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线性图

通过 博士

线性图是从一个向量空间到另一个向量空间的变换 向量加法和标量乘法的性质。

目录

定义

让我们从定义开始。

定义  $ S $  $ T $ 是两个 线性空间 。 让 $ f:S
ightarrow T $ 是将一个元素中只有一个元素关联起来的转换  $ T $ 对的每个元素  $ S $ . 转型  $ f $ 当且仅当被称为线性映射 如果 [eq1] 对于 任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 和任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2}.

虽然“地图”可能是最常用的术语,但我们可以互换 使用术语“映射”,“转换”和“功能”。

 $ S $ 成为所有人的空间  $ 3imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让  $ T $ 成为  $ 2imes 1 $ 具有真实条目的列向量。假设地图 $ f:S
ightarrow T $ 与每个向量相关 [eq2]a 向量 [eq3] 现在, 取任意两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 通过重复应用 向量加法 标量 乘法 ,我们 得到 [eq4] 从而,  $ f $ 是线性图。

矩阵乘法定义线性映射

稍后我们将证明每个线性图都可以用 矩阵 ,但相反 也是如此:向量与矩阵的预乘定义了线性映射。

主张  $ S $ 成为所有人的线性空间  $酸橙1 $ 列向量。让  $ T $ 成为所有人的线性空间 Kx1 列向量。让 A 成为  $ Kimes L $ 矩阵。考虑转型 $ f:S
ightarrow T $ 定义,对于任何  $罪S $ , 通过 [eq5] 哪里  $ As $ 表示 矩阵 产品 之间 A $ s $ . 然后  $ f $ 是线性图。

证明

对于任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $, 我们有 [eq6] 哪里 在步  $ rame {A} $ 我们已经应用了矩阵乘法的分布特性。

乘法后的结果相同。

主张  $ S $ 成为所有人的线性空间  $ 1imes K $ 行向量。让  $ T $ 成为所有人的线性空间  $ 1imes L $ 行向量。让 A 成为  $ Kimes L $ 矩阵。考虑转型 $ f:S
ightarrow T $ 定义,对于任何  $罪S $ , 通过 [eq7] 哪里  $ sA $ 之间的矩阵乘积  $ s $ A. 然后  $ f $ 是线性图。

证明

类似于先前的证明。

该定义扩展到多个术语的组合

理解起来很直观,线性映射保留了线性 也 组合 那 涉及两个以上的术语。

主张 [eq8]K 标量,让 [eq9]K 线性空间的元素  $ S $ . 如果 $ f:S
ightarrow T $ 是线性图, 然后 [eq10]

证明

通过应用 一个向量的线性特性 时间: [eq11]

线性图完全由其值确定 on a 基础

一个非常有趣和有用的属性是线性映射 $ f:S
ightarrow T $ 完全取决于其在 基础  $ S $ (即,一组 线性地 独立 这样的向量  $罪S $ 可以写成基础的线性组合)。

主张  $ S $  $ T $ 是线性空间。让 [eq12] 作为...的基础  $ S $ . 让 [eq13]. 然后,有一个独特的线性图 $ f:S
ightarrow T $ 这样 那 [eq14] 对于 $ k = 1,ldots,K $.

证明

任何向量  $罪S $ 可以写成 基础: [eq15] 哪里 标量 [eq16] 之所以独特是因为 表示形式 基础是独特的。然后,地图的线性意味着 [eq17] 对于 任何  $罪S $ . 因此,价值 $ fleft(s
权)$ 地图的位置由向量唯一确定 [eq18] (预先选择)和唯一的标量 [eq16].

换句话说,如果我们知道地图对应于 基础的向量,那么我们就能够导出所有其他值 由地图拍摄。

 $ S $ 成为所有人的空间  $ 2imes 1 $ 向量。让  $ T $ 成为所有人的空间  $ 3imes 1 $ 向量。考虑线性图 $ f:S
ightarrow T $ 这样 那 [eq20] 的 二 向量 [eq21] 形成 的基础  $ S $ 规范基础 $ S $ )。 任何向量  $罪S $ 可以写为基础的线性组合。特别是如果我们 用...表示  $ s_ {1} $  $ s_ {2} $ 的两个条目  $ s $ , 然后我们有 那 [eq22] 因此, 的价值  $ f $ 对应于任何向量  $ s $ 可以导出为 如下: [eq23]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

 $ S = T $ 成为所有人的空间  $ 2imes 1 $ 向量。定义功能 $ f:S
ightarrow T $ 映射每个向量  $罪S $ 如 如下: [eq24] 确定 是否  $ f $ 是线性图。

取任意两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 我们有 那 [eq25] 的 如果矢量,地图将是线性的 [eq26] 原为 对于任何两个标量,等于零 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 但是对于任何选择,后一个向量都不为零 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 这样 [eq27]. 因此,该图不是线性的。

练习2

 $ S = T $ 成为所有人的空间  $ 2imes 1 $ 向量。定义功能 $ f:S
ightarrow T $ 映射每个向量  $罪S $ 如 如下: [eq28] 确定 是否  $ f $ 是线性图。

对于任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $, 我们有 那 [eq29] 从而, 地图是线性的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). " 线性图 ", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-map.

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