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线性组合

通过 博士

本课讲的是线性组合 向量和矩阵 。 线性的 组合是通过将矩阵乘以标量，然后乘以 他们在一起。为了理解本讲座，您需要 熟悉以下讲座中介绍的概念 矩阵加法 和 一个乘法 标量矩阵.

目录

目录

  1. 定义

  2. 向量的线性组合

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

定义

让我们从给出线性组合的形式定义开始。

定义 让 [eq1] 是 n 具有维度的矩阵 $ Kimes L $ . A $ Kimes L $ 矩阵 $ B $ 是一个 线性组合 的 [eq2] 当且仅当存在时 n 标量 [eq3], 叫 系数 线性组合的 [eq4]

换句话说，如果采用一组矩阵，则将每个矩阵乘以 标量，然后将由此获得的所有乘积相加，然后获得 线性组合。

请注意，线性组合中涉及的所有矩阵都需要具有 尺寸相同（否则将无法添加矩阵）。

例 让 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 是 2元2元 矩阵定义为 如下： [eq5] 让 $ lpha _ {1} = 2 $ 和 $ lpha _ {2} =-1 $ 是两个标量。然后， 矩阵 [eq6] 是 的线性组合 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ . 计算为 如下： [eq7]

向量的线性组合

大多数时候，在线性代数中，我们处理 列向量（或行向量），即只有一列的矩阵 （或仅一行）。

例 让 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 是 $ 3imes 1 $ 列向量定义为 如下： [eq8] 让 $ B $ 被定义的另一个列向量 如 [eq9] 是 $ B $ 的线性组合 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ ? 为了回答这个问题，请注意 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 带有系数 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ 和 $ lpha _ {3} $ 具有以下 形成： [eq10] 现在， $ B $ 是...的线性组合 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 当且仅当我们能够找到 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ 和 $ lpha _ {3} $ 这样 [eq11] 哪一个 等价的 至 [eq12] 但 我们知道两个向量是相等的，当且仅当它们对应的元素 彼此平等。这意味着上述等式得到满足 如果且仅同时满足以下三个方程式 满意： [eq13] 的 第二个方程式给我们第一个方程式的价值 系数：[eq14] 通过 将这个值代入第三个方程式，我们 获得 [eq15] 最后， 通过代入 $ lpha _ {2} $ 在第一个方程中，我们 得到 [eq16] 您 可以轻松地检查这些值是否真正构成了我们的解决方案 问题： [eq17]因此， 我们问题的答案是肯定的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义两个 3美金2美金 矩阵 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 如 如下： [eq18] 让 $ lpha _ {1} = 1/2 $ 和 $ lpha _ {2} = 1 $ 是两个标量。计算线性 组合[eq19]

解

计算为 如下： [eq20]

练习2

让 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 是 $ 2imes 1 $ 向量： [eq21] 计算 线性值 组合[eq22]

解

这样做是 如下： [eq23]

练习3

让 A 如下 3美金2美金 矩阵： [eq24] 是 的 $ 2imes 1 $ 零 向量 [eq25]a 的行的线性组合 A?

解

表示的行 A 通过 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ . 的线性组合 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 带有系数 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ 和 $ lpha _ {3} $ 可以写 如 [eq26] 现在， 的 $ 2imes 1 $ 零向量是的线性组合 $ A_ {1} $ , $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 当且仅当存在系数时 $ lpha _ {1} $, $ lpha _ {2} $ 和 $ lpha _ {3} $ 这样 [eq27] 哪一个 是一样的 如 [eq28] 因为 当且仅当两个向量的对应条目全部相等时，两个向量才相等 彼此之间，且仅当以下系统满足该方程式 两个方程式是 满意： [eq29] 这个 可以改写 如 [eq30] 这个 意味着，无论我们选择什么价值 $ lpha _ {1} $, 只要我们设置好系统 [eq31] 和 [eq32]. 例如，如果我们选择 $ lpha _ {1} = 0 $, 那么我们需要 组 [eq33]因此， 一种解决方案是 [eq34] 如果 我们选择一个不同的值 $ lpha _ {1} = 1 $, 然后我们有一个不同的 解： [eq35] 在 同样地，您可以通过选择获得无限多个解决方案 不同的值 $ lpha _ {1} $ 和改变 $ lpha _ {2} $ 和 $ lpha _ {3} $ 相应地。您可以轻松检查这些线性组合中的任何一个 给出零向量的结果。例如，上面提出的解决方案 ($ lpha _ {1} = 1 $, $ lpha _ {2} =-2 $, $ lpha _ {3} =-2 $) 给 [eq36]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性组合", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-combinations.

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