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线性独立

通过 博士

线性独立性是线性代数中的核心概念。两个或更多 如果向量中的任何一个都不能写成 a 线性组合 其他的。上 相反,如果其中至少一个可以写成线性组合 然后,它们被认为是线性相关的。

在本讲座的其余部分,我们将给出线性的正式定义 独立性,我们将解释其含义,并提供一些示例。

目录

线性相关向量

让我们从线性依赖的正式定义开始。

定义$ S $ 成为 线性空间。一些向量 [eq1] 据说是 线性相关 当且仅当存在时 n 标量 [eq2] 这样 那[eq3]和 至少一个 n 标量 [eq4] 不为零。

至少一个标量与零不同的要求是 基本的。

首先,没有此要求,定义将是微不足道的: 可以总是 选择[eq5]和 获得为 结果[eq6]对于 任何一组 n 向量。

其次,如果线性组合的系数之一不同 从零开始(假设不失一般性,它是 $ lpha _ {1} $), 然后我们可以 写[eq7]那 是的 $ x_ {1} $ 是向量的线性组合 [eq8] 带有系数 [eq9]. 这个事实激发了我们对线性依赖的非正式定义 在上面的介绍中:如果两个或多个向量在 其中至少一个可以写为其他形式的线性组合。

假设 $lpha _{1}
eq 0$ 不失一般性,因为我们可以随时更改 向量并将第一个位置分配给与非零对应的向量 系数(假设存在至少一个这样的向量)。

$ x_ {1} $$ x_ {2} $$ 2imes 1 $ 列向量 定义为 如下。[eq10]的 线性的 组合[eq11]给 结果是零向量 因为[eq12]如 结果, $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是线性相关的。

线性独立向量

现在很容易给出线性独立性的定义。

定义$ S $ 是一个线性空间。一些向量 [eq13] 据说是 线性独立 当且仅当它们是 不线性相关。

根据该定义,在线性情况下 独立,[eq14]暗示[eq5]

换句话说,当向量线性独立时,它们唯一的线性 结果为零的组合的所有系数相等 归零。

$ x_ {1} $$ x_ {2} $$ 2imes 1 $ 列向量定义为 如下。[eq16]考虑 这两个向量与系数的线性组合 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $:[eq17]这个 是平等的 至 [eq18]因此, 我们有 那[eq19]如果 而且只有 如果[eq20]那 是,当且仅当 [eq21]. 结果,两个向量是线性独立的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义以下内容 $ 2imes 1 $ 向量:[eq22]$ A_ {1} $$ A_ {2} $ 线性独立?

考虑与 系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $:[eq23]这样 线性组合的结果是,当且仅当 [eq24]那 是,当且仅当两个系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 解决线性系统 方程式[eq25]这个 系统可以解决如下。根据第二个方程,我们 获得[eq26]哪一个, 用第一个方程式代替 给[eq27]从而, $ lpha _ {2} = 0 $$ lpha _ {1} = 0 $. 因此, $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个 意思是 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 是线性独立的。

练习2

$ A_ {1} $, $ A_ {2} $$ A_ {3} $$ 3imes 1 $ 定义为 如下:[eq28]为什么 这些向量线性相关吗?

请注意,向量 $ A_ {3} $ 是的标量倍数 $ A_ {2} $:[eq29]要么[eq30]如 结果,线性组合 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $$ A_ {3} $, 带有系数 $ lpha _ {1} = 0 $, $ lpha _ {2} = 2 $$ lpha _ {3} =-1 $, 给作为 结果[eq31]从而, 存在三个向量的线性组合,使得 组合的系数不全为零,而是 组合等于零向量。这意味着三个向量 是线性相关的。

练习3

x 是一个实数。定义以下内容 $ 2imes 1 $ 向量:[eq32]$ A_ {1} $$ A_ {2} $ 线性独立?

与 系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $:[eq33]这个 当且仅当线性组合等于零向量 [eq34]那 是,当且仅当两个系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 解决线性系统 方程式[eq35]A 该系统的解决方案可以找到如下。我们减去第二 从第一个和第一个方程 获得[eq36]要么[eq37]通过 代入第二个方程式,我们 得到[eq38]要么[eq39]现在, 有两种可能的情况。如果 $x
eq 0$ (第一种情况),然后 $ lpha _ {2} = 0 $ 结果, $ lpha _ {1} = 0 $. 因此,在这种情况下, $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个 意思是 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 是线性独立的。如果相反 $x=0$ (第二种情况),则任何值 $ lpha _ {2} $ 将满足 方程[eq39]选择 一个不同于零的数字,并用 $ s $. 然后,线性方程组将通过 $ lpha _ {2} = s $$ lpha _ {1} =-2s $. 因此,在这种情况下,至少有一个线性组合 不同于零的系数,结果为零向量(a 每种选择的不同组合 $ s $)。 这意味着 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 是线性相关的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性独立", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-independence.

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