在线性代数中,术语“线性算子”最通常是指线性
地图(即函数
保留具有相加后的向量加法和标量乘法)
将向量空间映射到自身的特殊性(即,
)。
该术语在其他分支机构中可能具有不同的含义。
数学。
提供线性运算符的定义之前,我们需要记住
功能
关联向量空间的一个和唯一一个元素
到另一个向量空间的每个元素
据说是 线性图 如果和
只要
如果
对于
任何两个标量
和
和任何两个向量
.
线性运算符的定义与此类似。
定义
让
成为 向量空间。功能
当且仅当被称为线性算子
如果
对于
任何两个标量
和
和任何两个向量
.
让我们提供一个简单的例子。
由于线性算子是一种特殊的线性映射,因此它继承了所有 线性图的属性。为了方便起见,我们在此报告最重要的 这些继承的属性,但是如果您已经熟悉线性 地图,您可以安全地跳过此部分。
线性算子
完全取决于其在
基础 的
.
主张
让
成为线性空间
的基础
,
和
一套
要点
.
然后,有一个唯一的线性算子
这样
那
对于
.
请参阅讲座中的证明 线性图.
向量与方矩阵的乘法定义了线性算子。
主张
让
成为所有人的线性空间
列向量。让
成为
矩阵。让
被定义,对于任何
,
通过
哪里
表示 矩阵
产品 之间
和
.
然后
是线性运算符。
请参阅讲座中提供的证明 线性图.
主张
让
成为所有人的线性空间
行向量。让
成为
矩阵。考虑转型
定义,对于任何
,
通过
哪里
表示之间的矩阵乘积
和
.
然后
是线性运算符。
和以前一样,请参见 线性图.
“线性保留”属性扩展到 线性组合 涉及两个以上的术语。
主张
让
是
标量,让
是
线性空间的元素
.
如果
是线性运算符
然后
同样在这种情况下,请参见 讲座 线性图.
请记住,每个线性图
两个有限维向量空间之间的关系可以用矩阵表示
,
叫做 的矩阵
线性图。记法
表示矩阵取决于两个的选择
基地:基础
为空间
和基础
为空间
.
矩阵的构造如下:
哪里
列是 坐标
向量 的转变
属于基础的向量
.
的列数
等于基础中的元素数
,
而行的数量
等于基础中的元素数
.
对于线性算子,共域
与域重合
,
那是,
.
这个事实有两个重要的后果。
首先,任何两个基础
和
的
具有相同数量的元素(通过
尺寸定理)。
因此,矩阵
线性算子的平方是平方。因此,我们可以将线性算子应用于
丰富的理论工具集,可专门用于平方
矩阵(例如,
逆,
跟踪,
行列式,
特征值和
特征向量)。
第二,我们可以(尽管没有义务)使用唯一的依据
对于域和共域。当我们选择这种简化时,
线性图的矩阵是
哪一个
我们也可以简单地用
.
例
让
是由基础跨越的线性空间
.
假设
是一个线性算子
那
然后,
形成线性算子矩阵所需的坐标向量
是
和
从而,
线性算子相对于
是广场
矩阵
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为线性空间 跨度 由
基础
.
假设
是一个线性算子
那
找出矩阵
线性算子的
.
应用线性运算符后,
基础元素的坐标向量
成为和
和
从而,
线性算子相对于
是广场
矩阵
使用矩阵
在上一练习中发现了如何计算运算符
变换向量的坐标
这样
那
转换可以通过
执行矩阵
乘法:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性算子", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-operator.