线性组合

经过 Marco Taboga. ，博士学位

这段讲座是关于线性组合的 vectors and matrices 。线性通过将矩阵乘以标量来获得组合，并通过添加来获得他们在一起。因此，为了理解您需要的讲座熟悉讲座中介绍的概念 Matrix addition and Multiplication of a matrix by a scalar.

定义
载体的线性组合
解决练习

练习1
练习2
练习3.

定义

通过给出线性组合的正式定义让我们开始。

定义 Let be 矩阵具有尺寸 . A matrix is a 线性组合 of 如果并且只有存在 scalars , called 系数线性组合，这样

换句话说，如果你拍了一组矩阵，你将它们乘以一个标量，你加入由此获得的所有产品，然后获得一个 linear combination.

注意，线性组合中涉及的所有矩阵都需要具有相同的尺寸（否则矩阵添加是不可能的）。

例子 Let $a_ {1}$ and $a_ {2}$ be matrices defined as follows: [eq5] 让 $lpha _ {1} = 2$ and $lpha _ {2} = - 1$ 是两个标量。然后，这 matrix 是线性组合 $a_ {1}$ and $a_ {2}$ . It is computed as follows: [eq7]

载体的线性组合

大多数时候，在线性代数我们处理线性组合列向量（或行向量），即只有一列的矩阵 (or only one row).

例子 Let $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ be 列向量定义为 follows: [eq8] 让是定义的另一个列向量 as [eq9] 是线性组合 $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ ? 为了回答这个问题，请注意，线性组合 $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ with coefficients $lpha _ {1}$ , $lpha _ {2}$ and $lpha _ {3}$ has the following form: [eq10] 现在，是一种线性组合 $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ 如果，只要我们能找到 $lpha _ {1}$ , $lpha _ {2}$ and $lpha _ {3}$ such that 哪一个 is equivalent to [eq12] 但我们知道，只有在它们的相应元素时，两个向量是相等的彼此等于。这意味着满足上述等式如果且仅在以下三个方程式同时 satisfied: [eq13] 这第二个等式为我们提供了第一个的价值 coefficient: 经过将此值替换为第三等式，我们 obtain 最后，通过代替价值 $lpha _ {2}$ 在第一个等式中，我们 get 你可以轻松检查这些值是否真的构成了我们的解决方案 problem: [eq17] 所以，我们问题的答案是肯定的。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define two matrices $a_ {1}$ and $a_ {2}$ as follows: [eq18] 让 $lpha _ {1} = 1/2$ and $lpha _ {2} = 1$ 是两个标量。计算线性 combination

解决方案

它被计算为 follows: [eq20]

练习2

Let $a_ {1}$ and $a_ {2}$ be vectors: [eq21] 计算线性的值 combination

解决方案

这是如此 follows: [eq23]

练习3.

Let be the following matrix: [eq24] 是 the zero vectora 线性组合行 ?

解决方案

表示行的行 by $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ . 线性组合 $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ with coefficients $lpha _ {1}$ , $lpha _ {2}$ and $lpha _ {3}$ can be written as [eq26] 现在， the 零载体是一种线性组合 $a_ {1}$ , $a_ {2}$ and $a_ {3}$ 如果并且仅在存在系数时 $lpha _ {1}$ , $lpha _ {2}$ and $lpha _ {3}$ such that 哪一个 is the same as 因为如果且仅当它们的相应条目都是相等的，则两个向量相等彼此，如果且仅在以下系统时，则满足该等方程式 of two equations is satisfied: [eq29] 这 can be rewritten as [eq30] 这意味着，无论我们选择的任何价值 $lpha _ {1}$ , 提供了系统，提供了系统 and . 例如，如果我们选择 $lpha _ {1} = 0$ , then we need to set [eq33] 所以， one solution is [eq34] 如果说，我们选择不同的价值 $lpha _ {1} = 1$ , 然后我们有一个不同的 solution: [eq35] 在相同的方式，您可以通过选择来获得无限的解决方案 different values of $lpha _ {1}$ and changing $lpha _ {2}$ and $lpha _ {3}$ 因此。您可以轻松检查任何这些线性组合吗？结果给出零载体。例如，上面提出的解决方案 ( $lpha _ {1} = 1$ , $lpha _ {2} = - 2$ , $lpha _ {3} = - 2$ ) gives [eq36]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "线性组合", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-combinations.

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