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指数 > 矩阵代数

内部产品

通过 博士

向量是用于导出的抽象概念 线性代数中一些最有用的结果,以及不错的解决方案 几个棘手的实际问题。不幸的是,这是一个漂亮的 不直观的概念,尽管在某些情况下我们可以将其解释为 两个向量之间相似性的度量。

目录

字段上的向量空间

在给出内积的定义之前,我们需要记住一些 关于向量空间的重要事实。

当我们使用术语“向量”时,我们通常指的是数字数组, 我们说“向量空间”是指一组这样的数组。但是,如果您修改 讲座 向量空间,你 将会看到我们还给出了一个抽象的公理定义:向量空间是 一组配备两个运算的集合,称为向量加法和标量 满足多个公理的乘法;向量的元素 空间称为向量。在这个抽象定义中,向量空间具有 相关字段,在大多数情况下是实数集 R 或复数集 $ U {2102} $. 该字段的元素是所谓的“标量”,用于 向量的标量乘法(例如,建立 线性组合 的 向量)。

在开发内部产品的概念时,我们需要指定 定义向量空间的字段。而且,我们将永远 将我们的注意力集中在这两个领域 R$ U {2102} $.

内部产品的定义

我们现在准备提供一个定义。

定义$ S $ 成为向量空间 $ U {2102} $. 内部产品 $ S $ 是一个功能 [eq1] 与每个有序向量对相关联 $ r,sinS $ 复数,表示为 [eq2], 具有以下属性。

  1. 积极性:[eq3]哪里 [eq4] 意思是 [eq5] 为实数(即其复数为零)且为正数。

  2. 确定性:[eq6]

  3. 首先是可加性 论据:[eq7]

  4. 首先是同质性 论据:[eq8]

  5. 共轭 对称:[eq9]哪里 [eq10] 表示的复共轭 [eq11].

尽管此定义仅涉及复数域上的向量空间 $ U {2102} $, 我们将使用它来发展一种理论,该理论也适用于定义的向量空间 在实数领域。实际上,当 $ S $ 是一个向量空间 R, 我们只需要更换 $ U {2102} $R 在上面的定义中,并假设复杂的共轭是一个运算 留下了 R 不变,因此属性5) 变成[eq12]

正交向量

当两个向量之间的内积等于零时, 是的[eq13]然后 据说这两个向量是正交的。

示例:两个实数数组的点积

内积最重要的例子之一是 二 Kx1 具有真实条目的列向量。

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 实向量(在实场上 R)。

两个实数之间的点积 Kx1 向量 $ r,sinS $ (已在有关 矩阵乘法) 是[eq14]哪里 $ s ^ {intercal} $ 是的转置 $ s $, [eq15]K 的条目 $ r $[eq16]K 的条目 $ s $.

定义[eq17]然后[eq18]

我们需要验证这样定义的点积是否满足这五个 内部产品的特性。

满足正定性是因为 [eq19]哪里 平等仅当且仅当 $r=0$.

可加性得到满足 因为[eq20]

点积在第一个参数中是均匀的 因为[eq21]

最后,(共轭)对称成立 因为[eq22]

示例:两个复杂数组的内积

内部产品的另一个重要示例是两者之间 Kx1 具有复杂条目的列向量。

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 复数向量 (在复杂领域 $ U {2102} $)。

两个之间的内积 Kx1 向量 $ r,sinS $ 被定义为 是[eq23]哪里 $ s ^ {st} $ 是个 共轭转置$ s $, [eq24]K 的条目 $ r $[eq25] 是...的复共轭 K 的条目 $ s $.

定义[eq26]然后[eq27]

让我们检查内部产品的五个属性是否得到满足。

满足正定性是因为 [eq28]哪里 [eq29] 是的模数 $ r_ {k} $ 当且仅当且仅当 $r=0$.

可加性得到满足 因为[eq30]

点积在第一个参数中是均匀的 因为[eq31]

最后,共轭对称成立 因为[eq32]

内部产品的其他特性

现在,我们介​​绍可以推导的内积的其他属性 从上面介绍的五个定义属性开始。

第二个参数的可加性

我们有第二个内部产品是加法 论据:[eq33]

证明

这证明为 如下:[eq34]哪里: 逐步 $ rame {A} $$ rame {C} $ 我们使用了内积的共轭对称性;在步 $ rame {B} $ 我们在第一个参数中使用了可加性。

在第二个参数中共轭同质

虽然内积在第一个参数中是均匀的,但它是共轭的 在第二均匀 一:[eq35]

证明

这里有一个 示范:[eq36]哪里: 逐步 $ rame {A} $$ rame {C} $ 我们使用了内积的共轭对称性;在步 $ rame {B} $ 我们在第一个参数中使用了同质性。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 是向量空间 $ r,sinS $[eq37] 内部产品 $ S $. 假设 那[eq38]计算[eq39]下 假设 $ r $$ s $ 是正交的。

我们可以将给定的内积计算为 如下:[eq40]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在第一个参数中使用了线性度;在步 $ rame {B} $ 我们已经使用了 $ s $$ r $, 这意味着 那[eq13]

练习2

[eq42]

计算[eq43]使用 上面定义的复杂数组的内积。

我们有 那:[eq44]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "内部产品", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/inner-product.

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