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矩阵的逆

通过 博士

逆的概念 矩阵 是一个 倒数概念的多维概括:

目录

定义

让我们从逆的定义开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。它的逆(如果存在)是 $ Kimes K $ 矩阵 $ A ^ {-1} $ 那 满足[eq1]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵如果 $ A ^ {-1} $ 存在,那么我们说 A 是可逆的。

什么时候 $K=1$, 然后 $I=1$[eq2]哪一个 清楚地表明,以上定义概括了互惠的概念 一个号码。

考虑矩阵 [eq3]然后, 我们可以验证 那[eq4]通过 进行 之间的乘法 二 矩阵:[eq5]

逆的存在

在什么条件下方矩阵是可逆的?下一个命题 回答这个问题。

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 是可逆的,当且仅当它是 全职.

证明

让我们首先证明“如果”部分(完整排名 暗示可逆性)。表示为 [eq6]K 的列 $ Kimes K $ 单位矩阵 I. 如果 A 是全等级的 K 列是 线性地 独立。这意味着任何 K尺寸 向量可以写成 线性组合 的 的列 A (请参阅有关 标准 基地 证明)。因此,对于 $ k = 1,ldots,K $, 我们可以写 $ e_ {k} $ 作为以下各列的线性组合 A:[eq7]哪里 [eq8] 是线性组合的系数。通过使用呈现的结果 在关于 矩阵 乘法和线性组合,这些系数可以堆叠 形成一个 Kx1 向量 [eq9]这样 那[eq10]此外, 列向量 $ C_ {ullet k} $ 可以并排放置以形成一个 $ Kimes K $ 矩阵 [eq11]这样 那[eq12]从而, A 是可逆的 [eq13]我们 现在将证明“仅当”部分(可逆性意味着排名较高)。 如果逆 $ A ^ {-1} $ 存在, 然后[eq14]后乘 等式两边都可以 Kx1 向量 $ v $, 我们 得到[eq15]要么[eq16]从而, 任何向量 $ v $ 可以写成以下各列的线性组合 A, 取自 $ A ^ {-1} v $. 换句话说, A 跨度 所有空间 Kx1 向量。如果它们不是线性独立的,那么我们将能够 消除其中的一些并获得一组线性独立的向量 1)是空间的基础 $ S $ 在所有 Kx1 向量; 2)基数小于 K. 但这是不可能的,因为 $ S $ 基数等于 K (请参阅有关 标准 基地)。因此, A 必须是线性独立的,这意味着 A 有完整的排名。

奇异矩阵

不可逆的矩阵称为 奇异矩阵. 根据以上命题,奇异矩阵是不具有 全职。因此,有时也称奇异矩阵 等级不足.

逆的唯一性

主张 如果a的倒数 $ Kimes K $ 矩阵存在,那么它是唯一的。

证明

在证明矩阵 A 当且仅当它是全秩时才是可逆的,我们证明了逆 可以通过找到向量逐列构造 $ C_ {ullet k} $ 那 解决[eq10]那 是通过将规范基础的向量写为的线性组合 的列 A. 由于向量在基础上的表示是唯一的,因此 向量 $ C_ {ullet k} $ 是独一无二的但是后者是 $ A ^ {-1} $. 因此, $ A ^ {-1} $ 是独特的。

左右反转

一个重要的事实是 $ A ^ {-1} $ 不仅在预乘时还提供恒等矩阵 后乘以 A.

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果逆 $ A ^ {-1} $ 存在,它不仅满足 健康)状况[eq18]但 还有 健康)状况[eq19]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

乘以两边 方程[eq20]通过 A, 和 获得[eq21]要么 [eq22]但 我们还有 那[eq23]现在, 方程(1)和(2)暗示着 [eq19]尽管如此, 需要证明。证明如下。等式(1)表示 的列 A, 在等式的右边,可以看成是 的列 A 本身,在左侧,系数取自 $ A ^ {-1} A $. 等式(2)表示 A, 在等式的右边,可以看成是 的列 A 本身,在左侧,系数取自 I. 以来 A 是全等级的,其列是所有空间的基础 Kx1 向量,以及根据基础的表示的唯一性(请参见 演讲题目 基础 线性空间),则线性组合的系数必须为 一样的 是的[eq19]

乘积的倒数

以下命题成立。

主张A$ B $ 是两个 $ Kimes K $ 矩阵。然后,产品 $ AB $ 是可逆的,当且仅当 A$ B $ 是可逆的。 此外,[eq26]

证明

两种矩阵 A$ B $ 当且仅当它们是完整等级时才是可逆的(请参见上文)。如果 A$ B $ 是全等级的 $ AB $ 排名较高(请参阅 矩阵产品和 秩)。相反,如果两个矩阵中的至少一个不是 完全排名,则其产品的排名小于 K 因为[eq27]在 换句话说,只有在 A$ B $ 是全职的。此外,可以很容易地检查 $ B ^ {-1} A ^ {-1} $ 满足的逆定义 $ AB $:[eq28]

转置的逆

下一个命题展示了如何计算a的转置的逆 矩阵。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ A ^ {op} $ 它的转置。如果 A 是可逆的 $ A ^ {op} $ 是可逆的 [eq29]

证明

我们有 那[eq30]通过 转置等式两边,我们 获得[eq31]因为 单位矩阵等于其转置。通过使用公式 产品换位,我们 得到[eq32]所以, [eq33] 满足的逆定义 $ A ^ {op} $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义[eq34]

校验 那[eq35]

我们需要进行乘法 两者之间 矩阵:[eq36]其 积等于单位矩阵,所以 $ A ^ {-1} $ 确实是 A.

练习2

A, $ B $$ C $$ Kimes K $ 全等级矩阵。表达 逆[eq37]在 的逆项 A, $ B $$ C $.

我们必须反复应用公式 对于a的逆 产品:[eq38]

练习3

节目 那[eq39]

根据定义, $ A ^ {-1} $ 需要 满足[eq40][eq19]如 结果, [eq39]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵的逆", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/inverse-matrix.

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