均质 系统 方程式 是一个系统,其中常数向量在右手边 等号的一边为零。
在本讲座中,我们提供了一组解决方案的一般特征 均质系统
同类系统具有
形成哪里
是一个
系数矩阵
是一个
未知向量和
是个
零向量。
例
的
系统哪一个
可以用矩阵形式写
如
是
同质。
通过执行 初级 行操作 在同质系统上,我们获得 当量 系统 都是同质的实际上,基本行操作 (将方程式与非零常数相乘;将一个数的倍数相加 等式到另一个等式;交换两个方程式)为零 等号右侧的常数向量不受影响。
结果,我们可以将原始系统转换为等效的
同质
系统哪里
矩阵
在 行梯形表格 (参考)。
均质系统始终具有
解哪一个
被称为平凡的解决方案。
请记住,REF矩阵的列有两种:
基本列:它们包含一个枢轴(即,非零条目,例如 从枢轴开始一直延伸到下方的象限中只有零个条目 它及其左侧);
非基本列:它们不包含数据透视表。
例
考虑以下
矩阵 连续梯队
形成:
的
第一和第三列是基本列,第二和第四列是基本列
非基本的。
假设
REF矩阵
具有
基本列。
不失一般性,我们可以假设第一个
列是基础列,最后一列
是非基本的(如果需要,我们可以重新编号未知数)。
分割矩阵
一分为二
块:
哪里
是个
基本列的子矩阵和
是个
非基本列的子矩阵。
同样,将未知向量分成两个
块:哪里
是个
基本变量的向量和
是个
非基本变量的向量。
然后,我们可以写方程组
如 要么
齐次的一般解
系统是
所有可能的解决方案的集合,即所有
满足方程组。
我们已经知道,如果系统有解决方案,那么我们可以任意
选择非基本变量的值
然后通过反替换算法找到基本
变数
解决系统。在齐次情况下,解的存在是
这不是一个问题,因为常量的向量为零(请修改
的 行梯形表格 如果你
想知道为什么)。
因此,有一个独特的
可以任意选择方程式(1)
.
以来
是 全职 和
,
矩阵
是完全排名(请参阅有关
矩阵等级
产品展示)。因此,我们可以将等式(1)预乘以
为了
获得
定义
然后我们
有
后者可用于表征均质的一般解 系统:它将基本变量的值显式链接到 可以任意设置的非基本变量。
表示为
一般解决方案(即所有可能的解决方案的集合)。然后我们
有
产品
可以看作是
线性的
列的组合 的
系数是非基本的
变量:
因此,
是系统的特定解决方案,通过设置其相应的
非基本变量等于
而所有其他非基本变量等于
.
通过将这些特定解决方案进行线性组合,我们可以获得
一般解决方案。
显然,一般解决方案也嵌入了琐碎的解决方案 通过将所有非基本变量设置为零。
例
考虑齐次
系统哪里
和
然后,
我们可以
定义
的
系统可以写
如
但
以来
是个 单位矩阵,我们
有
从而,
系统的一般解决方案是所有向量的集合
那
满足
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义
矩阵
找到一般的解决方案
系统哪里
是一个
向量的未知数。
矩阵
不是梯队形式,但我们可以从中减去第一行的三倍
第三个为了获得行梯形中的等效矩阵
形成:
从而,
我们可以讨论等效的解决方案
系统
以来
的两列
是基本的,没有未知数可以任意选择。结果,
该系统的唯一解决方案是微不足道的
(
)。
定义
矩阵
找到一般的解决方案
系统哪里
是一个
向量的未知数。
为了方便起见,我们将
转变
变成一个 缩小排梯队
形成 矩阵。我们将第二行除以
;
然后,我们从第一行减去第二行的两倍。结果是
缩小行梯级中的等效矩阵
形成:
我们
现在可以讨论等效的解决方案
系统
的
系统可以写
如
从而,
系统的一般解决方案是所有向量的集合
那
满足
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "同类系统", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/homogeneous-system.