同类系统

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

均质 系统 方程式 是一个系统，其中常数向量在右手边 等号的一边为零。

在本讲座中，我们提供了一组解决方案的一般特征 均质系统

定义

同类系统具有 形成哪里 是一个 系数矩阵 是一个 未知向量和 是个 零向量。

行梯形形式的等效系统

通过执行 初级 行操作 在同质系统上，我们获得 当量 系统 都是同质的实际上，基本行操作 （将方程式与非零常数相乘；将一个数的倍数相加 等式到另一个等式;交换两个方程式）为零 等号右侧的常数向量不受影响。

结果，我们可以将原始系统转换为等效的 同质 系统哪里 矩阵 在 行梯形表格 （参考）。

平凡的解决方案

均质系统始终具有 解哪一个 被称为平凡的解决方案。

基本和非基本变量

请记住，REF矩阵的列有两种：

• 基本列：它们包含一个枢轴（即，非零条目，例如 从枢轴开始一直延伸到下方的象限中只有零个条目 它及其左侧）；

• 非基本列：它们不包含数据透视表。

分区系统

假设 REF矩阵 具有 基本列。

不失一般性，我们可以假设第一个 列是基础列，最后一列 是非基本的（如果需要，我们可以重新编号未知数）。

分割矩阵 一分为二 块:哪里 是个 基本列的子矩阵和 是个 非基本列的子矩阵。

同样，将未知向量分成两个 块：哪里 是个 基本变量的向量和 是个 非基本变量的向量。

然后，我们可以写方程组 如 要么

一般解决方案

齐次的一般解 系统是 所有可能的解决方案的集合，即所有 满足方程组。

我们已经知道，如果系统有解决方案，那么我们可以任意 选择非基本变量的值 然后通过反替换算法找到基本 变数 解决系统。在齐次情况下，解的存在是 这不是一个问题，因为常量的向量为零（请修改 的 行梯形表格 如果你 想知道为什么）。

因此，有一个独特的 可以任意选择方程式（1） .

以来 是 全职 和 , 矩阵 是完全排名（请参阅有关 矩阵等级 产品展示）。因此，我们可以将等式（1）预乘以 为了 获得

定义

然后我们 有

后者可用于表征均质的一般解 系统：它将基本变量的值显式链接到 可以任意设置的非基本变量。

表示为 一般解决方案（即所有可能的解决方案的集合）。然后我们 有

产品 可以看作是 线性的 列的组合 的 系数是非基本的 变量：

因此， 是系统的特定解决方案，通过设置其相应的 非基本变量等于 而所有其他非基本变量等于 . 通过将这些特定解决方案进行线性组合，我们可以获得 一般解决方案。

显然，一般解决方案也嵌入了琐碎的解决方案 通过将所有非基本变量设置为零。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵

找到一般的解决方案 系统哪里 是一个 向量的未知数。

练习2

定义 矩阵

找到一般的解决方案 系统哪里 是一个 向量的未知数。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "同类系统", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/homogeneous-system.