如果子空间的元素为,则称其在线性算子下是不变的 由线性算子转换为属于子空间的元素 本身。
运算符的核,其范围和与运算符相关的本征空间 矩阵的特征值是不变子空间的突出示例。
搜索不变子空间是该领域最重要的主题之一 线性代数。原因很简单:如下所示,矩阵 大大简化了操作员相对于基础的表示 (例如,它变为块三角形或块对角线) 基的范围跨越不变子空间。
记住,给定一个 向量
空间
,
a 线性算子 是一个功能
保留 线性的
组合,
是的
对于
任何两个向量
和任何几个标量
.
定义
让
是向量空间,
线性运算符。让
是...的子空间
.
我们说
在下不变
当且仅当
对于任何
.
换句话说,如果
在下不变
,
然后的限制
至
,
表示为
,
是一个线性算子
(即
)。
的 核心 线性的
算子
是
的
子空间
以来
和所有元素
映射到
由运营商
,
内核
在下不变
.
的 范围 线性的
算子
是
的
子空间
以来
,
任何
被映射
进入
.
因此,范围是不变的。
让
成为
向量。让
成为
矩阵。我们可以使用矩阵
定义线性算子
如
如下:
假设
是一个 特征值
的
和
是的子空间
包含与之相关的所有特征向量
(所谓的本征空间)。
通过特征向量的定义,我们
有对于
任何
.
以来
是一个子空间
.
因此,本征空间
在下不变
.
不变子空间与块三角形之间存在紧密的联系 矩阵。
为了理解此链接,我们需要修改一些关于线性的事实 操作员。
让
是一个有限维向量空间,
a 基础 对于
.
如果
可以写成 线性的
组合 的基础
如
然后
它的 坐标向量 与
尊重
是
请记住,任何运算符
有一个关联的矩阵,该矩阵叫做
并由
,
这样,对于任何
,
我们
有
哪里
和
分别是的坐标向量
和
关于
.
前面我们已经证明了运算符的矩阵具有以下内容
结构体:
现在,我们准备在本演讲中陈述主要主张。
主张
让
是一个有限维向量空间,
线性运算符。让
是...的子空间
和
的基础
.
完成
以此为基础
对于
.
子空间
在下不变
当且仅当
具有块三角形
结构体
哪里
的 块
是
,
是
,
是
和
表示一个
零块。
我们首先证明“只有一部分”
从这个假设
是不变的。表示为
的
-th
进入
.
以来
是不变的
,
属于
因此,它可以写为
(和
在线性组合中输入零系数)。因此,对于
,
的坐标向量
是
如
结果,当
是不变的,运算符的矩阵
是
我们
现在从以下假设开始证明“如果存在”
具有假定的块三角形结构。任何向量
的坐标向量为
形成
哪里
是
和
是
.
然后,
因此,
.
因为这对任何人都是正确的
,
是不变子空间。
我们也可以
写哪里
是限制的矩阵
至
关于基础
.
请记住
据说是
子空间
,
在这种情况下,我们
写
如果
而且只有
如果
像刚刚所示的子空间之和被称为是
直接和 它表示为
通过如果
并且只有在
是 线性独立
每当
和
对于
.
不变子空间的直接和具有以下重要性质。
主张
让
是一个线性空间。让
和
是...的子空间
这样
那
让
和
成为
和
分别(因此,
是基础
)。
让
成为线性算子。然后,
和
都不变
当且仅当
具有块对角线
结构体
哪里
块
和
是
和
分别。
我们首先证明“仅当”部分
从这个假设
和
都不变
。通过直接和的性质,任何向量
有一个独特的
表示
哪里
和
.
此外,
在基础方面具有独特的代表
(对于
)。
因此,任何
可以写成的向量的线性组合
.
换一种说法,
是基础
.
首先
的列
是
以来
在下不变
,
暗示
.
因此,对于
,
可以写成的向量的线性组合
和第一个
的列
是
同样,
我们可以证明剩余的列
是
从而,
哪一个
是一个块对角矩阵,具有命题中所述的结构。我们
现在从以下假设开始证明“如果”部分
是块对角线。以来
是块上三角形,
上面关于块上三角矩阵的命题是不变的。
而且,任何向量
的坐标向量为
形成
哪里
是
和
是
.
然后,
因此,
.
因为这对任何人都是正确的
,
是不变子空间。
可以通过递归地将先前的命题扩展到
案子
哪一个
和所有子空间
不变。
主张
让
是一个线性空间。让
,
,
...,
是...的子空间
,
带底座
,
...,
,
这样的
那
所以
结果,
是
的基础
.
让
成为线性算子。然后,所有的集合
(对于
)
在下不变
当且仅当
具有块对角线
结构体
到目前为止,我们展示的所有内容的实际含义是什么? 特别是,当我们处理定义的线性运算符时会发生什么 通过矩阵?我们在本节中提供一些答案。
让
成为
矩阵。让
成为所有人的空间
列向量。
我们考虑线性算子
由矩阵定义
,
那
是的
对于
任何
.
假设我们已经能够找到两个不变的子空间
和
这样
那
其他
话,和
与...线性独立
每当
,
并且两个向量都不为零。
我们可以选择基地
和
对于
和
分别,我们知道
是基础
.
通过邻接向量的向量来定义以下矩阵
基础:
注意
哪里
是
保证存在的向量,因为
对于
由...的不变性
,
意思就是
可以写为基础的线性组合
(即
)。
为了匹配上面的命题中使用的符号,我们
定义
所以
那
同样,我们可以找到一个矩阵
这样
那
结果,我们
有要么
哪里
是 可逆的 因为它是
列是基础的向量,根据定义,它们是线性独立的。
回顾一下的定义 矩阵
相似。最后一个方程意味着
类似于块对角线
矩阵
和
的 基础改变 使用的矩阵
在相似变换中是
.
因此,矩阵的相似度转换过程
变成块对角矩阵
(这里归纳为两个以上不变子空间的情况)
如下:
我们确定不变的子空间
这样
那
我们找到不变子空间的基础,并用它们来构造
矩阵哪里
的列
是基础的向量
(对于
);
我们执行相似性
转型和
矩阵
原来是对角线。特别是
对角线上的方块,方块的尺寸等于
矩阵的列数
(即,每个碱基中的向量数)。
这是线性代数中最重要的工作流程之一!我们鼓励 读者要牢固地理解和记住它。
上面我们已经解释了与的特征值相关的特征空间
是不变子集。
表示为
的独特特征值
和
它们各自的本征空间。
正如关于
线性的
特征向量的独立性, 什么时候
没有缺陷,我们可以形成一个
矩阵
哪里
的列
是基础
和的所有列
在一起是空间的基础
在所有
列向量。作为一个
后果,
因此,我们可以使用特征向量矩阵
执行相似变换并获得块对角线
矩阵
实际上,在关于
矩阵对角化,
我们已经证明
是具有特征值的对角矩阵
在其主要对角线上。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义
矩阵
校验
那是
线性变换下的不变子空间定义为
.
任何向量
需要
形成
哪里
是一个标量。
然后,
如
结果,
和
是不变子空间。
让
成为
列向量。定义
矩阵
通过简单地检查
,
你能找到两个子空间吗
和
这样
那
和
和
在定义的线性变换下不变
?
注意
是块对角线
矩阵:
哪里
因此,
两个互补不变子空间
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "不变子空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/invariant-subspace.