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线性地图的内核

经过 ,博士学位

线性地图(或转换或功能) $ f:s
ighararow t $ 转换矢量空间的元素  $ s $ 被称为域名另一个传染媒介空间的元素  $ t $ called codomain.

线性变换的内核(或空空格)是 域被转换为零向量。

目录

内核的定义

让我们提供更正式的内核定义。

定义 Let  $ s $ and  $ t $ be two vector spaces 。 让 $ f:s
ighararow t $ be a linear map 。 这 set[eq1] 是 称为null空格(或内核)  $ F $. .

让我们看到一些例子。

例子 Let  $ s = t $ be the space of all $ 2倍1美元 column vectors having real entries. Let $ f:s
ighararow t $ 是由的线性地图定义 matrix product[eq2] 在哪里 [eq3] 为了 any $ sin s $, denote by $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ the two entries of  $ s $ , so that[eq4] 作为 a consequence, $As=0$ whenever $ s_ {1} = s_ {2} $. 因此,内核  $ F $. 由所有载体形成  $ s $ 谁的两个条目等于每个条目 other:[eq5]

例子 Let  $ s $ and  $ t $ 分别是所有的空间 $ 2倍1美元 and $ 3 $ 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:s
ighararow t $ 是矩阵定义的线性映射 product[eq6] 在哪里 [eq7] 为了 any $ sin s $, denote by $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ the two entries of  $ s $ , so that[eq8] 经过 看着三个参赛作品  $ AS $ , it is apparent that $As=0$ only when $ s_ {1} = s_ {2} = 0 $. 因此核心  $ F $. 由单个矢量形成,零 vector:[eq9]

内核是域的线性子空间

null空间的一个有趣的属性是它是一个子空间 域,即,它对采取线性组合封闭。

主张 Let  $ s $ and  $ t $ 是两个矢量空间。让 $ f:s
ighararow t $ 是一个线性地图。然后,空白 $ qtr {rm} {null} f $ is a subspace of  $ s $ .

证明

通过子空间的定义, $ qtr {rm} {null} f $ is a subspace of  $ s $ 如果且仅当任何线性组合的元素 $ qtr {rm} {null} f $ belongs to $ qtr {rm} {null} f $. 让我们检查是否已验证此条件。任意选择两个矢量 [eq10] and two scalars $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $. Then,[eq11]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们已经使用了这个事实  $ F $. 是一个线性地图;在步骤中 $ rame {b} $ 我们已经使用了这个事实 [eq12] 而且,因此, [eq13]. Thus, the linear combination[eq14]属于 到内核​​(因为函数  $ F $. 将其映射到零向量)中)。这正是我们所需要的证明。

请注意,零向量始终属于内核。事实上,线性度 of  $ F $. implies that[eq15] 为了 any $ sin s $ and any scalar $ lpha $. Thus, when we set $ lpha = 0 $, 以前的等式 becomes[eq16]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let  $ s = t $ be the space of all $ 2倍1美元 具有真实条目的列向量。让 $ f:s
ighararow t $ 是由...定义的线性地图 [eq17] 在哪里 [eq18]

找到null空格  $ F $. .

解决方案

对于任何一个 $ sin s $, denote by $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ the two entries of  $ s $ , so that[eq19]因此, $As=0$ for $ s_ {1} = 0 $ and any value of $ s_ {2} $. 因此,空的空间  $ F $. is:[eq20]

练习2

请记住,线性变换 $ f:s
ighararow t $ 可以通过指定所带来的值来定义  $ F $. 在通信的情况下 basis of  $ s $ (see the lecture on linear maps )。

Let [eq21] be a basis for  $ s $ . Let [eq22] be a basis for  $ t $ . Suppose that  $ F $. is defined by[eq23] 找 the kernel of  $ F $. .

解决方案

任何矢量图 $ sin s $ 可以在基础上表示  $ b $ as[eq24] 在哪里 [eq25] 是标量。然后,通过线性的  $ F $. , we have that[eq26] 所以, we have that [eq27] whenever[eq28]因此, [eq29]

练习3.

Let  $ s $ and  $ t $ 分别是所有的空间 $ 3 $ 1 $ and $ 4倍1美元 具有真实条目的列向量。让 $ f:s
ighararow t $ 是矩阵定义的线性映射 product[eq30] 在哪里 A is a $ 4 $ 3 $ matrix.

找到null空格  $ F $. 在假设下,列 A are linearly independent.

解决方案

表示 $ a_ {1},a_ {2},a_ {3} $ the three columns of A. For any $ sin s $, denote by $ s_ {1},s_ {2},s_ {3} $ the three entries of  $ s $ . The product  $ AS $ can 被写为列的线性组合 of A 从载体中取得系数  $ s $ :[eq31]自从 the three columns of A 是线性独立的,唯一的 linear combination that gives[eq32] 是 与系数的组合 [eq33]. Therefore,[eq34]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性地图的内核", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/kernel-of-a-linear-map.

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