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线性算子

通过 博士

在线性代数中,术语“线性算子”最通常是指线性 地图(即函数 $ f:S
ightarrow T $ 保留具有相加后的向量加法和标量乘法) 将向量空间映射到自身的特殊性(即, $ f:S
ightarrow S $)。 该术语在其他分支机构中可能具有不同的含义。 数学。

目录

定义

提供线性运算符的定义之前,我们需要记住 功能 $ f:S
ightarrow T $ 关联向量空间的一个和唯一一个元素 $ T $ 到另一个向量空间的每个元素 $ S $ 据说是 线性图 如果和 只要 如果[eq1]对于 任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 和任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2}.

线性运算符的定义与此类似。

定义$ S $ 成为 向量空间。功能 $ f:S
ightarrow S $ 当且仅当被称为线性算子 如果[eq2]对于 任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 和任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2}.

让我们提供一个简单的例子。

考虑空间 $ S $ 在所有 $ 2imes 1 $ 具有真实条目的列向量。假设功能 $ f:S
ightarrow S $ 与每个向量相关 [eq3]a 向量[eq4]选择 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 通过重复应用 向量加法 标量 乘法,我们 获得[eq5]因此, $ f $ 是线性运算符。

从线性映射继承的属性

由于线性算子是一种特殊的线性映射,因此它继承了所有 线性图的属性。为了方便起见,我们在此报告最重要的 这些继承的属性,但是如果您已经熟悉线性 地图,您可以安全地跳过此部分。

线性算子完全由其定义 values on a 基础

线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 完全取决于其在 基础$ S $.

主张$ S $ 成为线性空间 [eq6] 的基础 $ S $, 和 [eq7] 一套 K 要点 $ S $. 然后,有一个唯一的线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 这样 那[eq8]对于 $ k = 1,ldots,K $.

证明

请参阅讲座中的证明 线性图.

平方矩阵定义线性算子

向量与方矩阵的乘法定义了线性算子。

主张$ S $ 成为所有人的线性空间 Kx1 列向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ f:S
ightarrow S $ 被定义,对于任何 $罪S $, 通过 [eq9]哪里 $ As $ 表示 矩阵 产品 之间 A$ s $. 然后 $ f $ 是线性运算符。

证明

请参阅讲座中提供的证明 线性图.

主张$ S $ 成为所有人的线性空间 $ 1imes K $ 行向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。考虑转型 $ f:S
ightarrow S $ 定义,对于任何 $罪S $, 通过 [eq10]哪里 $ sA $ 表示之间的矩阵乘积 $ s $A. 然后 $ f $ 是线性运算符。

证明

和以前一样,请参见 线性图.

多个术语的组合

“线性保留”属性扩展到 线性组合 涉及两个以上的术语。

主张[eq11]n 标量,让 [eq12]K 线性空间的元素 $ S $. 如果 $ f:S
ightarrow S $ 是线性运算符 然后[eq13]

证明

同样在这种情况下,请参见 讲座 线性图.

线性算子的矩阵为平方

请记住,每个线性图 $ f:S
ightarrow T $ 两个有限维向量空间之间的关系可以用矩阵表示 [eq14], 叫做 的矩阵 线性图。记法 [eq15] 表示矩阵取决于两个的选择 基地:基础 $ B $ 为空间 $ S $ 和基础 $ C $ 为空间 $ T $.

矩阵的构造如下: [eq16]哪里 列是 坐标 向量 的转变 [eq17] 属于基础的向量 [eq18].

的列数 [eq15] 等于基础中的元素数 $ B $, 而行的数量 [eq20] 等于基础中的元素数 $ C $.

对于线性算子,共域 $ T $ 与域重合 $ S $, 那是, $ f:S
ightarrow S $. 这个事实有两个重要的后果。

首先,任何两个基础 $ B $$ C $$ S $ 具有相同数量的元素(通过 尺寸定理)。 因此,矩阵 [eq15] 线性算子的平方是平方。因此,我们可以将线性算子应用于 丰富的理论工具集,可专门用于平方 矩阵(例如, , 跟踪, 行列式, 特征值和 特征向量)。

第二,我们可以(尽管没有义务)使用唯一的依据 $ B $ 对于域和共域。当我们选择这种简化时, 线性图的矩阵是 [eq22]哪一个 我们也可以简单地用 [eq23].

$ S $ 是由基础跨越的线性空间 [eq24]. 假设 $ f:S
ightarrow S $ 是一个线性算子 那[eq25]然后, 形成线性算子矩阵所需的坐标向量 是[eq26][eq27]从而, 线性算子相对于 $ B $ 是广场 矩阵[eq28]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 成为线性空间 跨度 由 基础 [eq29]. 假设 $ f:S
ightarrow S $ 是一个线性算子 那[eq30]

找出矩阵 [eq23] 线性算子的 $ f $.

应用线性运算符后, 基础元素的坐标向量 成为[eq32][eq33][eq34]从而, 线性算子相对于 $ B $ 是广场 矩阵[eq35]

练习2

使用矩阵 [eq23] 在上一练习中发现了如何计算运算符 $ f $ 变换向量的坐标 $罪S $ 这样 那[eq37]

转换可以通过 执行矩阵 乘法:[eq38]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性算子", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-operator.

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