逆的概念 矩阵 是一个 倒数概念的多维概括:
一个数字与其倒数之间的乘积等于1;
方阵与其逆之间的乘积等于恒等式 矩阵。
让我们从逆的定义开始。
定义
让
成为
矩阵。它的逆(如果存在)是
矩阵
那
满足
哪里
是个
单位矩阵如果
存在,那么我们说
是可逆的。
什么时候
,
然后
和
哪一个
清楚地表明,以上定义概括了互惠的概念
一个号码。
例
考虑矩阵
然后,
我们可以验证
那
通过
进行
之间的乘法
二
矩阵:
在什么条件下方矩阵是可逆的?下一个命题 回答这个问题。
主张
A
矩阵
是可逆的,当且仅当它是
全职.
让我们首先证明“如果”部分(完整排名
暗示可逆性)。表示为
的
的列
单位矩阵
.
如果
是全等级的
列是 线性地
独立。这意味着任何
尺寸
向量可以写成
线性组合 的
的列
(请参阅有关 标准
基地 证明)。因此,对于
,
我们可以写
作为以下各列的线性组合
:
哪里
是线性组合的系数。通过使用呈现的结果
在关于
矩阵
乘法和线性组合,这些系数可以堆叠
形成一个
向量
这样
那
此外,
列向量
可以并排放置以形成一个
矩阵
这样
那
从而,
是可逆的
我们
现在将证明“仅当”部分(可逆性意味着排名较高)。
如果逆
存在,
然后
后乘
等式两边都可以
向量
,
我们
得到
要么
从而,
任何向量
可以写成以下各列的线性组合
,
取自
.
换句话说,
跨度 所有空间
向量。如果它们不是线性独立的,那么我们将能够
消除其中的一些并获得一组线性独立的向量
1)是空间的基础
在所有
向量; 2)基数小于
.
但这是不可能的,因为
基数等于
(请参阅有关 标准
基地)。因此,
必须是线性独立的,这意味着
有完整的排名。
不可逆的矩阵称为 奇异矩阵. 根据以上命题,奇异矩阵是不具有 全职。因此,有时也称奇异矩阵 等级不足.
主张
如果a的倒数
矩阵存在,那么它是唯一的。
在证明矩阵
当且仅当它是全秩时才是可逆的,我们证明了逆
可以通过找到向量逐列构造
那
解决
那
是通过将规范基础的向量写为的线性组合
的列
.
由于向量在基础上的表示是唯一的,因此
向量
是独一无二的但是后者是
.
因此,
是独特的。
一个重要的事实是
不仅在预乘时还提供恒等矩阵
后乘以
.
主张
让
成为
矩阵。如果逆
存在,它不仅满足
健康)状况
但
还有
健康)状况
哪里
是个
单位矩阵
乘以两边
方程通过
,
和
获得
要么
但
我们还有
那
现在,
方程(1)和(2)暗示着
尽管如此,
需要证明。证明如下。等式(1)表示
的列
,
在等式的右边,可以看成是
的列
本身,在左侧,系数取自
.
等式(2)表示
,
在等式的右边,可以看成是
的列
本身,在左侧,系数取自
.
以来
是全等级的,其列是所有空间的基础
向量,以及根据基础的表示的唯一性(请参见
演讲题目 基础
线性空间),则线性组合的系数必须为
一样的
是的
以下命题成立。
主张
让
和
是两个
矩阵。然后,产品
是可逆的,当且仅当
和
是可逆的。
此外,
两种矩阵
和
当且仅当它们是完整等级时才是可逆的(请参见上文)。如果
和
是全等级的
排名较高(请参阅
矩阵产品和
秩)。相反,如果两个矩阵中的至少一个不是
完全排名,则其产品的排名小于
因为
在
换句话说,只有在
和
是全职的。此外,可以很容易地检查
满足的逆定义
:
下一个命题展示了如何计算a的转置的逆 矩阵。
主张
让
成为
矩阵和
它的转置。如果
是可逆的
是可逆的
我们有
那通过
转置等式两边,我们
获得
因为
单位矩阵等于其转置。通过使用公式
产品换位,我们
得到
所以,
满足的逆定义
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义
校验
那
我们需要进行乘法
两者之间
矩阵:其
积等于单位矩阵,所以
确实是
.
让
,
和
是
全等级矩阵。表达
逆
在
的逆项
,
和
.
我们必须反复应用公式
对于a的逆
产品:
节目
那
根据定义,
需要
满足
但
如
结果,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵的逆", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/inverse-matrix.