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矩阵的逆

通过 博士

逆的概念 矩阵 是一个 倒数概念的多维概括：

目录

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  1. 定义

  2. 逆的存在

  3. 奇异矩阵

  4. 逆的唯一性

  5. 左右反转

  6. 乘积的倒数

  7. 转置的逆

  8. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

定义

让我们从逆的定义开始。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。它的逆（如果存在）是 $ Kimes K $ 矩阵 $ A ^ {-1} $ 那 满足[eq1]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵如果 $ A ^ {-1} $ 存在，那么我们说 A 是可逆的。

什么时候 $K=1$, 然后 $I=1$ 和 [eq2]哪一个 清楚地表明，以上定义概括了互惠的概念 一个号码。

例 考虑矩阵 [eq3]然后， 我们可以验证 那[eq4]通过 进行 之间的乘法 二 矩阵:[eq5]

逆的存在

在什么条件下方矩阵是可逆的？下一个命题 回答这个问题。

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 是可逆的，当且仅当它是 全职.

证明

让我们首先证明“如果”部分（完整排名 暗示可逆性）。表示为 [eq6] 的 K 的列 $ Kimes K $ 单位矩阵 I. 如果 A 是全等级的 K 列是 线性地 独立。这意味着任何 K尺寸 向量可以写成 线性组合 的 的列 A （请参阅有关 标准 基地 证明）。因此，对于 $ k = 1，ldots，K $, 我们可以写 $ e_ {k} $ 作为以下各列的线性组合 A:[eq7]哪里 [eq8] 是线性组合的系数。通过使用呈现的结果 在关于 矩阵 乘法和线性组合，这些系数可以堆叠 形成一个 Kx1 向量 [eq9]这样 那[eq10]此外， 列向量 $ C_ {ullet k} $ 可以并排放置以形成一个 $ Kimes K $ 矩阵 [eq11]这样 那[eq12]从而， A 是可逆的 [eq13]我们 现在将证明“仅当”部分（可逆性意味着排名较高）。 如果逆 $ A ^ {-1} $ 存在， 然后[eq14]后乘 等式两边都可以 Kx1 向量 $ v $, 我们 得到[eq15]要么[eq16]从而， 任何向量 $ v $ 可以写成以下各列的线性组合 A, 取自 $ A ^ {-1} v $. 换句话说， A 跨度 所有空间 Kx1 向量。如果它们不是线性独立的，那么我们将能够 消除其中的一些并获得一组线性独立的向量 1）是空间的基础 $ S $ 在所有 Kx1 向量; 2）基数小于 K. 但这是不可能的，因为 $ S $ 基数等于 K （请参阅有关 标准 基地）。因此， A 必须是线性独立的，这意味着 A 有完整的排名。

奇异矩阵

不可逆的矩阵称为 奇异矩阵. 根据以上命题，奇异矩阵是不具有 全职。因此，有时也称奇异矩阵 等级不足.

逆的唯一性

主张 如果a的倒数 $ Kimes K $ 矩阵存在，那么它是唯一的。

证明

在证明矩阵 A 当且仅当它是全秩时才是可逆的，我们证明了逆 可以通过找到向量逐列构造 $ C_ {ullet k} $ 那 解决[eq10]那 是通过将规范基础的向量写为的线性组合 的列 A. 由于向量在基础上的表示是唯一的，因此 向量 $ C_ {ullet k} $ 是独一无二的但是后者是 $ A ^ {-1} $. 因此， $ A ^ {-1} $ 是独特的。

左右反转

一个重要的事实是 $ A ^ {-1} $ 不仅在预乘时还提供恒等矩阵 后乘以 A.

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果逆 $ A ^ {-1} $ 存在，它不仅满足 健康）状况[eq18]但 还有 健康）状况[eq19]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵

证明

乘以两边 方程[eq20]通过 A, 和 获得[eq21]要么 [eq22]但 我们还有 那[eq23]现在， 方程（1）和（2）暗示着 [eq19]尽管如此， 需要证明。证明如下。等式（1）表示 的列 A, 在等式的右边，可以看成是 的列 A 本身，在左侧，系数取自 $ A ^ {-1} A $. 等式（2）表示 A, 在等式的右边，可以看成是 的列 A 本身，在左侧，系数取自 I. 以来 A 是全等级的，其列是所有空间的基础 Kx1 向量，以及根据基础的表示的唯一性（请参见 演讲题目 基础 线性空间），则线性组合的系数必须为 一样的 是的[eq19]

乘积的倒数

以下命题成立。

主张 让 A 和 $ B $ 是两个 $ Kimes K $ 矩阵。然后，产品 $ AB $ 是可逆的，当且仅当 A 和 $ B $ 是可逆的。 此外，[eq26]

证明

两种矩阵 A 和 $ B $ 当且仅当它们是完整等级时才是可逆的（请参见上文）。如果 A 和 $ B $ 是全等级的 $ AB $ 排名较高（请参阅 矩阵产品和 秩）。相反，如果两个矩阵中的至少一个不是 完全排名，则其产品的排名小于 K 因为[eq27]在 换句话说，只有在 A 和 $ B $ 是全职的。此外，可以很容易地检查 $ B ^ {-1} A ^ {-1} $ 满足的逆定义 $ AB $:[eq28]

转置的逆

下一个命题展示了如何计算a的转置的逆 矩阵。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ A ^ {op} $ 它的转置。如果 A 是可逆的 $ A ^ {op} $ 是可逆的 [eq29]

证明

我们有 那[eq30]通过 转置等式两边，我们 获得[eq31]因为 单位矩阵等于其转置。通过使用公式 产品换位，我们 得到[eq32]所以， [eq33] 满足的逆定义 $ A ^ {op} $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义[eq34]

校验 那[eq35]

解

我们需要进行乘法 两者之间 矩阵：[eq36]其 积等于单位矩阵，所以 $ A ^ {-1} $ 确实是 A.

练习2

让 A, $ B $ 和 $ C $ 是 $ Kimes K $ 全等级矩阵。表达 逆[eq37]在 的逆项 A, $ B $ 和 $ C $.

解

我们必须反复应用公式 对于a的逆 产品：[eq38]

练习3

节目 那[eq39]

解

根据定义， $ A ^ {-1} $ 需要 满足[eq40]但[eq19]如 结果， [eq39]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "矩阵的逆", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/inverse-matrix.

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