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不变子空间

通过 博士

如果子空间的元素为,则称其在线性算子下是不变的 由线性算子转换为属于子空间的元素 本身。

运算符的核,其范围和与运算符相关的本征空间 矩阵的特征值是不变子空间的突出示例。

搜索不变子空间是该领域最重要的主题之一 线性代数。原因很简单:如下所示,矩阵 大大简化了操作员相对于基础的表示 (例如,它变为块三角形或块对角线) 基的范围跨越不变子空间。

目录

定义

记住,给定一个 向量 空间 $ S $, a 线性算子 是一个功能 $ f:S
ightarrow S $ 保留 线性的 组合, 是的[eq1]对于 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何几个标量 [eq2].

定义$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 线性运算符。让 美元 是...的子空间 $ S $. 我们说 美元 在下不变 $ f $ 当且仅当 [eq3] 对于任何 美元.

换句话说,如果 美元 在下不变 $ f $, 然后的限制 $ f $美元, 表示为 [eq4], 是一个线性算子 美元 (即 [eq5])。

$ S $ 成为 $ 2imes 1 $ 向量。让 美元 是子空间 跨度 由 向量[eq6]在 换句话说,所有的向量 美元 有 形成[eq7]哪里 $ lpha $ 是一个标量。假设线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 就是这样 那[eq8]然后, 每当 美元, 我们有 [eq9]. 因此, 美元 是下的不变子空间 $ f $.

运算符的核是不变的

核心 线性的 算子 $ f:S
ightarrow S $ 是 的 子空间[eq10]

以来 [eq11] 和所有元素 $ QTR {rm} {null} f $ 映射到 0 由运营商 $ f $, 内核 $ QTR {rm} {null} f $ 在下不变 $ f $.

运算符的范围是不变的

范围 线性的 算子 $ f:S
ightarrow S $ 是 的 子空间[eq12]

以来 [eq13], 任何 [eq14] 被映射 $ f $ 进入 $ QTR {rm} {range} f $. 因此,范围是不变的。

特征值的特征空间是不变的

$ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。我们可以使用矩阵 A 定义线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 如 如下:[eq15]

假设 $ lambda $ 是一个 特征值A美元 是的子空间 $ S $ 包含与之相关的所有特征向量 $ lambda $ (所谓的本征空间)。

通过特征向量的定义,我们 有[eq16]对于 任何 美元. 以来 美元 是一个子空间 $ lambda uin U $. 因此,本征空间 美元 在下不变 $ f $.

块三角形矩阵

不变子空间与块三角形之间存在紧密的联系 矩阵。

为了理解此链接,我们需要修改一些关于线性的事实 操作员。

$ S $ 是一个有限维向量空间, [eq17] a 基础 对于 $ S $.

如果 $罪S $ 可以写成 线性的 组合 的基础 如 [eq18]然后 它的 坐标向量 与 尊重 $ B $[eq19]

请记住,任何运算符 $ f:S
ightarrow S $ 有一个关联的矩阵,该矩阵叫做 $ B $ 并由 [eq20], 这样,对于任何 $罪S $, 我们 有[eq21]哪里 [eq22][eq23] 分别是的坐标向量 $ s $$ fleft(s
权)$ 关于 $ B $.

前面我们已经证明了运算符的矩阵具有以下内容 结构体:[eq24]

现在,我们准备在本演讲中陈述主要主张。

主张$ S $ 是一个有限维向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 线性运算符。让 美元 是...的子空间 $ S $[eq25] 的基础 美元. 完成 $ B_ {U} $ 以此为基础 [eq26] 对于 $ S $. 子空间 美元 在下不变 $ f $ 当且仅当 [eq27] 具有块三角形 结构体[eq28]哪里 的 $ arphi _ {11} $$尼姆N $, $ arphi _ {12} $[eq29], $ arphi _ {22} $[eq30]0 表示一个 [eq31] 零块。

证明

我们首先证明“只有一部分” 从这个假设 美元 是不变的。表示为 $ f_ {kl} $$ left(k,l
权)$-th 进入 [eq32]. 以来 美元 是不变的 $ kleq N $, [eq33] 属于 美元 因此,它可以写为 [eq34] (和 [eq35] 在线性组合中输入零系数)。因此,对于 $ kleq N $, 的坐标向量 [eq36][eq37]如 结果,当 美元 是不变的,运算符的矩阵 是[eq38]我们 现在从以下假设开始证明“如果存在” [eq39] 具有假定的块三角形结构。任何向量 美元 的坐标向量为 形成[eq40]哪里 $ u_ {1} $$尼姆1 $0[eq41]. 然后,[eq42]因此, [eq43]. 因为这对任何人都是正确的 美元, 美元 是不变子空间。

我们也可以 写[eq44]哪里 [eq45] 是限制的矩阵 $ f $美元 关于基础 $ B_ {U} $.

不变子空间的直接和

请记住 $ S $ 据说是 n 子空间 [eq46], 在这种情况下,我们 写[eq47]如果 而且只有 如果[eq48]

像刚刚所示的子空间之和被称为是 直接和 它表示为 通过[eq49]如果 并且只有在 [eq50] 线性独立 每当 $ u_ {j} in U_ {j} $$u_{j}
eq 0$ 对于 $ j = 1,ldots,m $.

不变子空间的直接和具有以下重要性质。

主张$ S $ 是一个线性空间。让 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 是...的子空间 $ S $ 这样 那[eq51][eq52][eq53] 成为 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 分别(因此, $ B = B_ {1}杯B_ {2} $ 是基础 $ S $)。 让 $ f:S
ightarrow S $ 成为线性算子。然后, $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 都不变 $ f $ 当且仅当 [eq54] 具有块对角线 结构体[eq55]哪里 块 $ arphi _ {11} $$ arphi _ {22} $$尼姆N $[eq56] 分别。

证明

我们首先证明“仅当”部分 从这个假设 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 都不变 $ f $ 。通过直接和的性质,任何向量 $罪S $ 有一个独特的 表示[eq57]哪里 $ u_ {1} in U_ {1} $$ u_ {2}(在U_ {2} $中). 此外, $ u_ {j} $ 在基础方面具有独特的代表 $ B_ {j} $ (对于 $ j = 1,2 $)。 因此,任何 $罪S $ 可以写成的向量的线性组合 $ B $. 换一种说法, $ B $ 是基础 $ S $. 首先 $ N $ 的列 [eq39][eq59]以来 $ U_ {1} $ 在下不变 $ f $, $ b_ {k} in U_ {1} $ 暗示 [eq60]. 因此,对于 $ kleq N $, [eq61] 可以写成的向量的线性组合 $ B_ {1} $ 和第一个 $ N $ 的列 [eq62][eq63]同样, 我们可以证明剩余的列 [eq64][eq65]从而,[eq66]哪一个 是一个块对角矩阵,具有命题中所述的结构。我们 现在从以下假设开始证明“如果”部分 [eq67] 是块对角线。以来 [eq68] 是块上三角形, $ U_ {1} $ 上面关于块上三角矩阵的命题是不变的。 而且,任何向量 $ uin U_ {2} $ 的坐标向量为 形成[eq69]哪里 $ u_ {2} $[eq70]0$尼姆1 $. 然后,[eq71]因此, [eq72]. 因为这对任何人都是正确的 $ uin U_ {2} $, $ U_ {2} $ 是不变子空间。

超过两个子空间

可以通过递归地将先前的命题扩展到 案子 哪一个[eq73] 和所有子空间 $ U_ {j} $ 不变。

主张$ S $ 是一个线性空间。让 $ U_ {1} $, $ U_ {2} $, ...,$ U_ {m} $ 是...的子空间 $ S $, 带底座 $ B_ {1} $, ..., $ B_ {m} $, 这样的 那[eq74]所以 结果, [eq75]是 的基础 $ S $. 让 $ f:S
ightarrow S $ 成为线性算子。然后,所有的集合 $ U_ {j} $ (对于 $ j = 1,ldots,m $) 在下不变 $ f $ 当且仅当 [eq68] 具有块对角线 结构体[eq77]

实际影响

到目前为止,我们展示的所有内容的实际含义是什么? 特别是,当我们处理定义的线性运算符时会发生什么 通过矩阵?我们在本节中提供一些答案。

A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。

我们考虑线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 由矩阵定义 A, 那 是的[eq78]对于 任何 $罪S $.

假设我们已经能够找到两个不变的子空间 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 这样 那[eq79]

其他 话,[eq80]$ u_ {1} $ 与...线性独立 $ u_ {2} $ 每当 $ u_ {1} in U_ {1} $, $ u_ {2}(在U_ {2} $中) 并且两个向量都不为零。

我们可以选择基地 [eq52][eq82] 对于 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 分别,我们知道 $ B = B_ {1}杯B_ {2} $ 是基础 $ S $.

通过邻接向量的向量来定义以下矩阵 基础:[eq83]

注意 [eq84]哪里 [eq85]$尼姆1 $ 保证存在的向量,因为 $ Ab_ {j} in U_ {1} $ 对于 $ jleq N $ 由...的不变性 $ U_ {1} $, 意思就是 $ Ab_ {j} $ 可以写为基础的线性组合 $ U_ {1} $ (即 $ Ab_ {j} = V_ {1} h_ {j} $)。 为了匹配上面的命题中使用的符号,我们 定义[eq86]所以 那[eq87]

同样,我们可以找到一个矩阵 $ arphi _ {22} $ 这样 那[eq88]

结果,我们 有[eq89]要么[eq90]哪里 V 可逆的 因为它是 列是基础的向量,根据定义,它们是线性独立的。

回顾一下的定义 矩阵 相似。最后一个方程意味着 A 类似于块对角线 矩阵[eq91]和 的 基础改变 使用的矩阵 在相似变换中是 V.

工作流程摘要

因此,矩阵的相似度转换过程 A 变成块对角矩阵 $ arphi $ (这里归纳为两个以上不变子空间的情况) 如下:

这是线性代数中最重要的工作流程之一!我们鼓励 读者要牢固地理解和记住它。

特征值和特征向量再次

上面我们已经解释了与的特征值相关的特征空间 $ A $ 是不变子集。

表示为 [eq97] 的独特特征值 A[eq98] 它们各自的本征空间。

正如关于 线性的 特征向量的独立性, 什么时候 A 没有缺陷,我们可以形成一个 矩阵[eq94]哪里 的列 $ V_ {j} $ 是基础 $ U_ {j} $ 和的所有列 V 在一起是空间的基础 $ S $ 在所有 Kx1 列向量。作为一个 后果,[eq93]

因此,我们可以使用特征向量矩阵 V 执行相似变换并获得块对角线 矩阵[eq101]

实际上,在关于 矩阵对角化, 我们已经证明 $ arphi $ 是具有特征值的对角矩阵 A 在其主要对角线上。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵[eq102]

校验 那[eq103]是 线性变换下的不变子空间定义为 A.

任何向量 美元 需要 形成[eq104]哪里 $ lpha $ 是一个标量。 然后,[eq105]如 结果, 澳元美元 是不变子空间。

练习2

$ S $ 成为 $ 3imes 1 $ 列向量。定义 矩阵[eq106]

通过简单地检查 A, 你能找到两个子空间吗 $ U_ {1} $$ U_ {2} $ 这样 那[eq107]$ U_ {1} $$ U_ {2} $ 在定义的线性变换下不变 A?

注意 A 是块对角线 矩阵:[eq108]哪里[eq109]因此, 两个互补不变子空间 是[eq110]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "不变子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/invariant-subspace.

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