本课讲的是线性组合 向量和矩阵 。 线性的 组合是通过将矩阵乘以标量,然后乘以 他们在一起。为了理解本讲座,您需要 熟悉以下讲座中介绍的概念 矩阵加法 和 一个乘法 标量矩阵.
让我们从给出线性组合的形式定义开始。
定义
让
是
具有维度的矩阵
.
A
矩阵
是一个 线性组合 的
当且仅当存在时
标量
,
叫 系数 线性组合的
换句话说,如果采用一组矩阵,则将每个矩阵乘以 标量,然后将由此获得的所有乘积相加,然后获得 线性组合。
请注意,线性组合中涉及的所有矩阵都需要具有 尺寸相同(否则将无法添加矩阵)。
例
让
和
是
矩阵定义为
如下:
让
和
是两个标量。然后,
矩阵
是
的线性组合
和
.
计算为
如下:
大多数时候,在线性代数中,我们处理 列向量(或行向量),即只有一列的矩阵 (或仅一行)。
例
让
,
和
是
列向量定义为
如下:
让
被定义的另一个列向量
如
是
的线性组合
,
和
?
为了回答这个问题,请注意
,
和
带有系数
,
和
具有以下
形成:
现在,
是...的线性组合
,
和
当且仅当我们能够找到
,
和
这样
哪一个
等价的
至
但
我们知道两个向量是相等的,当且仅当它们对应的元素
彼此平等。这意味着上述等式得到满足
如果且仅同时满足以下三个方程式
满意:
的
第二个方程式给我们第一个方程式的价值
系数:
通过
将这个值代入第三个方程式,我们
获得
最后,
通过代入
在第一个方程中,我们
得到
您
可以轻松地检查这些值是否真正构成了我们的解决方案
问题:
因此,
我们问题的答案是肯定的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义两个
矩阵
和
如
如下:
让
和
是两个标量。计算线性
组合
计算为
如下:
让
和
是
向量:
计算
线性值
组合
这样做是
如下:
让
如下
矩阵:
是
的
零
向量
a
的行的线性组合
?
表示的行
通过
,
和
.
的线性组合
,
和
带有系数
,
和
可以写
如
现在,
的
零向量是的线性组合
,
和
当且仅当存在系数时
,
和
这样
哪一个
是一样的
如
因为
当且仅当两个向量的对应条目全部相等时,两个向量才相等
彼此之间,且仅当以下系统满足该方程式
两个方程式是
满意:
这个
可以改写
如
这个
意味着,无论我们选择什么价值
,
只要我们设置好系统
和
.
例如,如果我们选择
,
那么我们需要
组
因此,
一种解决方案是
如果
我们选择一个不同的值
,
然后我们有一个不同的
解:
在
同样地,您可以通过选择获得无限多个解决方案
不同的值
和改变
和
相应地。您可以轻松检查这些线性组合中的任何一个
给出零向量的结果。例如,上面提出的解决方案
(
,
,
)
给
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性组合", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-combinations.