线性独立性是线性代数中的核心概念。两个或更多 如果向量中的任何一个都不能写成 a 线性组合 其他的。上 相反,如果其中至少一个可以写成线性组合 然后,它们被认为是线性相关的。
在本讲座的其余部分,我们将给出线性的正式定义 独立性,我们将解释其含义,并提供一些示例。
让我们从线性依赖的正式定义开始。
定义
让
成为 线性空间。一些向量
据说是 线性相关 当且仅当存在时
标量
这样
那
和
至少一个
标量
不为零。
至少一个标量与零不同的要求是 基本的。
首先,没有此要求,定义将是微不足道的:
可以总是
选择和
获得为
结果
对于
任何一组
向量。
其次,如果线性组合的系数之一不同
从零开始(假设不失一般性,它是
),
然后我们可以
写
那
是的
是向量的线性组合
带有系数
.
这个事实激发了我们对线性依赖的非正式定义
在上面的介绍中:如果两个或多个向量在
其中至少一个可以写为其他形式的线性组合。
假设
不失一般性,因为我们可以随时更改
向量并将第一个位置分配给与非零对应的向量
系数(假设存在至少一个这样的向量)。
例
让
和
是
列向量 定义为
如下。
的
线性的
组合
给
结果是零向量
因为
如
结果,
和
是线性相关的。
现在很容易给出线性独立性的定义。
定义
让
是一个线性空间。一些向量
据说是 线性独立 当且仅当它们是
不线性相关。
根据该定义,在线性情况下
独立,暗示
换句话说,当向量线性独立时,它们唯一的线性 结果为零的组合的所有系数相等 归零。
例
让
和
是
列向量定义为
如下。
考虑
这两个向量与系数的线性组合
和
:
这个
是平等的
至
因此,
我们有
那
如果
而且只有
如果
那
是,当且仅当
.
结果,两个向量是线性独立的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义以下内容
向量:
是
和
线性独立?
考虑与
系数
和
:
这样
线性组合的结果是,当且仅当
那
是,当且仅当两个系数
和
解决线性系统
方程式
这个
系统可以解决如下。根据第二个方程,我们
获得
哪一个,
用第一个方程式代替
给
从而,
和
.
因此,
和
给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个
意思是
和
是线性独立的。
让
,
和
是
定义为
如下:
为什么
这些向量线性相关吗?
请注意,向量
是的标量倍数
:
要么
如
结果,线性组合
,
和
,
带有系数
,
和
,
给作为
结果
从而,
存在三个向量的线性组合,使得
组合的系数不全为零,而是
组合等于零向量。这意味着三个向量
是线性相关的。
让
是一个实数。定义以下内容
向量:
是
和
线性独立?
与
系数
和
:
这个
当且仅当线性组合等于零向量
那
是,当且仅当两个系数
和
解决线性系统
方程式
A
该系统的解决方案可以找到如下。我们减去第二
从第一个和第一个方程
获得
要么
通过
代入第二个方程式,我们
得到
要么
现在,
有两种可能的情况。如果
(第一种情况),然后
结果,
.
因此,在这种情况下,
和
给出零向量的结果是所有系数都等于零。这个
意思是
和
是线性独立的。如果相反
(第二种情况),则任何值
将满足
方程
选择
一个不同于零的数字,并用
.
然后,线性方程组将通过
和
.
因此,在这种情况下,至少有一个线性组合
不同于零的系数,结果为零向量(a
每种选择的不同组合
)。
这意味着
和
是线性相关的。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性独立", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-independence.