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指数 > 矩阵代数

身份矩阵

通过 博士

一个单位矩阵是一个平方矩阵,其对角线项都等于 1,且其非对角线条目均等于零。

单位矩阵在线性代数中起关键作用。特别是他们的作用 在 矩阵乘法 类似于数字1在实数乘法中扮演的角色 数字:

目录

定义

以下是正式定义。

定义I 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 I 是一个单位矩阵,当且仅当 $ I_ {ij} = 1 $ 什么时候 $ i = j $$ I_ {ij} = 0 $ 什么时候 $i
eq j$.

因此,条目的行索引 i 和列索引 $ j $ 重合(即位于主对角线上的条目)等于 1. 所有其他条目等于 0.

什么时候 $K=1$, 只有一个条目, 和[eq1]

例子

身份矩阵的一些示例如下。

2元2元 单位矩阵 是[eq2]

3美金3美金 单位矩阵 是[eq3]

4美金4美金 单位矩阵 是[eq4]

涉及身份矩阵的产品

一个关键特性是矩阵乘以矩阵后保持不变。 单位矩阵

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 I$ Kimes K $ 单位矩阵 然后,[eq5]

证明

矩阵的定义 产品$ left(i,j
权)$-th 产品进入 $ IA $[eq6]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ I_ {ik} = 0 $ 什么时候 $k
eq i$; 在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 $ I_ {ii} = 1 $ ($ I_ {ii} $ 在的主要对角线上 I)。 以来[eq7]对于 每一个 i$ j $, $ IA = A $.

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 I$石灰L $ 单位矩阵 然后,[eq8]

证明

证明与先前类似 一:[eq9]

单位矩阵是幂等的

前两个命题的结果是 那[eq10]

[eq11]

换句话说,单位矩阵的任何幂等于单位 矩阵本身。

具有此属性(等于其幂)的矩阵称为 幂等。

对称

单位矩阵的另一个重要属性是对称的, 即等于 转置:[eq12]

证明

矩阵 I 当且仅当是对称的 如果[eq13]对于 任何 $ j $i. 但是上述平等总是成立的时候 $ i = j $, 它适用于身份矩阵 $i
eq j$ 因为[eq14]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "身份矩阵", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/identity-matrix.

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