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线性图的内核

通过 博士

线性图(或变换或函数) $ f:S
ightarrow T $ 转换向量空间的元素  $ S $ 将域称为另一个向量空间的元素  $ T $ 称为共域。

线性变换的核(或零空间)是 转换为零向量的域。

目录

内核的定义

让我们提供一个更正式的内核定义。

定义 $ S $  $ T $ 是两个 向量空间 。 让 $ f:S
ightarrow T $ 成为 线性图。的 组 [eq1] 是 称为的空空间(或内核)  $ f $ .

让我们看一些例子。

$ S = T $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 列向量 有真实 条目。让 $ f:S
ightarrow T $ 是由定义的线性图 矩阵 产品[eq2] 哪里 [eq3] 对于 任何 $罪S $, 用...表示 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 的两个条目  $ s $ , 所以 那 [eq4] 如 结果, $As=0$ 每当 $ s_ {1} = s_ {2} $. 因此,内核  $ f $ 由...的所有向量组成  $ S $ 其两个条目相等 其他:[eq5]

 $ S $  $ T $ 分别是所有空间 $ 2imes 1 $$ 3imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:S
ightarrow T $ 是矩阵定义的线性图 产品[eq6] 哪里 [eq7] 对于 任何 $罪S $, 用...表示 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 的两个条目  $ s $ , 所以 那 [eq8] 通过 看一下三个条目  $  如  $ , 显然, $As=0$ 只有当 $ s_ {1} = s_ {2} = 0 $. 因此,  $ f $ 由单个向量组成,零 向量:[eq9]

核是域的线性子空间

空空间的一个有趣特性是它是 领域,也就是说,对于采用线性组合,它是封闭的。

主张 $ S $  $ T $ 是两个向量空间。让 $ f:S
ightarrow T $ 是线性图。然后,空空间 $ QTR {rm} {null} f $ 是一个 子空间 $ S $ .

证明

根据子空间的定义, $ QTR {rm} {null} f $ 是一个 子空间 $ S $ 当且仅当元素的任何线性组合 $ QTR {rm} {null} f $ 属于 $ QTR {rm} {null} f $. 让我们检查此条件是否已验证。任意选择两个向量 [eq10] 和两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 然后, [eq11]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实  $ f $ 是线性图;在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 [eq12] 结果, [eq13]. 因此,线性 组合[eq14]属于 到内核​​(因为功能  $ f $ 将其映射到零向量)。这正是我们需要证明的。

请注意,零向量始终属于内核。实际上,线性 的  $ f $ 暗示 那 [eq15] 对于 任何 $罪S $ 和任何标量 $ lpha $. 因此,当我们设定 $ lpha = 0 $, 先前的方程式 变成[eq16]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S = T $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:S
ightarrow T $ 是由定义的线性图 [eq17] 哪里 [eq18]

查找的空空间  $ f $ .

对于任何 $罪S $, 用...表示 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 的两个条目  $ s $ , 所以 那 [eq19]因此, $As=0$ 对于 $ s_ {1} = 0 $ 和任何值 $ s_ {2} $. 因此,  $ f $ 是: [eq20]

练习2

记住线性变换 $ f:S
ightarrow T $ 可以通过指定  $ f $ 对应于 基础 $ S $ (请参阅有关 线性图 )。

[eq21] 作为...的基础  $ S $ . 让 [eq22] 作为...的基础  $ T $ . 假设  $ f $ 被定义为 通过 [eq23] 找 的核心  $ f $ .

任何向量 $罪S $ 可以用基础来表示  $ B $ [eq24] 哪里 [eq25] 是标量。然后,通过  $ f $ , 我们有 那 [eq26] 所以, 我们有 [eq27] 每当[eq28] 从而, [eq29]

练习3

 $ S $  $ T $ 分别是所有空间 $ 3imes 1 $$ 4imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:S
ightarrow T $ 是矩阵定义的线性图 产品[eq30] 哪里 A 是一个 4美元3美元 矩阵。

查找的空空间  $ f $ 在以下假设下 A 线性独立.

表示为 $ A_ {1},A_ {2},A_ {3} $ 三列 A. 对于任何 $罪S $, 用...表示 $ s_ {1},s_ {2},s_ {3} $ 的三个条目  $ s $ . 产品  $  如  $ 能够 写成列的线性组合A 取自向量的系数  $ s $ :[eq31] 以来 三列 A 是线性独立的,唯一的 线性组合 那 给[eq32] 是 与系数结合 [eq33]. 因此,[eq34]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性图的内核", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/kernel-of-a-linear-map.

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