线性算子

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

在线性代数中，术语“线性算子”最通常是指线性 地图（即函数 保留具有相加后的向量加法和标量乘法） 将向量空间映射到自身的特殊性（即， ）。 该术语在其他分支机构中可能具有不同的含义。 数学。

定义

提供线性运算符的定义之前，我们需要记住 功能 关联向量空间的一个和唯一一个元素 到另一个向量空间的每个元素 据说是 线性图 如果和 只要 如果对于 任何两个标量 和 和任何两个向量 .

线性运算符的定义与此类似。

让我们提供一个简单的例子。

从线性映射继承的属性

由于线性算子是一种特殊的线性映射，因此它继承了所有 线性图的属性。为了方便起见，我们在此报告最重要的 这些继承的属性，但是如果您已经熟悉线性 地图，您可以安全地跳过此部分。

线性算子完全由其定义 values on a 基础

线性算子 完全取决于其在 基础 的 .

平方矩阵定义线性算子

向量与方矩阵的乘法定义了线性算子。

多个术语的组合

“线性保留”属性扩展到 线性组合 涉及两个以上的术语。

线性算子的矩阵为平方

请记住，每个线性图 两个有限维向量空间之间的关系可以用矩阵表示 , 叫做 的矩阵 线性图。记法 表示矩阵取决于两个的选择 基地：基础 为空间 和基础 为空间 .

矩阵的构造如下： 哪里 列是 坐标 向量 的转变 属于基础的向量 .

的列数 等于基础中的元素数 , 而行的数量 等于基础中的元素数 .

对于线性算子，共域 与域重合 , 那是， . 这个事实有两个重要的后果。

首先，任何两个基础 和 的 具有相同数量的元素（通过 尺寸定理）。 因此，矩阵 线性算子的平方是平方。因此，我们可以将线性算子应用于 丰富的理论工具集，可专门用于平方 矩阵（例如， 逆, 跟踪, 行列式, 特征值和 特征向量）。

第二，我们可以（尽管没有义务）使用唯一的依据 对于域和共域。当我们选择这种简化时， 线性图的矩阵是 哪一个 我们也可以简单地用 .

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 成为线性空间 跨度 由 基础 . 假设 是一个线性算子 那

找出矩阵 线性算子的 .

练习2

使用矩阵 在上一练习中发现了如何计算运算符 变换向量的坐标 这样 那

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性算子", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-operator.