不变子空间

通过 马可·塔波加（Marco Taboga） 博士

如果子空间的元素为，则称其在线性算子下是不变的 由线性算子转换为属于子空间的元素 本身。

运算符的核，其范围和与运算符相关的本征空间 矩阵的特征值是不变子空间的突出示例。

搜索不变子空间是该领域最重要的主题之一 线性代数。原因很简单：如下所示，矩阵 大大简化了操作员相对于基础的表示 （例如，它变为块三角形或块对角线） 基的范围跨越不变子空间。

定义

记住，给定一个 向量 空间 , a 线性算子 是一个功能 保留 线性的 组合， 是的对于 任何两个向量 和任何几个标量 .

换句话说，如果 在下不变 , 然后的限制 至 , 表示为 , 是一个线性算子 （即 ）。

运算符的核是不变的

的 核心 线性的 算子 是 的 子空间

以来 和所有元素 映射到 由运营商 , 内核 在下不变 .

运算符的范围是不变的

的 范围 线性的 算子 是 的 子空间

以来 , 任何 被映射 进入 . 因此，范围是不变的。

特征值的特征空间是不变的

让 成为 向量。让 成为 矩阵。我们可以使用矩阵 定义线性算子 如 如下：

假设 是一个 特征值 的 和 是的子空间 包含与之相关的所有特征向量 （所谓的本征空间）。

通过特征向量的定义，我们 有对于 任何 . 以来 是一个子空间 . 因此，本征空间 在下不变 .

块三角形矩阵

不变子空间与块三角形之间存在紧密的联系 矩阵。

为了理解此链接，我们需要修改一些关于线性的事实 操作员。

让 是一个有限维向量空间， a 基础 对于 .

如果 可以写成 线性的 组合 的基础 如 然后 它的 坐标向量 与 尊重 是

请记住，任何运算符 有一个关联的矩阵，该矩阵叫做 并由 , 这样，对于任何 , 我们 有哪里 和 分别是的坐标向量 和 关于 .

前面我们已经证明了运算符的矩阵具有以下内容 结构体：

现在，我们准备在本演讲中陈述主要主张。

我们也可以 写哪里 是限制的矩阵 至 关于基础 .

不变子空间的直接和

请记住 据说是 子空间 , 在这种情况下，我们 写如果 而且只有 如果

像刚刚所示的子空间之和被称为是 直接和 它表示为 通过如果 并且只有在 是 线性独立 每当 和 对于 .

不变子空间的直接和具有以下重要性质。

超过两个子空间

可以通过递归地将先前的命题扩展到 案子 哪一个 和所有子空间 不变。

实际影响

到目前为止，我们展示的所有内容的实际含义是什么？ 特别是，当我们处理定义的线性运算符时会发生什么 通过矩阵？我们在本节中提供一些答案。

让 成为 矩阵。让 成为所有人的空间 列向量。

我们考虑线性算子 由矩阵定义 , 那 是的对于 任何 .

假设我们已经能够找到两个不变的子空间 和 这样 那

其他 话，和 与...线性独立 每当 , 并且两个向量都不为零。

我们可以选择基地 和 对于 和 分别，我们知道 是基础 .

通过邻接向量的向量来定义以下矩阵 基础：

注意 哪里 是 保证存在的向量，因为 对于 由...的不变性 , 意思就是 可以写为基础的线性组合 （即 ）。 为了匹配上面的命题中使用的符号，我们 定义所以 那

同样，我们可以找到一个矩阵 这样 那

结果，我们 有要么哪里 是 可逆的 因为它是 列是基础的向量，根据定义，它们是线性独立的。

回顾一下的定义 矩阵 相似。最后一个方程意味着 类似于块对角线 矩阵和 的 基础改变 使用的矩阵 在相似变换中是 .

工作流程摘要

因此，矩阵的相似度转换过程 变成块对角矩阵 （这里归纳为两个以上不变子空间的情况） 如下：

• 我们确定不变的子空间 这样 那

• 我们找到不变子空间的基础，并用它们来构造 矩阵哪里 的列 是基础的向量 （对于 ）;

• 我们执行相似性 转型和 矩阵 原来是对角线。特别是 对角线上的方块，方块的尺寸等于 矩阵的列数 （即，每个碱基中的向量数）。

这是线性代数中最重要的工作流程之一！我们鼓励 读者要牢固地理解和记住它。

特征值和特征向量再次

上面我们已经解释了与的特征值相关的特征空间 是不变子集。

表示为 的独特特征值 和 它们各自的本征空间。

正如关于 线性的 特征向量的独立性， 什么时候 没有缺陷，我们可以形成一个 矩阵哪里 的列 是基础 和的所有列 在一起是空间的基础 在所有 列向量。作为一个 后果，

因此，我们可以使用特征向量矩阵 执行相似变换并获得块对角线 矩阵

实际上，在关于 矩阵对角化, 我们已经证明 是具有特征值的对角矩阵 在其主要对角线上。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义 矩阵

校验 那是 线性变换下的不变子空间定义为 .

练习2

让 成为 列向量。定义 矩阵

通过简单地检查 , 你能找到两个子空间吗 和 这样 那和 和 在定义的线性变换下不变 ?

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "不变子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/invariant-subspace.