矩阵的广义特征向量
是用于与的特征向量一起构成基础的向量
当后者不足以形成基础时(因为矩阵是
有缺陷的)。
我们从一个正式的定义开始。
定义
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
.
A
非零向量
据说是的广义特征向量
与特征值相关
当且仅当存在整数时
这样
那
哪里
是个
单位矩阵.
注意 普通
特征向量
满足
因此,普通特征向量也是广义特征向量。然而, 相反,不一定是正确的。
例
定义
矩阵它的
特性
多项式 是
哪里
在步
我们已经使用了
拉普拉斯
扩张。因此,唯一的特征值
代数的
多重性 等于
)
是
的
向量
满足
因此,
是...的特征向量
.
我们
有
的
向量
满足
因此
它是一个广义的特征向量。
以下准则可以用作广义的等效定义 特征向量。
主张
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
.
非零向量
是的广义特征向量
与特征值相关
当且仅当
“ 如果”部分微不足道,因为任何非零
向量
满意的是
根据定义,广义特征向量为
.
现在让我们证明“仅当”部分。让
成为所有人的空间
向量。假设广义特征向量
满足
对于
给定的整数
.
正如关于
矩阵幂,null
空间
变成
通过增加而更大
,
但它不能更大
比
在
其他
话,
对于
任何整数
.
作为一个
后果,
那
是的
满足
现在,我们定义广义特征向量的秩。
定义
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
.
让
是...的广义特征向量
与特征值相关
.
我们说
是等级的广义特征向量
当且仅
如果
因此,秩的广义特征向量
是一个普通的特征向量。
与特征值相关的所有广义特征向量的集合称为 广义本征空间。
定义
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
.
所有广义特征向量的集合(加上零
向量)
是
称为与
.
请注意,我们已经证明(请参见上面的等效定义)
空空间
包含所有广义特征向量。但是,它也包括
零向量,它不是广义特征向量。
由于广义本征空间是
空空间 的
的力量
,
它具有两个重要属性:
它是一个线性子空间(因为所有空空间都是);
它是 不变的 尊重地
到由定义的线性变换
(看到 矩阵的零空间
多项式),
是的
每当
.
第二点的明显结果是
那
对于任何
和
任何
.
对应于两个不同特征值的两个特征空间只有零 向量的共同点。
主张
让
成为
矩阵。让
和
是的两个不同特征值
(即
)。
然后,它们的广义本征空间满足
我们将使用以下内容
符号:的
证明是矛盾的。假设
是属于两个广义交集的非零向量
本征空间。让
是这样的最小整数
那
所以
那
哪一个
暗示
是
与相关的特征向量
.
显然,
.
注意
通过重复申请获得
的
转型
哪一个
地图
本身,因为两者
和
地图
本身(后者通过上面讨论的不变属性)。因此,不是
只要
,
但是也
,
那
是的
以来
是一个特征向量,非零
和
此外,
它是一个与
,
这意味着它不能同时是与
(因为
特征向量
对应于不同的特征值是线性独立的)。作为一个
后果,
对于
任何
,
我们有
因此,
不是与关联的广义特征向量
.
因此,我们陷入了矛盾。结果,零向量为
属于两个广义交集的唯一向量
本征空间。
由于我们在本讲座中发现的事情,我们可以改进 我们对最小多项式的理解。
请记住 最小的
多项式 的
是个 消灭
多项式 (即
)
具有最低的学历,可以写成
如
哪里
是...的独特特征值
.
主张
让
成为
矩阵。让
是...的最小多项式
:
然后,
对于
,
指数
是与关联的广义特征向量的秩
具有最高的排名。
我们将证明
案子
.
其他情况相似。首先,我们将证明
存在秩的广义特征向量
.
定义
和
注意
那
因为
除此以外
不会是最小的。因此,存在一个非零
向量
这样
那
定义
然后,
和
从而,
哪一个
暗示
是等级的广义特征向量
.
现在我们需要证明不存在的广义特征向量
更高的等级。证明是矛盾的。假设存在一个
广义特征向量
等级较高的
那
对于
.
定义
然后,
因子
最小多项式
如
以来
是一个ni灭的多项式,我们
有
定义
从而,
哪一个
暗示
.
但
哪一个
暗示
.
这是不可能的,因为
不为零,并且
和
共有零向量(它们可用于形成一个零向量
直接和,如
讲座
一次分解
定理;因此,它们必须仅具有零向量)。因此,
我们得出了一个矛盾和最初的假设
存在等级的广义特征向量
一定是错的。
因此,指数
在最小多项式中提供了两个关键信息:
存在至少一个秩的广义特征向量
关联到
;
没有与之相关的广义特征向量
排名可以大于
.
这两个方面的一个相当重要的结果是
那哪一个
在本课结束时,通过一个已解决的练习详细证明了这一点。
换句话说,广义本征空间与
是的空空间
.
我们已经知道
那
但是指数
告诉我们确切的时间何时停止空格
生长:
哪里
表示严格包含。
因此,使用有关讲座的介绍中引入的术语
范围零空间
分解,
是矩阵的索引
.
让
成为所有人的空间
向量和
a
矩阵。
在上一讲中,我们证明了
一次分解
定理,表示向量空间
可以写
如
哪里
表示一个 直接和,
是...的独特特征值
和
与出现在
最小多项式.
结果,通过直接和的定义,我们能够唯一
写每个向量
如
哪里
对于
.
因此,我们可以使用来重新解释/重新陈述主分解定理
在本讲座中介绍的术语:向量空间
可以写成广义本征空间和每个向量的直接和
可以写成对应于不同的广义特征向量之和
特征值。
重述的一次分解定理的直接结果 以上,如下。
主张
让
成为所有人的空间
向量。让
是一个矩阵。然后,存在一个
基础 对于
由的广义特征向量形成
.
为每个广义选择一个基础
本征空间并写出每个向量
在等式(1)中作为基础的线性组合
.
因此,我们可以写任何
作为广义特征向量的线性组合,以及
广义特征空间的基础
跨度
.
联合的矢量是线性独立的,因为
是特征空间的直接和。因此,工会是
.
将这个结果与
讲座
线性的
特征向量的独立性:虽然并非总是可能形成一个
的(普通)特征向量的基础
,
总是有可能形成广义特征向量的基础!
每个广义特征空间的维数等于代数 对应特征值的多重性。
主张
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
具有等于的代数多重性
.
让
是
关联到的广义本征空间
.
然后, 尺寸
的
是
.
由
舒尔分解
定理,存在一个 酉
矩阵
这样
那
哪里
是 上三角 和
表示 共轭
转置 的
.
以来
和
是 类似,它们具有相同的
特征值。此外,可以以这种方式执行舒尔分解
那最后
对角线上的条目
等于
.
我们
有
和
写
矩阵
作为块三角形
矩阵
哪里
是一个上三角矩阵,其主元素上具有严格的正项
对角线,
是一个上三角矩阵,其主对角线为零,并且
表示可能为非零条目的通用矩阵。我们
有
的
块
是上三角形,其对角线严格为正,而
(通过一个简单的归纳论证,该论证与证明中使用的论证非常相似
的 凯利·汉密尔顿
定理)。首先
的行
显然是线性独立的,而最后一个
为零。因此, 秩
的
是
.
以来
是全职的,并且
乘以
全等级方阵保留等级,也
有等级
.
然后, 等级无效
定理 让我们获得想要的
结果:
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
在上面的示例中,我们发现了两个广义特征向量
矩阵能够
您找到了第三个广义特征向量,从而完成了
广义特征向量?
我们已经找到了广义
特征向量
满意的
和
广义的
特征向量
满意的
现在,
我们
计算
和,
例如,
向量
满足
此外,
是空间的基础
向量(也就是所谓的
标准基础)。
让
成为
矩阵。让
是...的特征值
和
它在最小多项式中的对应指数。我们已经证明
存在至少一个秩的广义特征向量
关联到
而且没有与之相关的广义特征向量
排名可以大于
.
当这些事实暗示时,请详细解释
那
以来
小于或等于的代数多重性
而后者小于或等于
,
我们有
.
因此, 矩阵的性质
权力,
现在
假设
,
所以
那
以来
广义特征向量的秩不能大于
,
肯定是
那
因此,
和
的
通过组合(2)和(3)获得指定的结果。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "广义特征向量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/generalized-eigenvector.