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指数 > 矩阵代数

同类系统

通过 博士

均质 系统 方程式 是一个系统,其中常数向量在右手边 等号的一边为零。

在本讲座中,我们提供了一组解决方案的一般特征 均质系统

目录

定义

同类系统具有 形成[eq1]哪里 A 是一个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是一个 $酸橙1 $ 未知向量和 0 是个 Kx1 零向量。

的 系统[eq2]哪一个 可以用矩阵形式写 如 [eq3]是 同质。

行梯形形式的等效系统

通过执行 初级 行操作 在同质系统上,我们获得 当量 系统 都是同质的实际上,基本行操作 (将方程式与非零常数相乘;将一个数的倍数相加 等式到另一个等式;交换两个方程式)为零 等号右侧的常数向量不受影响。

结果,我们可以将原始系统转换为等效的 同质 系统[eq4]哪里 矩阵 $ R $ 行梯形表格 (参考)。

平凡的解决方案

均质系统始终具有 解[eq5]哪一个 被称为平凡的解决方案。

基本和非基本变量

请记住,REF矩阵的列有两种:

考虑以下 2元4元 矩阵 连续梯队 形成:[eq6]的 第一和第三列是基本列,第二和第四列是基本列 非基本的。

分区系统

假设 $ Kimes L $ REF矩阵 $ R $ 具有 $ r $ 基本列。

不失一般性,我们可以假设第一个 $ r $ 列是基础列,最后一列 $ L-r $ 是非基本的(如果需要,我们可以重新编号未知数)。

分割矩阵 $ R $ 一分为二 :[eq7]哪里 $ B $ 是个 $ Kimes r $ 基本列的子矩阵和 $ N $ 是个 [eq8] 非基本列的子矩阵。

同样,将未知向量分成两个 块:[eq9]哪里 $ x_ {B} $ 是个 $ rimes 1 $ 基本变量的向量和 $ x_ {N} $ 是个 [eq10] 非基本变量的向量。

然后,我们可以写方程组 如 [eq11]要么[eq12]

一般解决方案

齐次的一般解 系统[eq1]是 所有可能的解决方案的集合,即所有 x 满足方程组。

我们已经知道,如果系统有解决方案,那么我们可以任意 选择非基本变量的值 $ x_ {N} $ 然后通过反替换算法找到基本 变数 $ x_ {B} $ 解决系统。在齐次情况下,解的存在是 这不是一个问题,因为常量的向量为零(请修改 的 行梯形表格 如果你 想知道为什么)。

因此,有一个独特的 $ x_ {B} $ 可以任意选择方程式(1) $ x_ {N} $.

以来 $ B $ 全职$ rleq K $, 矩阵 [eq14] 是完全排名(请参阅有关 矩阵等级 产品展示)。因此,我们可以将等式(1)预乘以 [eq15] 为了 获得[eq16]

定义[eq17]

然后我们 有[eq18]

后者可用于表征均质的一般解 系统:它将基本变量的值显式链接到 可以任意设置的非基本变量。

表示为 $ S_ {H} $ 一般解决方案(即所有可能的解决方案的集合)。然后我们 有[eq19]

产品 $ Hx_ {N} $ 可以看作是 线性的 列的组合 H 系数是非基本的 变量:[eq20]

因此, H 是系统的特定解决方案,通过设置其相应的 非基本变量等于 1 而所有其他非基本变量等于 0. 通过将这些特定解决方案进行线性组合,我们可以获得 一般解决方案。

显然,一般解决方案也嵌入了琐碎的解决方案 通过将所有非基本变量设置为零。

考虑齐次 系统[eq4]哪里[eq22][eq23]然后, 我们可以 定义[eq24]的 系统可以写 如 [eq25]但 以来 $ B $ 是个 单位矩阵,我们 有[eq26]从而, 系统的一般解决方案是所有向量的集合 x 那 满足[eq27]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 3美金2美金 矩阵[eq28]

找到一般的解决方案 系统[eq1]哪里 x 是一个 $ 2imes 1 $ 向量的未知数。

矩阵 A 不是梯队形式,但我们可以从中减去第一行的三倍 第三个为了获得行梯形中的等效矩阵 形成:[eq30]从而, 我们可以讨论等效的解决方案 系统[eq4]以来 的两列 $ R $ 是基本的,没有未知数可以任意选择。结果, 该系统的唯一解决方案是微不足道的 ($x=0$)。

练习2

定义 3美金2美金 矩阵[eq32]

找到一般的解决方案 系统[eq1]哪里 x 是一个 $ 3imes 1 $ 向量的未知数。

为了方便起见,我们将 转变 A 变成一个 缩小排梯队 形成 矩阵。我们将第二行除以 $2$; 然后,我们从第一行减去第二行的两倍。结果是 缩小行梯级中的等效矩阵 形成:[eq34]我们 现在可以讨论等效的解决方案 系统[eq4]的 系统可以写 如 [eq36]从而, 系统的一般解决方案是所有向量的集合 x 那 满足[eq37]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "同类系统", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/homogeneous-system.

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