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四个基本子空间

通过 博士

a的四个基本子空间 矩阵 是范围和 由矩阵及其转置定义的线性图的核。他们是 通过几个有趣的关系相互联系。

目录

目录

  1. 符号

  2. 列空间

  3. 空空间

  4. 行空间

  5. 左侧空空间

  6. 四个子空间的尺寸如何关联

  7. 正交互补

  8. 解决的练习

    1. 练习1

符号

在下文中，我们用以下方式表示：

目前，我们不会指定是否 向量是实数还是复数。

此外，我们认为 $ Kimes L $ 矩阵 A, 定义了 线性图 [eq1]那 与任何人有关 $酸橙1 $ 向量 $ s $ 的 Kx1 产品 $ 如 $:[eq2]

例 定义 [eq3] 矩阵 [eq4]的 关联的线性图变换 $ 3imes 1 $ 向量进入 $ 2imes 1 $ 向量。对于 实例[eq5]和[eq6]

列空间

第一个基本子空间是 范围 线性图的 被定义为 A:[eq7]哪一个 叫做 列空间 的 A.

例 考虑矩阵 A 在前面的示例中介绍。我们可以写一个产品 $ 如 $ 如 [eq8]因此， 的列空间 A 是个 跨度 两列 向量：[eq9]

一般而言， A 是其列的跨度。

空空间

第二个基本空间是 核心 线性图的 被定义为 A:[eq10]哪一个 叫做 空空间 的 A.

例 我们不断定义 A 如上例所示。在那里，我们展示了 那[eq11]从 很明显 $As=0$ 当且仅当 $ s_ {1} = s_ {3} = 0 $, 在这种情况下 $ s_ {2} $ 可以取任何值。因此，零空间的所有向量都具有 形成[eq12]哪里 标量 $ lpha $ 可以任意选择。换句话说，的零空间 A 是一个的线性跨度 向量：[eq13]

行空间

让我们考虑第二个线性图 $ g：T ightarrow S $, 被定义为 [eq14]

第三个基本子空间是由 $ A ^ {op} $:[eq15]哪一个 叫做 行空间 的 A.

例 我们继续使用与前面的示例相同的矩阵。 从而，[eq16]和[eq17]所以， 的行空间 A 是两个的跨度 向量：[eq18]

左侧空空间

第四个基本空间是由 $ A ^ {op} $:[eq19]哪一个 叫做 左侧空空间 的 A.

例 在前面的示例中，我们有 那[eq20]因此， $ A ^ {op} t = 0 $ 当且仅当 $ t_ {1} = t_ {2} = 0 $. 因此， A 仅包含零 向量：[eq21]

四个子空间的尺寸如何关联

的 尺寸 的 这四个子空间彼此相关。

一个产品 $ 如 $ 可以写成 线性的 列的组合 的 A:[eq22]哪里 线性组合的系数 [eq23] 是 $ L $ 的条目 $ s $. 因此，尺寸 [eq24] 是个 列等级 的 A.

同样，一个产品 $ A ^ {op} t $ 可以看作是行的线性组合 A 带有系数 [eq25]. 因此，尺寸 [eq26] 是的行列 A.

我们之前已经证明 行 和列排名一致， 是的[eq27]

由 等级无效 定理， 我们有 [eq28]和[eq29]

通过组合（1），（2）和（3），我们可以得到许多有趣的关系。 四个子空间的尺寸。

例如，两者 [eq26] 和 [eq31] 是的子空间 $ S $ 和我们 有[eq32]

同样， [eq33] 和 [eq34] 是的子空间 $ T $ 和我们 有[eq35]

例 在前面的示例中， A 是一个 2元3元 矩阵。因此，我们有 [eq36] 和 [eq37]. 我们已经显示 那[eq38]以来 跨越的两个向量 [eq33] 是 线性独立, 我们 有[eq40]此外， 我们发现 那[eq41]哪一个 暗示[eq42]从而，[eq43]

正交互补

当矩阵 A 是实数（即其条目是实数），而不仅是 四个基本子空间相互关联，但四个空间形成 两对正交互补。

主张 如果 A 是真实的，这两个子空间 [eq26] 和 [eq45] 是 正交的 补品.

证明

根据定义， [eq46] 是[eq47]哪里 [eq48] 是标准 内部产品 对于 实向量的空间。但 [eq49] 当且仅当存在时 $锡T $ 这样 $ A ^ {op} t = r $. 从而，[eq50]此外，[eq51]如 结果，我们 有[eq52]以来 $ 如in T $ 和 [eq53] 每一个 $锡T $, 我们 有[eq54]哪一个， 由内积的确定性表示 [eq55]因此，[eq56]

主张 如果 A 是真实的，这两个子空间 [eq33] 和 [eq58] 是正交补码。

证明

根据定义， [eq33] 是[eq60]但 [eq61] 当且仅当存在时 $罪S $ 这样 $ 如 = u $. 从而，[eq62]此外，[eq63]如 结果，我们 有[eq64]以来 $ A ^ {op}锡币S $ 和 [eq65] 每一个 $罪S $, 我们 有[eq66]哪一个， 由内积的确定性表示 [eq67]因此，[eq68]

结果，该域 $ S $ 和共域 $ T $ 的线性图可以写成两个 直接 总和:[eq69]

例 在前面的示例中，我们 有[eq70]和[eq71]A 通用向量 [eq72] 可以写 如 [eq73]哪里 $ lpha $ 和 $ eta $ 是标量。任何向量 [eq74] 可以写 如 [eq75]的 向量之间的内积 [eq26] 和向量 [eq77] 是[eq78]哪一个 显示来自两个子空间的向量对是正交的，如 预期。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设一个 $ 5动漫3 $ 矩阵 A 是 全职。找出 四个子空间的尺寸。

解

我们从矩阵的维度推断 那[eq79]和[eq80]以来 矩阵是满秩的，我们 有[eq81]此外， 根据秩为零定理，我们有 [eq82]和[eq83]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "四个基本子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/four-fundamental-subspaces.

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