
当且仅当
,
在这种情况下
可以取任何值。因此,零空间的所有向量都具有
形成
哪里
标量
可以任意选择。换句话说,的零空间
是一个的线性跨度
向量:
让我们考虑第二个线性图
,
被定义为
第三个基本子空间是由
:
哪一个
叫做 行空间 的
.
例
我们继续使用与前面的示例相同的矩阵。
从而,和
所以,
的行空间
是两个的跨度
向量:
第四个基本空间是由
:
哪一个
叫做 左侧空空间 的
.
例
在前面的示例中,我们有
那因此,
当且仅当
.
因此,
仅包含零
向量:
的 尺寸 的 这四个子空间彼此相关。
一个产品
可以写成
线性的
列的组合 的
:
哪里
线性组合的系数
是
的条目
.
因此,尺寸
是个 列等级 的
.
同样,一个产品
可以看作是行的线性组合
带有系数
.
因此,尺寸
是的行列
.
我们之前已经证明 行
和列排名一致,
是的
由 等级无效
定理, 我们有
和
通过组合(1),(2)和(3),我们可以得到许多有趣的关系。 四个子空间的尺寸。
例如,两者
和
是的子空间
和我们
有
同样,
和
是的子空间
和我们
有
例
在前面的示例中,
是一个
矩阵。因此,我们有
和
.
我们已经显示
那
以来
跨越的两个向量
是 线性独立,
我们
有
此外,
我们发现
那
哪一个
暗示
从而,
当矩阵
是实数(即其条目是实数),而不仅是
四个基本子空间相互关联,但四个空间形成
两对正交互补。
主张
如果
是真实的,这两个子空间
和
是 正交的
补品.
根据定义,
是
哪里
是标准 内部产品 对于
实向量的空间。但
当且仅当存在时
这样
.
从而,
此外,
如
结果,我们
有
以来
和
每一个
,
我们
有
哪一个,
由内积的确定性表示
因此,
主张
如果
是真实的,这两个子空间
和
是正交补码。
根据定义,
是
但
当且仅当存在时
这样
.
从而,
此外,
如
结果,我们
有
以来
和
每一个
,
我们
有
哪一个,
由内积的确定性表示
因此,
结果,该域
和共域
的线性图可以写成两个
直接
总和:
例
在前面的示例中,我们
有和
A
通用向量
可以写
如
哪里
和
是标量。任何向量
可以写
如
的
向量之间的内积
和向量
是
哪一个
显示来自两个子空间的向量对是正交的,如
预期。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
假设一个
矩阵
是 全职。找出
四个子空间的尺寸。
我们从矩阵的维度推断
那和
以来
矩阵是满秩的,我们
有
此外,
根据秩为零定理,我们有
和
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "四个基本子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/four-fundamental-subspaces.