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多真人在线斗地主的最大公约数

通过 博士

给定多真人在线斗地主的最大公约数(gcd)是 “最大”一元多真人在线斗地主,精确地划分给定的所有成员 组。

目录

初赛

在介绍gcd之前,我们将回顾多真人在线斗地主的基础 (在本节中)及其划分(在下一节中)。

F 是一个字段(例如,实数集 R 或复数集 $ U {2102} $)。

A 多真人在线斗地主 的 度 $ m $ 是一个功能 $ f:F
ightarrow F $ 定义的 通过[eq1]哪里 $ m $ 是一个非负整数,系数 [eq2] 和论点 $ z $ 属于 F, 和 $a_{m}
eq 0$.

从现在开始,除非另有说明, 我们总是假设所有 多真人在线斗地主在同一字段上定义 F.

当领先系数 $ a_ {m} $ 等于 1, 那么我们说多真人在线斗地主是一元的

什么时候 $ fleft(z
权)$ 等于零,按照惯例,多真人在线斗地主的次数为 in.

多真人在线斗地主的次数 $ f $ 通常用 [eq3].

部门审查

二分法 多真人在线斗地主 $ f $$ g $ (与 [eq4]) 通过找到唯一的多真人在线斗地主商来执行 $ q $ 这样 [eq5][eq6]. 有两种情况:

通过使用所谓的除法算法,我们不仅能够证明 这样的多真人在线斗地主 $ q $ 存在,但我们实际上可以计算 $ q $.

如果剩余 $ r $, 通常本身就是一个多真人在线斗地主,等于零 是的 如果[eq10]然后 我们说 $ g $ 是...的除数 $ f $ (或者那个 $ g $ 分界 $ f $, 或者那个 $ f $ 被...整除 $ g $) 和我们 写[eq11]

考虑多真人在线斗地主 [eq12] 被定义为 [eq13]然后 $ left(4 + z
权)$[eq14] 是...的除数 $ f $. 这些不是除数的唯一除数 $ f $. 例如, [eq15] 是...的除数 $ f $ 因为[eq16]

离子除数

前面的示例突出了一个有趣的事实: $ g $ 是...的除数 $ f $, 然后,对于任何标量 $c
eq 0$, $ cg $ 也是...的除数 $ f $. 因此,我们可以通过取任意数来生成无数个除数 任何除数的标量倍数。

为了避免处理无数个除数,我们经常关注 关于一元除数,即其前导系数为 1.

在前面的示例中,我们可以编写多真人在线斗地主 $ f $[eq17]从 我们可以看到 $ left(4 + z
权)$[eq18] 是...的除数 $ f $. 还有 多真人在线斗地主[eq19]是 的单数除数 $ f $.

常见除数

我们现在提供一个简单的定义,随后将有助于定义 最大公约数。

定义[eq20] 是多真人在线斗地主。我们说一个多真人在线斗地主 $ g $ 是...的除数 [eq21] 当且仅当它是一元的 和[eq22]对于 $ j = 1,ldots,n $.

这是一个例子。

[eq23]然后, 的 多真人在线斗地主[eq24]是 一元货币,它分为两个 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 因此, $ g $ 是...的除数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $.

GCD

现在,我们准备定义最大公约数。

定义[eq25] 是多真人在线斗地主。一个常见的除数 $ g $[eq26] 是一个最大的公约数,当且仅当 [eq27]对于 其他所有共同的因数 $ d $, 在这种情况下,我们 写[eq28]

换句话说,gcd是 可除以的除数 所有常见的除数.

下一部分提供了GCD的最简单示例。

两个多真人在线斗地主的GCD,其中之一为零

我们立即注意到,当 $f
eq 0$, 我们 有[eq29]哪里 $ a_ {m} $ 是...的前导系数 $ f $.

证明

以来 任何多真人在线斗地主除以 零多真人在线斗地主,的共同除数 $ f $0 是...的所有除数 $ f $. 1)除的唯一一元多真人在线斗地主 $ f $ 和2)被...的所有单数除数 $ f $ 是: $ frac {1} {a_ {m}} f $. 因此 $ frac {1} {a_ {m}} f $ 是的gcd $ f $0.

两个可除多真人在线斗地主的GCD

这是另一个简单的例子。什么时候 $ f_ {1} | f_ {2} $, 然后[eq30]哪里 $ a_ {m} $ 是...的前导系数 $ f_ {1} $.

证明

以来 $ f_ {1} | f_ {2} $, 的所有除数 $ f_ {1} $ 也是...的除数 $ f_ {2} $. 因此,公共除数的集合与单数除数的集合一致 的 $ f_ {1} $. 如上一节所述,这意味着 $ frac {1} {a_ {m}} f $ 是gcd。

欧几里得算法

gcd存在的证明是基于所谓的欧几里得 算法,实际上允许计算gcd。

在介绍欧几里得算法之前,我们需要介绍以下内容 初步结果。

主张$ f_ {1} $$ f_ {2} $ 是两个多真人在线斗地主。 让[eq31]是 除法算法的结果,其中 $ q $ 是商, $ r $ 是其余的。然后, [eq32]如果 而且只有 如果[eq33]

证明

让我们证明“如果”部分,从 (2)成立的假设。然后我们 有[eq34]哪里 我们用 $ f_ {2} / g $$ r / g $ 除以得到的商 $ f_ {2} $$ r $ 通过 $ g $. 从而, $ g | f_ {1} $, 和 $ g $ 是...的除数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 假设存在另一个公共除数 $ d $$ f_ {1} $$ f_ {2} $ (事实A)。 然后,[eq35]哪一个 暗示 $ d $ 是...的除数 $ r $ 因此, $ f_ {2} $$ r $. 因此,根据初始假设(等式2),必须是 $ d | g $ (事实B)。事实A和事实B暗示 $ g $ 是...的最大公约数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 现在让我们从以下假设开始证明“仅当”部分:(1) 持有。然后我们 有[eq36]哪一个 暗示 $ g | r $ 结果, $ g $ 是...的除数 $ f_ {2} $$ r $. 假设存在另一个公共除数 $ d $$ f_ {2} $$ r $ (事实C)。 然后,[eq37]哪一个 暗示 $ d $ 是...的除数 $ f_ {1} $ 因此, $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 因此,根据初始假设(等式1),必须是 $ d | g $ (事实D)。事实C和D相加表明 $ g $ 是...的最大公约数 $ f_ {2} $$ r $.

现在我们可以证明两个多真人在线斗地主的存在。迭代的 证明中使用的算法称为欧几里得算法。

主张$ f_ {1} $$ f_ {2} $ 是两个多真人在线斗地主,使得它们中的至少一个不等于 零。然后,存在一个多真人在线斗地主 $ g $ 这样 那[eq38]

证明

在整个证明中, 记住 任何 多真人在线斗地主除以零多真人在线斗地主。我们可以假设不损失 普遍性 [eq39] (否则,我们将两个多真人在线斗地主的阶数取反)。如果 $ f_ {2} = 0 $, 然后 $f_{1}
eq 0$ 我们可以选择 [eq40]哪里 $ a_ {m} $ 是...的前导系数 $ f_ {1} $. 从而, $ g $ 是一元的。以来 [eq41]$g|0$, $ g $ 是...的除数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 让 $ d $ 成为另一个常见的除数。 然后,[eq42][eq43]哪一个 暗示 $ d | g $. 因此, $ g $ 是...的最大公约数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 因此,在以下情况下,我们能够找到一个gcd $ f_ {2} = 0 $. 如果 $f_{2}
eq 0$, 然后我们迭代地应用该部门 算法[eq44]记得 在除法算法中,商为零或余数 程度比除数低前者不可能发生,因为 [eq45]. 因此,余数的程度在每次迭代时减小。我们停下 迭代何时 $ r_ {n} = 0 $ (一定会在 $ r_ {n-1} $ 达到程度 1)。 通过前面的命题,表明存在 [eq46] 等于表明存在 [eq47], [eq48], ..., [eq49], [eq50]. 但[eq51]哪里 $ b_ {l} $ 是...的前导系数 $ r_ {n-1} $, 通过与上述情况相同的推理 $ f_ {2} = 0 $.

请注意两个多真人在线斗地主中至少一个多真人在线斗地主的基本要求 与零多真人在线斗地主不同。如果两个多真人在线斗地主均为零,则 任何其他多真人在线斗地主都是一个公因数,因此,没有 绑定到一组通用除数,而没有gcd。

存在证明可以扩展到两个以上的多真人在线斗地主。

主张[eq52] 是多真人在线斗地主,其中至少一个不等于零。然后, 存在一个多真人在线斗地主 $ g $ 这样 那[eq53]

证明

证明是归纳法。假设没有 失去普遍性 $f_{1}
eq 0$ (否则我们可以对多真人在线斗地主进行重新排序)。然后,根据先前的命题 那里 存在[eq54]假设 那边 存在[eq55]我们 需要证明后一种假设意味着 存在[eq56]我们 定义[eq57]通过 等式(2) $ g_ {n} | g_ {n-1} $ 并由等式(1) $ g_ {n-1} | f_ {j} $ ($ j = 1,ldots,n-1 $)。 因此, $ g_ {n} | f_ {j} $ ($ j = 1,ldots,n-1 $)。 此外,根据等式(2), $ g_ {n} | f_ {n} $. 从而, $ g_ {n} $ 是...的除数 [eq58]. 让 $ d $ 是...的任何其他公因子 [eq59]. 根据等式(1),我们有 $ d | g_ {n-1} $. 从而, $ d $ 是...的除数 $ g_ {n-1} $$ f_ {n} $, 根据等式(2),这意味着 $ d | g_ {n} $. 因此, [eq56]

独特性

如果存在最大公约数,则它是唯一的。

主张[eq61] 是多真人在线斗地主,其中至少一个不等于零。然后, 有一个 独特[eq62]

证明

假设 $ h $ 是另一个gcd。都 $ g $$ h $ 是...的常见除数 [eq63]. 然后, $ g | h $$ h | g $ 根据gcd的定义。正如关于 除法算法, 互除数是彼此的标量倍数。 因此,[eq64]哪里 $ c $ 是一个非零常数。但是两者 $ g $$ h $ 是一元的,这意味着 $c=1$. 因此, $ h = g $.

相对素数

这是您经常遇到的术语。

定义[eq65] 是多真人在线斗地主。 如果[eq66]然后 我们说 [eq67] 是相对黄金的。

Bézout's 的orem

以下命题,通常称为Bézout定理提供了 gcd的表示形式。

主张$ f_ {1} $$ f_ {2} $ 是两个多真人在线斗地主,使得它们不等于零。然后, 存在两个多真人在线斗地主 $ p_ {1} $$ p_ {2} $ 这样 那[eq68]

证明

I 成为所有人的集合 多真人在线斗地主[eq69]那 可以通过任意选择形成 $ f_ {1} $$ f_ {2} $, 排除零多真人在线斗地主(即, [eq70])。 让 $ h $ 成为 I 以最低的程度。注意 [eq71] 因为我们可以选择 $ p_ {1} = 1 $$ p_ {2} = 0 $. 通过除法算法,存在多真人在线斗地主 $ q_ {1} $$ r_ {1} $ 这样 [eq72][eq73] (在这种情况下,而不是在 $q=0$ 因为 [eq74])。 假设 那[eq75]我们 能够 写[eq76]从而, $ r_ {1} $ 具有形式(1)。结果,它属于 I 或者它是零多真人在线斗地主。它不能属于 I 因为 [eq77], 与以下假设相反 $ h $ 是的最低次多真人在线斗地主 I. 因此, $ r_ {1} = 0 $. 作为结果, $ h | f_ {1} $. 以完全类似的方式,我们可以证明 $ h | f_ {2} $. 表示为 $ h_ {m} $ 的前导系数 $ h $ 和 定义[eq78]所以 那 $ g $ 是一元的。多真人在线斗地主 $ g $ 是...的除数 $ f_ {1} $$ f_ {2} $. 假设 $ d $ 是另一个常见的除数。 然后,[eq79][eq80]从而, $ d | g $. 作为一个 后果,[eq81]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

使用欧几里得算法查找gcd 的[eq82][eq83]

我们首先将两者分开 多真人在线斗地主:[eq84]从而, 除法的其余部分是 [eq85] 和我们 有[eq86]我们 需要执行一个新的 师:[eq87]从而, 除法的余数为零,我们通过除法获得gcd $ r_ {1} $ 由其领导 系数:[eq88]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "多真人在线斗地主的最大公约数", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/greatest-common-divisor-of-polynomials.

这本书

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