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指数 > 矩阵代数

特征向量的线性独立性

通过 博士

对应于不同特征值的特征向量是线性独立的。 作为结果, 如果矩阵的所有特征值都是 不同,然后是它们对应的特征向量 跨度 的空间 列向量 到哪 矩阵的列属于。

如果有重复的特征值,但它们没有缺陷 (即,它们的代数多重性等于其几何多重性), 同样的扩展结果成立。

然而, 如果重复至少一个缺陷 特征值,则扩展失败。

这些结果将在文档中正式说明,证明和详细说明。 本讲座的其余部分。

目录

对应于特征向量的独立性 不同的特征值

现在,我们处理不同的特征值。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 [eq1] ($ Mleq $ K) 是 特征值A 然后选择 [eq2] 相关的特征向量。如果没有重复的特征值(即 [eq3] 是不同的),则 特征向量 [eq4] 线性独立.

证明

证明是矛盾的。假设 [eq4] 不是 。表示为 I 最大数量的线性独立特征向量。如有需要, 重新编号特征值和特征向量,以便 [eq6] 是 。注意 $ Igeq 1 $ 因为单个向量本身平凡地形成了一组线性 独立向量。此外, $I<M$ 因为否则 [eq7] 将会是一个矛盾。现在, $ x_ {I + 1} $ 可以写成 [eq8]:[eq9]哪里 [eq10] 是标量,它们也不全为零(否则 $ x_ {I + 1} $ 将为零,因此不是特征向量)。通过特征值的定义 和本征向量 那[eq11]和 那[eq12]
通过 从第一个方程减去第二个方程,我们 获得[eq13]以来 [eq14] 截然不同 [eq15] 对于 $ i = 1,ldots,I $. 此外, [eq16] 是线性独立的,因此它们唯一的线性组合使 零向量具有所有零系数。结果,一定是 [eq17]. 但是我们已经解释了这些系数不能全部为零。 因此,我们从最初的假设开始就产生了矛盾 那 [eq4] 不是 。因此, [eq4] 一定是 。

什么时候 $ M = K $ 在上面的命题中,那么有 K 不同的特征值和 K 特征向量,它们跨越(即,它们形成一个 基础 对于)的空间 K尺寸 列向量(列的 A 属于)。

定义 3美金3美金 矩阵[eq20]它 有三个 特征值[eq21]与 关联的 特征向量[eq22]哪一个 您可以通过检查确认 [eq23] (对于 $ k = 1,ldots,3 $)。 三个特征值 $ lambda _ {1} $, $ lambda _ {2} $$ lambda _ {3} $ 是截然不同的(没有两个是彼此相等的)。因此,这三个 对应的特征向量 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $$ x_ {3} $ 是线性独立的,您也可以通过检查以下各项来验证 它们可以写为其他两个的线性组合。这三个 特征向量构成所有空间的基础 $ 3imes 1 $ 向量,即 向量[eq24]能够 被写成特征向量的线性组合 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $$ x_ {3} $ 对于任何条目的选择 $ lpha $, $ eta $$伽马$.

不重复时特征向量的独立性 特征值有缺陷

现在我们处理某些特征值重复的情况。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 具有一些重复的特征值,但它们并不是有缺陷的(即 几何 多重性等于他们的代数多重性),则存在一个集合 的 K 的特征向量 A.

证明

表示为 [eq25]K 的特征值 A[eq26] 以这样的方式选择的相应特征向量列表 $ x_ {j} $$ x_ {k} $ 每当有重复的特征值 [eq27]. 特征向量的选择可以这种方式执行,因为 通过假设,重复的特征值没有缺陷。现在,由于矛盾, 假设 [eq28] 不是 。然后,存在标量 [eq29] 并非全部等于零 那[eq30]表示 通过 $ M $ 不同特征值的数量。不失一般性(即 重新对特征值进行编号),我们可以假设第一个 $ M $ 特征值是不同的。对于 $ m = 1,ldots,M $, 定义与相等的组相对应的索引集 特征值[eq31]和 的 向量[eq32]然后, 等式(1) 变成[eq33]表示 通过 $ J $ 以下一组 指标:[eq34]的 组 $ J $ 必须为非空,因为 [eq35] 不都等于零和线性独立的先前选择 对应于重复特征值的特征向量意味着这些向量 $ u_ {m} $ 在等式(2)不能被适当地选择制成等于零 正系数 $ c_ {k} $. 然后我们 有[eq36]但, 对于任何 $ jin J $, $ u_ {j} $ 是一个特征向量(因为 本征空间是封闭的 关于线性组合)。这意味着线性组合 (系数均等于 1) 对应于不同特征值的特征向量的等于 0. 因此,那些特征向量是线性相关的。但这与 事实证明,特征向量对应于不同的 特征值是线性独立的。因此,我们到达了 矛盾。因此,最初声称 [eq37] 一定不是错的。作为结果, [eq38] 是 。

因此,当存在重复的特征值,但没有一个有缺陷时,我们 可选 K 特征向量,跨越 K尺寸 列向量(列的 A 属于)。

定义 3美金3美金 矩阵[eq39]它 有三个 特征值[eq40]与 关联的 特征向量[eq41]哪一个 您可以通过检查确认 [eq23] (对于 $ k = 1,ldots,3 $)。 这三个特征值不相同,因为存在重复的特征值 [eq43] 其代数多重性等于2。但是,两个特征向量 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 与重复特征值相关联是线性独立的,因为它们 不是彼此的倍数。结果,几何 多样性等于二。因此,重复的特征值没有缺陷。 因此,三个特征向量 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $$ x_ {3} $ 是线性独立的,您也可以通过检查以下各项来验证 它们可以写为其他两个的线性组合。这三个 特征向量构成所有空间的基础 $ 3imes 1 $ 向量。

缺陷矩阵没有本征向量的完整基础

最后一个命题涉及有缺陷的矩阵,即具有 至少一个有缺陷的特征值。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 具有至少一个有缺陷的特征值(其几何多重性为 严格小于其代数多重性),则不存在 一套 K 的特征向量 A.

证明

请记住 几何 特征值的多重性不能超过其代数多重性。如 结果,即使我们选择最大数量的独立 与每个特征值相关的特征向量,我们最多可以找到 $K-1$ 因为至少有一个缺陷特征值。

因此,在不幸的情况下 A 是一个有缺陷的矩阵,无法形成特征向量的基础 A 对于的空间 K尺寸 列的向量 A 属于。

考虑一下 2元2元 矩阵[eq44]的 特征多项式 是[eq45]和 它的根源 是[eq46]从而, 有一个重复的特征值 ([eq47]) 的代数多重性等于2。其相关特征向量 [eq48]解决 的 方程[eq49]要么[eq50]哪一个 满足于 $ x_ {11} = 0 $ 和任何值 $ x_ {21} $. 因此,...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是个 线性空间 包含 所有向量 $ x_ {1} $ 的 形成[eq51]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。换句话说,...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 由单个 向量[eq52]因此, 它具有维度1和的几何多重性 $ lambda _ {1} $ 是1,小于其等于2的代数多重性。这意味着 没有办法形成特征向量的基础 A 用于二维列向量的空间。例如, 向量[eq53]不能 被写为特征向量的倍数 $ x_ {1} $. 因此,至少有一个二维向量不能写成 线性组合 的 的特征向量 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑矩阵 $ 2imes 1 $[eq54]

尝试找到一组特征向量 A 跨越所有的集合 $ 2动漫1 $ 向量。

特征多项式 是[eq55]和 它的根源 是[eq56]以来 有两个不同的特征值,我们已经知道我们将能够 找到两个线性独立的特征向量。让我们找到它们。特征向量 [eq57]关联的 至 $ lambda _ {1} $ 解决 方程[eq58]要么[eq59]哪一个 满足任何几个价值观 $ x_ {11},x_ {21} $ 这样 [eq60]要么 [eq61]对于 例如,我们可以选择 $ x_ {21} = 2 $, 以便 $ x_ {11} =-3 $ 和与 $ lambda _ {1} $[eq62]的 特征向量 [eq63]关联的 至 $ lambda _ {2} $ 解决 方程[eq64]要么[eq65]哪一个 满足任何几个价值观 $ x_ {12},x_ {22} $ 这样 [eq66]要么 [eq67]对于 例如,我们可以选择 $ x_ {12} = 1 $, 以便 $ x_ {22} = 1 $ 和与 $ lambda _ {2} $[eq68]从而, $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 形成了我们正在寻找的特征向量的基础。

练习2

定义[eq69]

尝试找到一组特征向量 A 跨越所有列向量的集合,所有列向量的维数与 的列 A.

特征多项式 是[eq70]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 拉普拉斯 扩张 沿着第三排。多项式的根 是[eq71]因此, [eq72] 是一个代数多重性等于2的重复特征值。 关联特征向量 [eq73]解决 的 方程[eq74]要么[eq75]这个 满足以下条件的方程组 $ x_ {22} $$ x_ {12} = x_ {32} = 0 $. 结果,...的本征空间 $ lambda _ {2} $ 包含所有向量 $ x_ {2} $ 可以写 如 [eq76]哪里 标量 $ x_ {22} $ 可以任意选择。因此,本征空间 $ lambda _ {2} $ 由单个 向量[eq77]因此, 本征空间具有维数 1 和的几何多重性 $ lambda _ {2} $ 是1,小于其等于2的代数多重性。 那矩阵 A 是有缺陷的,我们不能构造特征向量的基础 A 跨越了 $ 3imes 1 $ 向量。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "特征向量的线性独立性", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-independence-of-eigenvectors.

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