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不变子空间

经过 ,博士学位

如果其元素是线性运算符,则据说子空间是不变的 由线性运算符转换为属于子空间的元素 itself.

操作员的内核,其范围和与之相关的eIgenspace 矩阵的特征值是不变子空间的突出示例。

搜索不变子空间是最重要的主题之一 线性代数。原因很简单:正如我们在下面看到的那样,矩阵 非常简化了操作员的代表性 (即,如果一些向量,则它变成块三角形或块对角线) 基础跨越不变子空间。

目录

定义

记住,给出了一个 vector space $ s $, a 线性 operator 是 a function $ f:s
ighararow s $ that preserves linear combinations, 那 is,[eq1]为了 任何一对载体 $ s_ {1},s_ {2}以s $ 和任何一个标量 [eq2].

定义 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 线性操作员。让 $ U $ be a subspace of $ s $. We say that $ U $ is invariant under $ F $. if and only if [eq3] for any $ uin u $.

In other words, if $ U $ is invariant under $ F $., 然后限制 $ F $. to $ U $, denoted by [eq4], 是一个线性运算符 $ U $ (i.e., [eq5])。

例子 Let $ s $ be the space of $ 2倍1美元 vectors。让 $ U $ be the subspace spanned 经过 the vector[eq6]在 其他单词,所有的传感器 $ U $ have the form[eq7]在哪里 $ lpha $ 是一个标量。假设一个线性运算符 $ f:s
ighararow s $ is such that[eq8]然后, whenever $ uin u $, we have [eq9]. Therefore, $ U $ 是一个不变的子空间 $ F $..

操作员的内核是不变的

The kernel 的 a linear operator $ f:s
ighararow s $ is the subspace[eq10]

Since [eq11] 和所有的元素 $ qtr {rm} {null} f $ are mapped into 0 by the operator $ F $., the kernel $ qtr {rm} {null} f $ is invariant under $ F $..

操作员的范围是不变的

The range 的 a linear operator $ f:s
ighararow s $ is the subspace[eq12]

Since [eq13], any [eq14] is mapped by $ F $. into $ qtr {rm} {范围} f $. 因此,范围是不变的。

特征值的尖锐空间是不变的

Let $ s $ be the space of Kx1 vectors. Let A be a $ kimes k $ 矩阵。我们可以使用矩阵 A 定义线性运算符 $ f:s
ighararow s $ as follows:[eq15]

Suppose $ lambda $ is an eigenvalue of A and $ U $ is the subspace of $ s $ 包含与之相关的所有特征向量 $ lambda $ (所谓的eIgenspace)。

通过特征向量的定义,我们 have[eq16]为了 any $ uin u $. Since $ U $ is a subspace, $ lambda uin u $. 因此,eigenspace $ U $ is invariant under $ F $..

块三角矩阵

不变子空间和块三角之间有一个紧密的链接 matrices.

为了理解这一链接,我们需要修改关于线性的一些事实 operators.

Let $ s $ 是一个有限维矢量空间和 [eq17] a basis for $ s $.

If $ sin s $ can be written as a linear combination 的 the basis as[eq18]然后 its coordinate vector with respect to $ b $ is[eq19]

记住任何运营商 $ f:s
ighararow s $ 具有相关的矩阵,称为操作员的矩阵 $ b $ and denoted by [eq20], such that, for any $ sin s $, we have[eq21]在哪里 [eq22] and [eq23] 分别是坐标向量 $ s $ and $ flutft(s
Ight)$ with respect to $ b $.

我们之前证明操作员的矩阵具有以下内容 structure:[eq24]

我们现在准备好在本讲座中陈述了主要命题。

主张 Let $ s $ 是一个有限维矢量空间和 $ f:s
ighararow s $ 线性操作员。让 $ U $ be a subspace of $ s $ and [eq25] a basis for $ U $. Complete $ b_ {u} $ 以便形成一个基础 [eq26] for $ s $. The subspace $ U $ is invariant under $ F $. if and only if [eq27] 有块三角形 structure[eq28]在哪里 the block $ arphi _ {11} $ is $ n $, $ arphi _ {12} $ is [eq29], $ arphi _ {22} $ is [eq30] and 0 denotes a [eq31] block of zeros.

证明

我们首先证明“唯一一个零件”,开始 从假设中 $ U $ 是不变的。表示 $ f_ {kl} $ the $ left(k,l
Ight)$ - entry of [eq32]. Since $ U $ 是不变的,然后,为 $ kleq n $, [eq33] belongs to $ U $ 并且,因此,它可以作为线性组合写成 [eq34] (and [eq35] 在线性组合中以零系数输入)。因此,对于 $ kleq n $, 坐标向量 [eq36] is[eq37]作为 a consequence, when $ U $ 是不变的,操作员的矩阵 is[eq38]我们 现在证明“如果是部分”,从假设开始 [eq39] 具有假定的块三角形结构。任何矢量图 $ uin u $ 有一个坐标矢量 form[eq40]在哪里 $ u_ {1} $ is $尼姆1 $ and 0 is [eq41]. Then,[eq42]所以, [eq43]. 因为这是真的 $ uin u $, $ U $ 是一个不变的子空间。

We can also write[eq44]在哪里 [eq45] 是限制的矩阵 $ F $. to $ U $ 关于基础 $ b_ {u} $.

不变子空间的直接和

Remember that $ s $ 据说是总和 n subspaces [eq46], in which case we write[eq47]如果 and only if[eq48]

据说是刚刚显示的子空间的总和是一个 direct sum 和 it is denoted by[eq49]如果 and only if [eq50] are linearly independent whenever $ u_ {j}在u_ {j} $ and $u_{j}
eq 0$ for $ j = 1,ldots,m $.

Invariant子空间的直接和具有以下重要属性。

主张 Let $ s $ 是一个线性空间。让 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ be subspaces of $ s $ such that[eq51][eq52] and [eq53] be bases for $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 分别(由于后果, $ b = b_ {1}杯b_ {2} $ is a basis for $ s $)。 Let $ f:s
ighararow s $ 是一个线性运算符。然后, $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 都是不变的 $ F $. if and only if [eq54] 有块对角线 structure[eq55]在哪里 the blocks $ arphi _ {11} $ and $ arphi _ {22} $ are $ n $ and [eq56] respectively.

证明

我们首先先证明“只有”部分,开始 从假设中 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 都是不变的 $ F $. 。通过直接总和,任何载体的属性 $ sin s $ has a unique representation[eq57]在哪里 $ u_ {1}在u_ {1} $ and $ u_ {2}在u_ {2} $. Moreover, $ u_ {j} $ 在基础上具有独特的代表性 $ b_ {j} $ (for $ j = 1,2 $)。 Therefore, any $ sin s $ 可以写作作为vector的线性组合 $ b $. In other words, $ b $ is a basis for $ s $. The first $ n $ columns of [eq39] are[eq59]自从 $ u_ {1} $ is invariant under $ F $., $ b_ {k}在u_ {1} $ implies that [eq60]. Therefore, for $ kleq n $, [eq61] 可以写作作为vector的线性组合 $ b_ {1} $ and the first $ n $ columns of [eq62] are[eq63]相似地, 我们可以证明其余的列 [eq64] are[eq65]因此,[eq66]哪一个 是一个块对角线矩阵,其具有主题中描述的结构。我们 现在证明“如果”部分,从假设开始 [eq67] 是块对角线。自从 [eq68] 是块上三角形, $ u_ {1} $ 在块上三角矩阵上上面的命题是不变的。 Moreover, any vector $ uin u_ {2} $ 有一个坐标矢量 form[eq69]在哪里 $ u_ {2} $ is [eq70] and 0 is $尼姆1 $. Then,[eq71]所以, [eq72]. 因为这是真的 $ uin u_ {2} $, $ u_ {2} $ 是一个不变的子空间。

两个以上的子空间

通过递归地将其施用,可以延长以前的命题。 case in which[eq73] 和所有子空间 $ u_ {j} $ are invariant.

主张 Let $ s $ 是一个线性空间。让 $ u_ {1} $, $ u_ {2} $, ...,$ u_ {m} $ be subspaces of $ s $, with bases $ b_ {1} $, ..., $ b_ {m} $, and such that[eq74]所以 这是一个结果, [eq75]是 a basis for $ s $. Let $ f:s
ighararow s $ 是一个线性运算符。然后,所有的集合 $ u_ {j} $ (for $ j = 1,ldots,m $) are invariant under $ F $. if and only if [eq68] 有块对角线 structure[eq77]

实际影响

我们到目前为止我们所展示的一切的实际意义是什么? 特别是,当我们处理定义的线性运算符时会发生什么 通过矩阵?我们在本节提供了一些答案。

Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ s $ be the space of all Kx1 column vectors.

我们考虑线性运营商 $ f:s
ighararow s $ 由矩阵定义 A, that is,[eq78]为了 any $ sin s $.

假设我们能够找到两个不变子空间 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ such that[eq79]

In other words,[eq80]$ u_ {1} $ 是线性独立的 $ u_ {2} $ whenever $ u_ {1}在u_ {1} $, $ u_ {2}在u_ {2} $ 并且两个矢量是非零。

We can choose bases [eq52] and [eq82] for $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 分别我们知道 $ b = b_ {1}杯b_ {2} $ is a basis for $ s $.

通过邻接乘法来定义以下矩阵 basis:[eq83]

Note that [eq84]在哪里 [eq85] are $尼姆1 $ 保证存在的载体是因为 $ ab_ {j}在u_ {1} $ for $ jleq n $ by the invariance of $ u_ {1} $, which means that $ ab_ {j} $ 可以写作作为线性组合的基础 $ u_ {1} $ (i.e., $ ab_ {j} = v_ {1} h_ {j} $)。 为了匹配上述命题中使用的符号,我们 define[eq86]所以 that[eq87]

同样,我们可以找到一个矩阵 $ arphi _ {22} $ such that[eq88]

As a consequence, we have[eq89]或者[eq90]在哪里 V is invertible because its 列是基础的载体,这是线性独立的定义。

回想一下 matrix similarity。最后一个等式意味着 A 类似于块对角线 matrix[eq91]和 the change-of-basis 矩阵 used 在相似性转变中是 V.

工作流程摘要

因此,矩阵的相似性变换过程 A 进入块对角线矩阵 $ arphi $ (在这里概括为超过两个不变子空间的情况)工作 follows:

这是线性代数中最重要的工作流之一!我们鼓励 读者牢固地理解和记忆它。

特征值再次和特征向量

我们已经解释过,与特征值相关的尖端空间 $ a $ 是一个不变的子集。

Denote by [eq97] 独特的特征值 A and by [eq98] 他们各自的eIgenspaces。

如在讲座中解释的 linear 特征向量的独立性, 什么时候 A 没有缺陷,我们可以形成一个 matrix[eq94]在哪里 the columns of $ v_ {j} $ are a basis for $ u_ {j} $ 和所有列 V 在一起是空间的基础 $ s $ of all Kx1 column vectors. As a consequence,[eq93]

因此,我们可以使用特征向量的矩阵 V 执行相似性转换并获得块对角线 matrix[EQ101]

实际上,在讲座中 矩阵对角化, we have proved that $ arphi $ 是具有特征值的对角线矩阵 A 在它的主要对角线上。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the matrix[EQ102]

Verify that[EQ103]是 由线性变换下定义的不变子空间 A.

解决方案

任何矢量图 $ uin u $ takes the form[EQ104]在哪里 $ lpha $ is a scalar. Then,[EQ105]作为 a consequence, $ auin u $ and $ U $ 是一个不变的子空间。

练习2

Let $ s $ be the space of $ 3 $ 1 $ 列向量。定义 matrix[EQ106]

By simply inspecting A, 你能找到两个子空间吗? $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ such that[EQ107]$ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 在线性变换下是不变的 A?

解决方案

注意 A is a block-diagonal matrix:[EQ108]在哪里[EQ109]所以, 两个互补的不变子空间 are[EQ110]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "不变子空间", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/invariant-subspace.

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