线性独立

通过马可·塔波加（Marco Taboga）博士

线性独立性是线性代数中的核心概念。两个或更多如果向量中的任何一个都不能写成 a 线性组合其他的。上相反，如果其中至少一个可以写成线性组合然后，它们被认为是线性相关的。

在本讲座的其余部分，我们将给出线性的正式定义独立性，我们将解释其含义，并提供一些示例。

线性相关向量
线性独立向量
解决的练习

练习1
练习2
练习3

线性相关向量

让我们从线性依赖的正式定义开始。

定义让成为线性空间。一些向量据说是 线性相关 当且仅当存在时标量这样那和至少一个标量不为零。

至少一个标量与零不同的要求是基本的。

首先，没有此要求，定义将是微不足道的：可以总是选择和获得为结果对于任何一组向量。

其次，如果线性组合的系数之一不同从零开始（假设不失一般性，它是 $lpha _ {1}$ ），然后我们可以写那是的 $x_ {1}$ 是向量的线性组合带有系数 . 这个事实激发了我们对线性依赖的非正式定义在上面的介绍中：如果两个或多个向量在其中至少一个可以写为其他形式的线性组合。

假设 $lpha _{1} eq 0$ 不失一般性，因为我们可以随时更改向量并将第一个位置分配给与非零对应的向量系数（假设存在至少一个这样的向量）。

例让 $x_ {1}$ 和 $x_ {2}$ 是列向量定义为如下。 [eq10] 的线性的组合给结果是零向量因为 [eq12] 如结果， $x_ {1}$ 和 $x_ {2}$ 是线性相关的。

线性独立向量

现在很容易给出线性独立性的定义。

定义让是一个线性空间。一些向量据说是 线性独立 当且仅当它们是不线性相关。

根据该定义，在线性情况下独立，暗示

换句话说，当向量线性独立时，它们唯一的线性结果为零的组合的所有系数相等归零。

例让 $x_ {1}$ 和 $x_ {2}$ 是列向量定义为如下。 [eq16] 考虑这两个向量与系数的线性组合 $lpha _ {1}$ 和 $lpha _ {2}$ :这个是平等的至 [eq18] 因此，我们有那如果而且只有如果 [eq20] 那是，当且仅当 . 结果，两个向量是线性独立的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义以下内容向量： [eq22] 是 $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 线性独立？

解

考虑与系数 $lpha _ {1}$ 和 $lpha _ {2}$ : [eq23] 这样线性组合的结果是，当且仅当 [eq24] 那是，当且仅当两个系数 $lpha _ {1}$ 和 $lpha _ {2}$ 解决线性系统方程式 [eq25] 这个系统可以解决如下。根据第二个方程，我们获得哪一个，用第一个方程式代替给从而， $lpha _ {2} = 0$ 和 $lpha _ {1} = 0$ . 因此， $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个意思是 $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 是线性独立的。

练习2

让 $A_ {1}$ , $A_ {2}$ 和 $A_ {3}$ 是定义为如下： [eq28] 为什么这些向量线性相关吗？

解

请注意，向量 $A_ {3}$ 是的标量倍数 $A_ {2}$ :要么如结果，线性组合 $A_ {1}$ , $A_ {2}$ 和 $A_ {3}$ , 带有系数 $lpha _ {1} = 0$ , $lpha _ {2} = 2$ 和 $lpha _ {3} =-1$ , 给作为结果 [eq31] 从而，存在三个向量的线性组合，使得组合的系数不全为零，而是组合等于零向量。这意味着三个向量是线性相关的。

练习3

让是一个实数。定义以下内容向量： [eq32] 是 $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 线性独立？

解

与系数 $lpha _ {1}$ 和 $lpha _ {2}$ : [eq33] 这个当且仅当线性组合等于零向量 [eq34] 那是，当且仅当两个系数 $lpha _ {1}$ 和 $lpha _ {2}$ 解决线性系统方程式 [eq35] A 该系统的解决方案可以找到如下。我们减去第二从第一个和第一个方程获得要么通过代入第二个方程式，我们得到要么现在，有两种可能的情况。如果（第一种情况），然后 $lpha _ {2} = 0$ 结果， $lpha _ {1} = 0$ . 因此，在这种情况下， $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个意思是 $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 是线性独立的。如果相反（第二种情况），则任何值 $lpha _ {2}$ 将满足方程选择一个不同于零的数字，并用 . 然后，线性方程组将通过 $lpha _ {2} = s$ 和 $lpha _ {1} =-2s$ . 因此，在这种情况下，至少有一个线性组合不同于零的系数，结果为零向量（a 每种选择的不同组合）。这意味着 $A_ {1}$ 和 $A_ {2}$ 是线性相关的。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性独立", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-independence.