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指数 > 矩阵代数

特征向量的线性独立性

通过 博士

对应于不同特征值的特征向量是线性独立的。 作为结果， 如果矩阵的所有特征值都是 不同，然后是它们对应的特征向量 跨度 的空间 列向量 到哪 矩阵的列属于。

如果有重复的特征值，但它们没有缺陷 （即，它们的代数多重性等于其几何多重性）， 同样的扩展结果成立。

然而， 如果重复至少一个缺陷 特征值，则扩展失败。

这些结果将在文档中正式说明，证明和详细说明。 本讲座的其余部分。

目录

目录

  1. 对应于不同特征值的特征向量的独立性

  2. 没有重复特征值存在缺陷时特征向量的独立性

  3. 缺陷矩阵没有本征向量的完整基础

  4. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

对应于特征向量的独立性 不同的特征值

现在，我们处理不同的特征值。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 [eq1] ($ Mleq $ K) 是 特征值 的 A 然后选择 [eq2] 相关的特征向量。如果没有重复的特征值（即 [eq3] 是不同的），则 特征向量 [eq4] 是 线性独立.

证明

证明是矛盾的。假设 [eq4] 不是 。表示为 I 最大数量的线性独立特征向量。如有需要， 重新编号特征值和特征向量，以便 [eq6] 是 。注意 $ Igeq 1 $ 因为单个向量本身平凡地形成了一组线性 独立向量。此外， $I<M$ 因为否则 [eq7] 将会是一个矛盾。现在， $ x_ {I + 1} $ 可以写成 [eq8]:[eq9]哪里 [eq10] 是标量，它们也不全为零（否则 $ x_ {I + 1} $ 将为零，因此不是特征向量）。通过特征值的定义 和本征向量 那[eq11]和 那[eq12]
通过 从第一个方程减去第二个方程，我们 获得[eq13]以来 [eq14] 截然不同 [eq15] 对于 $ i = 1，ldots，I $. 此外， [eq16] 是线性独立的，因此它们唯一的线性组合使 零向量具有所有零系数。结果，一定是 [eq17]. 但是我们已经解释了这些系数不能全部为零。 因此，我们从最初的假设开始就产生了矛盾 那 [eq4] 不是 。因此， [eq4] 一定是 。

什么时候 $ M = K $ 在上面的命题中，那么有 K 不同的特征值和 K 特征向量，它们跨越（即，它们形成一个 基础 对于）的空间 K尺寸 列向量（列的 A 属于）。

例 定义 3美金3美金 矩阵[eq20]它 有三个 特征值[eq21]与 关联的 特征向量[eq22]哪一个 您可以通过检查确认 [eq23] （对于 $ k = 1，ldots，3 $）。 三个特征值 $ lambda _ {1} $, $ lambda _ {2} $ 和 $ lambda _ {3} $ 是截然不同的（没有两个是彼此相等的）。因此，这三个 对应的特征向量 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $ 和 $ x_ {3} $ 是线性独立的，您也可以通过检查以下各项来验证 它们可以写为其他两个的线性组合。这三个 特征向量构成所有空间的基础 $ 3imes 1 $ 向量，即 向量[eq24]能够 被写成特征向量的线性组合 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $ 和 $ x_ {3} $ 对于任何条目的选择 $ lpha $, $ eta $ 和 $伽马$.

不重复时特征向量的独立性 特征值有缺陷

现在我们处理某些特征值重复的情况。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 具有一些重复的特征值，但它们并不是有缺陷的（即 几何 多重性等于他们的代数多重性），则存在一个集合 的 K 的特征向量 A.

证明

表示为 [eq25] 的 K 的特征值 A 和 [eq26] 以这样的方式选择的相应特征向量列表 $ x_ {j} $ 是 $ x_ {k} $ 每当有重复的特征值 [eq27]. 特征向量的选择可以这种方式执行，因为 通过假设，重复的特征值没有缺陷。现在，由于矛盾， 假设 [eq28] 不是 。然后，存在标量 [eq29] 并非全部等于零 那[eq30]表示 通过 $ M $ 不同特征值的数量。不失一般性（即 重新对特征值进行编号），我们可以假设第一个 $ M $ 特征值是不同的。对于 $ m = 1，ldots，M $, 定义与相等的组相对应的索引集 特征值[eq31]和 的 向量[eq32]然后， 等式（1） 变成[eq33]表示 通过 $ J $ 以下一组 指标：[eq34]的 组 $ J $ 必须为非空，因为 [eq35] 不都等于零和线性独立的先前选择 对应于重复特征值的特征向量意味着这些向量 $ u_ {m} $ 在等式（2）不能被适当地选择制成等于零 正系数 $ c_ {k} $. 然后我们 有[eq36]但， 对于任何 $ jin J $, $ u_ {j} $ 是一个特征向量（因为 本征空间是封闭的 关于线性组合）。这意味着线性组合 （系数均等于 1) 对应于不同特征值的特征向量的等于 0. 因此，那些特征向量是线性相关的。但这与 事实证明，特征向量对应于不同的 特征值是线性独立的。因此，我们到达了 矛盾。因此，最初声称 [eq37] 一定不是错的。作为结果， [eq38] 是 。

因此，当存在重复的特征值，但没有一个有缺陷时，我们 可选 K 特征向量，跨越 K尺寸 列向量（列的 A 属于）。

例 定义 3美金3美金 矩阵[eq39]它 有三个 特征值[eq40]与 关联的 特征向量[eq41]哪一个 您可以通过检查确认 [eq23] （对于 $ k = 1，ldots，3 $）。 这三个特征值不相同，因为存在重复的特征值 [eq43] 其代数多重性等于2。但是，两个特征向量 $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ 与重复特征值相关联是线性独立的，因为它们 不是彼此的倍数。结果，几何 多样性等于二。因此，重复的特征值没有缺陷。 因此，三个特征向量 $ x_ {1} $, $ x_ {2} $ 和 $ x_ {3} $ 是线性独立的，您也可以通过检查以下各项来验证 它们可以写为其他两个的线性组合。这三个 特征向量构成所有空间的基础 $ 3imes 1 $ 向量。

缺陷矩阵没有本征向量的完整基础

最后一个命题涉及有缺陷的矩阵，即具有 至少一个有缺陷的特征值。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 具有至少一个有缺陷的特征值（其几何多重性为 严格小于其代数多重性），则不存在 一套 K 的特征向量 A.

证明

请记住 几何 特征值的多重性不能超过其代数多重性。如 结果，即使我们选择最大数量的独立 与每个特征值相关的特征向量，我们最多可以找到 $K-1$ 因为至少有一个缺陷特征值。

因此，在不幸的情况下 A 是一个有缺陷的矩阵，无法形成特征向量的基础 A 对于的空间 K尺寸 列的向量 A 属于。

例 考虑一下 2元2元 矩阵[eq44]的 特征多项式 是[eq45]和 它的根源 是[eq46]从而， 有一个重复的特征值 ([eq47]) 的代数多重性等于2。其相关特征向量 [eq48]解决 的 方程[eq49]要么[eq50]哪一个 满足于 $ x_ {11} = 0 $ 和任何值 $ x_ {21} $. 因此，...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 是个 线性空间 包含 所有向量 $ x_ {1} $ 的 形成[eq51]哪里 $ lpha $ 可以是任何标量。换句话说，...的本征空间 $ lambda _ {1} $ 由单个 向量[eq52]因此， 它具有维度1和的几何多重性 $ lambda _ {1} $ 是1，小于其等于2的代数多重性。这意味着 没有办法形成特征向量的基础 A 用于二维列向量的空间。例如， 向量[eq53]不能 被写为特征向量的倍数 $ x_ {1} $. 因此，至少有一个二维向量不能写成 线性组合 的 的特征向量 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑矩阵 $ 2imes 1 $[eq54]

尝试找到一组特征向量 A 跨越所有的集合 $ 2动漫1 $ 向量。

解

特征多项式 是[eq55]和 它的根源 是[eq56]以来 有两个不同的特征值，我们已经知道我们将能够 找到两个线性独立的特征向量。让我们找到它们。特征向量 [eq57]关联的 至 $ lambda _ {1} $ 解决 方程[eq58]要么[eq59]哪一个 满足任何几个价值观 $ x_ {11}，x_ {21} $ 这样 [eq60]要么 [eq61]对于 例如，我们可以选择 $ x_ {21} = 2 $, 以便 $ x_ {11} =-3 $ 和与 $ lambda _ {1} $ 是[eq62]的 特征向量 [eq63]关联的 至 $ lambda _ {2} $ 解决 方程[eq64]要么[eq65]哪一个 满足任何几个价值观 $ x_ {12}，x_ {22} $ 这样 [eq66]要么 [eq67]对于 例如，我们可以选择 $ x_ {12} = 1 $, 以便 $ x_ {22} = 1 $ 和与 $ lambda _ {2} $ 是[eq68]从而， $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ 形成了我们正在寻找的特征向量的基础。

练习2

定义[eq69]

尝试找到一组特征向量 A 跨越所有列向量的集合，所有列向量的维数与 的列 A.

解

特征多项式 是[eq70]哪里 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 拉普拉斯 扩张 沿着第三排。多项式的根 是[eq71]因此， [eq72] 是一个代数多重性等于2的重复特征值。 关联特征向量 [eq73]解决 的 方程[eq74]要么[eq75]这个 满足以下条件的方程组 $ x_ {22} $ 和 $ x_ {12} = x_ {32} = 0 $. 结果，...的本征空间 $ lambda _ {2} $ 包含所有向量 $ x_ {2} $ 可以写 如 [eq76]哪里 标量 $ x_ {22} $ 可以任意选择。因此，本征空间 $ lambda _ {2} $ 由单个 向量[eq77]因此， 本征空间具有维数 1 和的几何多重性 $ lambda _ {2} $ 是1，小于其等于2的代数多重性。 那矩阵 A 是有缺陷的，我们不能构造特征向量的基础 A 跨越了 $ 3imes 1 $ 向量。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "特征向量的线性独立性", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-independence-of-eigenvectors.

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该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

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