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指数 > Matrix algebra

线性组合

经过 ,博士学位

这段讲座是关于线性组合的 vectors and matrices 。 线性 通过将矩阵乘以标量来获得组合,并通过添加来获得 他们在一起。因此,为了理解您需要的讲座 熟悉讲座中介绍的概念 Matrix addition and Multiplication of a matrix by a scalar.

目录

定义

通过给出线性组合的正式定义让我们开始。

定义 Let [eq1] be n 矩阵具有尺寸  $ kimes l $ . A  $ kimes l $ matrix  $ b $ is a 线性组合 of [eq2] 如果并且只有存在 n scalars [eq3], called 系数 线性组合,这样 [eq4]

换句话说,如果你拍了一组矩阵,你将它们乘以一个 标量,你加入由此获得的所有产品,然后获得一个 linear combination.

注意,线性组合中涉及的所有矩阵都需要具有 相同的尺寸(否则矩阵添加是不可能的)。

例子 Let  $ a_ {1} $ and  $ a_ {2} $ be  $ 2 $ 2 $ matrices defined as follows:[eq5]$ lpha _ {1} = 2 $ and $ lpha _ {2} =  -  1 $ 是两个标量。然后,这 matrix[eq6] 是 线性组合  $ a_ {1} $ and  $ a_ {2} $ . It is computed as follows:[eq7]

载体的线性组合

大多数时候,在线性代数我们处理线性组合 列向量(或行向量),即只有一列的矩阵 (or only one row).

例子 Let  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ be  $ 3 $ 1 $ 列向量定义为 follows:[eq8] $ b $ 是定义的另一个列向量 as[eq9] $ b $ 线性组合  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ ? 为了回答这个问题,请注意,线性组合  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ with coefficients $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ and $ lpha _ {3} $ has the following form:[eq10] 现在,  $ b $ 是一种线性组合  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ 如果,只要我们能找到 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ and $ lpha _ {3} $ such that [eq11] 哪一个 is equivalent to[eq12] 但 我们知道,只有在它们的相应元素时,两个向量是相等的 彼此等于。这意味着满足上述等式 如果且仅在以下三个方程式同时 satisfied:[eq13] 这 第二个等式为我们提供了第一个的价值 coefficient:[eq14] 经过 将此值替换为第三等式,我们 obtain[eq15] 最后, 通过代替价值 $ lpha _ {2} $ 在第一个等式中,我们 get[eq16] 你 可以轻松检查这些值是否真的构成了我们的解决方案 problem:[eq17] 所以, 我们问题的答案是肯定的。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define two $ 3 $ 2 $ matrices  $ a_ {1} $ and  $ a_ {2} $ as follows:[eq18]$ lpha _ {1} = 1/2 $ and $ lpha _ {2} = 1 $ 是两个标量。计算线性 combination[eq19]

解决方案

它被计算为 follows:[eq20]

练习2

Let  $ a_ {1} $ and  $ a_ {2} $ be $ 2倍1美元 vectors:[eq21] 计算 线性的值 combination[eq22]

解决方案

这是如此 follows:[eq23]

练习3.

Let A be the following $ 3 $ 2 $ matrix:[eq24] 是 the $ 2倍1美元 zero vector[eq25]a 线性组合行 A?

解决方案

表示行的行 A by  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ . 线性组合  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ with coefficients $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ and $ lpha _ {3} $ can be written as[eq26] 现在, the $ 2倍1美元 零载体是一种线性组合  $ a_ {1} $ ,  $ a_ {2} $ and  $ a_ {3} $ 如果并且仅在存在系数时 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ and $ lpha _ {3} $ such that [eq27] 哪一个 is the same as[eq28] 因为 如果且仅当它们的相应条目都是相等的,则两个向量相等 彼此,如果且仅在以下系统时,则满足该等方程式 of two equations is satisfied:[eq29] 这 can be rewritten as[eq30] 这 意味着,无论我们选择的任何价值 $ lpha _ {1} $, 提供了系统,提供了系统 [eq31] and [eq32]. 例如,如果我们选择 $ lpha _ {1} = 0 $, then we need to set[eq33] 所以, one solution is [eq34] 如果 说,我们选择不同的价值 $ lpha _ {1} = 1 $, 然后我们有一个不同的 solution:[eq35] 在 相同的方式,您可以通过选择来获得无限的解决方案 different values of $ lpha _ {1} $ and changing $ lpha _ {2} $ and $ lpha _ {3} $ 因此。您可以轻松检查任何这些线性组合吗? 结果给出零载体。例如,上面提出的解决方案 ($ lpha _ {1} = 1 $, $ lpha _ {2} =  -  2 $, $ lpha _ {3} =  -  2 $) gives[eq36]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "线性组合", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-combinations.

这本书

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