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不变子空间

经过 ，博士学位

如果其元素是线性运算符，则据说子空间是不变的 由线性运算符转换为属于子空间的元素 itself.

操作员的内核，其范围和与之相关的eIgenspace 矩阵的特征值是不变子空间的突出示例。

搜索不变子空间是最重要的主题之一 线性代数。原因很简单：正如我们在下面看到的那样，矩阵 非常简化了操作员的代表性 （即，如果一些向量，则它变成块三角形或块对角线） 基础跨越不变子空间。

目录

目录

  1. 定义

  2. 操作员的内核是不变的

  3. 操作员的范围是不变的

  4. 特征值的尖锐空间是不变的

  5. 块三角矩阵

  6. 不变子空间的直接和

  7. 两个以上的子空间

  8. 实际影响

  9. 工作流程摘要

  10. 特征值再次和特征向量

  11. 解决练习

    1. 练习1

    2. 练习2

定义

记住，给出了一个 vector space $ s $, a 线性 operator 是 a function $ f：s ighararow s $ that preserves linear combinations， 那 is,[eq1]为了 任何一对载体 $ s_ {1}，s_ {2}以s $ 和任何一个标量 [eq2].

定义 Let $ s $ 是矢量空间和 $ f：s ighararow s $ 线性操作员。让 $ U $ be a subspace of $ s $. We say that $ U $ is invariant under $ F $. if and only if [eq3] for any $ uin u $.

In other words, if $ U $ is invariant under $ F $., 然后限制 $ F $. to $ U $, denoted by [eq4], 是一个线性运算符 $ U $ (i.e., [eq5]）。

例子 Let $ s $ be the space of $ 2倍1美元 vectors。让 $ U $ be the subspace spanned 经过 the vector[eq6]在 其他单词，所有的传感器 $ U $ have the form[eq7]在哪里 $ lpha $ 是一个标量。假设一个线性运算符 $ f：s ighararow s $ is such that[eq8]然后， whenever $ uin u $, we have [eq9]. Therefore, $ U $ 是一个不变的子空间 $ F $..

操作员的内核是不变的

The kernel 的 a linear operator $ f：s ighararow s $ is the subspace[eq10]

Since [eq11] 和所有的元素 $ qtr {rm} {null} f $ are mapped into 0 by the operator $ F $., the kernel $ qtr {rm} {null} f $ is invariant under $ F $..

操作员的范围是不变的

The range 的 a linear operator $ f：s ighararow s $ is the subspace[eq12]

Since [eq13], any [eq14] is mapped by $ F $. into $ qtr {rm} {范围} f $. 因此，范围是不变的。

特征值的尖锐空间是不变的

Let $ s $ be the space of Kx1 vectors. Let A be a $ kimes k $ 矩阵。我们可以使用矩阵 A 定义线性运算符 $ f：s ighararow s $ as follows:[eq15]

Suppose $ lambda $ is an eigenvalue of A and $ U $ is the subspace of $ s $ 包含与之相关的所有特征向量 $ lambda $ （所谓的eIgenspace）。

通过特征向量的定义，我们 have[eq16]为了 any $ uin u $. Since $ U $ is a subspace, $ lambda uin u $. 因此，eigenspace $ U $ is invariant under $ F $..

块三角矩阵

不变子空间和块三角之间有一个紧密的链接 matrices.

为了理解这一链接，我们需要修改关于线性的一些事实 operators.

Let $ s $ 是一个有限维矢量空间和 [eq17] a basis for $ s $.

If $ sin s $ can be written as a linear combination 的 the basis as[eq18]然后 its coordinate vector with respect to $ b $ is[eq19]

记住任何运营商 $ f：s ighararow s $ 具有相关的矩阵，称为操作员的矩阵 $ b $ and denoted by [eq20], such that, for any $ sin s $, we have[eq21]在哪里 [eq22] and [eq23] 分别是坐标向量 $ s $ and $ flutft（s Ight）$ with respect to $ b $.

我们之前证明操作员的矩阵具有以下内容 structure:[eq24]

我们现在准备好在本讲座中陈述了主要命题。

主张 Let $ s $ 是一个有限维矢量空间和 $ f：s ighararow s $ 线性操作员。让 $ U $ be a subspace of $ s $ and [eq25] a basis for $ U $. Complete $ b_ {u} $ 以便形成一个基础 [eq26] for $ s $. The subspace $ U $ is invariant under $ F $. if and only if [eq27] 有块三角形 structure[eq28]在哪里 the block $ arphi _ {11} $ is $ n $, $ arphi _ {12} $ is [eq29], $ arphi _ {22} $ is [eq30] and 0 denotes a [eq31] block of zeros.

证明

我们首先证明“唯一一个零件”，开始 从假设中 $ U $ 是不变的。表示 $ f_ {kl} $ the $ left（k，l Ight）$ - entry of [eq32]. Since $ U $ 是不变的，然后，为 $ kleq n $, [eq33] belongs to $ U $ 并且，因此，它可以作为线性组合写成 [eq34] (and [eq35] 在线性组合中以零系数输入）。因此，对于 $ kleq n $, 坐标向量 [eq36] is[eq37]作为 a consequence, when $ U $ 是不变的，操作员的矩阵 is[eq38]我们 现在证明“如果是部分”，从假设开始 [eq39] 具有假定的块三角形结构。任何矢量图 $ uin u $ 有一个坐标矢量 form[eq40]在哪里 $ u_ {1} $ is $尼姆1 $ and 0 is [eq41]. Then,[eq42]所以， [eq43]. 因为这是真的 $ uin u $, $ U $ 是一个不变的子空间。

We can also write[eq44]在哪里 [eq45] 是限制的矩阵 $ F $. to $ U $ 关于基础 $ b_ {u} $.

不变子空间的直接和

Remember that $ s $ 据说是总和 n subspaces [eq46], in which case we write[eq47]如果 and only if[eq48]

据说是刚刚显示的子空间的总和是一个 direct sum 和 it is denoted by[eq49]如果 and only if [eq50] are linearly independent whenever $ u_ {j}在u_ {j} $ and $u_{j} eq 0$ for $ j = 1，ldots，m $.

Invariant子空间的直接和具有以下重要属性。

主张 Let $ s $ 是一个线性空间。让 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ be subspaces of $ s $ such that[eq51]让 [eq52] and [eq53] be bases for $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 分别（由于后果， $ b = b_ {1}杯b_ {2} $ is a basis for $ s $）。 Let $ f：s ighararow s $ 是一个线性运算符。然后， $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 都是不变的 $ F $. if and only if [eq54] 有块对角线 structure[eq55]在哪里 the blocks $ arphi _ {11} $ and $ arphi _ {22} $ are $ n $ and [eq56] respectively.

证明

我们首先先证明“只有”部分，开始 从假设中 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 都是不变的 $ F $. 。通过直接总和，任何载体的属性 $ sin s $ has a unique representation[eq57]在哪里 $ u_ {1}在u_ {1} $ and $ u_ {2}在u_ {2} $. Moreover, $ u_ {j} $ 在基础上具有独特的代表性 $ b_ {j} $ (for $ j = 1,2 $）。 Therefore, any $ sin s $ 可以写作作为vector的线性组合 $ b $. In other words, $ b $ is a basis for $ s $. The first $ n $ columns of [eq39] are[eq59]自从 $ u_ {1} $ is invariant under $ F $., $ b_ {k}在u_ {1} $ implies that [eq60]. Therefore, for $ kleq n $, [eq61] 可以写作作为vector的线性组合 $ b_ {1} $ and the first $ n $ columns of [eq62] are[eq63]相似地， 我们可以证明其余的列 [eq64] are[eq65]因此，[eq66]哪一个 是一个块对角线矩阵，其具有主题中描述的结构。我们 现在证明“如果”部分，从假设开始 [eq67] 是块对角线。自从 [eq68] 是块上三角形， $ u_ {1} $ 在块上三角矩阵上上面的命题是不变的。 Moreover, any vector $ uin u_ {2} $ 有一个坐标矢量 form[eq69]在哪里 $ u_ {2} $ is [eq70] and 0 is $尼姆1 $. Then,[eq71]所以， [eq72]. 因为这是真的 $ uin u_ {2} $, $ u_ {2} $ 是一个不变的子空间。

两个以上的子空间

通过递归地将其施用，可以延长以前的命题。 case in which[eq73] 和所有子空间 $ u_ {j} $ are invariant.

主张 Let $ s $ 是一个线性空间。让 $ u_ {1} $, $ u_ {2} $, ...,$ u_ {m} $ be subspaces of $ s $, with bases $ b_ {1} $, ..., $ b_ {m} $, and such that[eq74]所以 这是一个结果， [eq75]是 a basis for $ s $. Let $ f：s ighararow s $ 是一个线性运算符。然后，所有的集合 $ u_ {j} $ (for $ j = 1，ldots，m $) are invariant under $ F $. if and only if [eq68] 有块对角线 structure[eq77]

实际影响

我们到目前为止我们所展示的一切的实际意义是什么？ 特别是，当我们处理定义的线性运算符时会发生什么 通过矩阵？我们在本节提供了一些答案。

Let A be a $ kimes k $ matrix. Let $ s $ be the space of all Kx1 column vectors.

我们考虑线性运营商 $ f：s ighararow s $ 由矩阵定义 A, that is,[eq78]为了 any $ sin s $.

假设我们能够找到两个不变子空间 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ such that[eq79]

In other words,[eq80]和 $ u_ {1} $ 是线性独立的 $ u_ {2} $ whenever $ u_ {1}在u_ {1} $, $ u_ {2}在u_ {2} $ 并且两个矢量是非零。

We can choose bases [eq52] and [eq82] for $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 分别我们知道 $ b = b_ {1}杯b_ {2} $ is a basis for $ s $.

通过邻接乘法来定义以下矩阵 basis:[eq83]

Note that [eq84]在哪里 [eq85] are $尼姆1 $ 保证存在的载体是因为 $ ab_ {j}在u_ {1} $ for $ jleq n $ by the invariance of $ u_ {1} $, which means that $ ab_ {j} $ 可以写作作为线性组合的基础 $ u_ {1} $ (i.e., $ ab_ {j} = v_ {1} h_ {j} $）。 为了匹配上述命题中使用的符号，我们 define[eq86]所以 that[eq87]

同样，我们可以找到一个矩阵 $ arphi _ {22} $ such that[eq88]

As a consequence, we have[eq89]或者[eq90]在哪里 V is invertible because its 列是基础的载体，这是线性独立的定义。

回想一下 matrix similarity。最后一个等式意味着 A 类似于块对角线 matrix[eq91]和 the change-of-basis 矩阵 used 在相似性转变中是 V.

工作流程摘要

因此，矩阵的相似性变换过程 A 进入块对角线矩阵 $ arphi $ （在这里概括为超过两个不变子空间的情况）工作 follows:

这是线性代数中最重要的工作流之一！我们鼓励 读者牢固地理解和记忆它。

特征值再次和特征向量

我们已经解释过，与特征值相关的尖端空间 $ a $ 是一个不变的子集。

Denote by [eq97] 独特的特征值 A and by [eq98] 他们各自的eIgenspaces。

如在讲座中解释的 linear 特征向量的独立性， 什么时候 A 没有缺陷，我们可以形成一个 matrix[eq94]在哪里 the columns of $ v_ {j} $ are a basis for $ u_ {j} $ 和所有列 V 在一起是空间的基础 $ s $ of all Kx1 column vectors. As a consequence,[eq93]

因此，我们可以使用特征向量的矩阵 V 执行相似性转换并获得块对角线 matrix[EQ101]

实际上，在讲座中 矩阵对角化, we have proved that $ arphi $ 是具有特征值的对角线矩阵 A 在它的主要对角线上。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the matrix[EQ102]

Verify that[EQ103]是 由线性变换下定义的不变子空间 A.

解决方案

任何矢量图 $ uin u $ takes the form[EQ104]在哪里 $ lpha $ is a scalar. Then,[EQ105]作为 a consequence, $ auin u $ and $ U $ 是一个不变的子空间。

练习2

Let $ s $ be the space of $ 3 $ 1 $ 列向量。定义 matrix[EQ106]

By simply inspecting A, 你能找到两个子空间吗？ $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ such that[EQ107]和 $ u_ {1} $ and $ u_ {2} $ 在线性变换下是不变的 A?

解决方案

注意 A is a block-diagonal matrix:[EQ108]在哪里[EQ109]所以， 两个互补的不变子空间 are[EQ110]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "不变子空间", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/invariant-subspace.

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