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线性空间

通过 博士

线性空间（或向量空间）为 套 那 关于线性组合是封闭的。换句话说，给定的集合 $ S $ 如果其元素可以乘以标量并相加，则为线性空间 在一起，这些代数运算的结果就是 仍然属于 $ S $.

目录

目录

  1. 第一个非正式且有点限制性的定义

  2. 领域

  3. 严格的定义

  4. 非正式定义和正式定义如何相互交流

  5. 示例：多项式

  6. 线性子空间

  7. 线性组合中的两个以上向量

  8. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

第一个非正式且有点限制性的定义

线性空间是通过列举 两个代数运算对元素执行的属性 空间（标量的加法和乘法）需要满足。

为了逐步建立直觉，我们先从一个较窄的方法开始， 我们将注意力集中在元素是 矩阵 （或列和行向量）。 此外，我们没有正式列举加法和 标量的乘法，因为这些已经在前面 讲座（请参阅 矩阵加法 和 一个乘法 矩阵）。在这次非正式的演讲之后，我们报告了一个完整的 向量空间的一般性和严格定义。

定义 让 $ S $ 是一组矩阵，这样在 $ S $ 具有相同的尺寸。 $ S $ 是一个 线性空间 当且仅当，对于任何两个矩阵 A 和 $ B $ 属于 $ S $ 和任何两个标量 $ lpha $ 和 $ eta $, 的 线性的 组合[eq1]也 属于 $ S $.

换句话说，当 $ S $ 是线性空间，如果取属于的任何两个矩阵 $ S $, 您将它们每个都乘以标量，然后将乘积相加 得到，那么你有一个线性组合，它也是一个矩阵 至 $ S $.

例 让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。考虑两个向量 A 和 $ B $ 属于 $ S $. 表示为 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $ 和 $ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 的线性组合 A 和 $ B $ 有两个实数 $ lpha $ 和 $ eta $ 因为系数可以写成 如 [eq2]但 [eq3] 和 [eq4] 是实数，因为实积和和也是实数 数字。因此， 向量[eq5]是 实数，这意味着向量属于 $ S $. 因为这对任何两个系数都是正确的 $ lpha $ 和 $ eta $, $ S $ 是线性空间。

领域

在给出向量空间的严格定义之前，我们需要介绍 字段，它们是向量乘以的标量集合 标量。

定义 让 F 是一个集合，以及两个二进制运算 [eq6], 加法，用 $ + $ 和乘法，用 $ cdot $. 套装 F 当且仅当，对于任何 $ a，b $,$ cin F $, 以下属性成立：

如您所见，这些是加法和 实数的乘法，这是我们在学校时学习的。他们 复数的加法和乘法也满足了。在 换句话说，两者 R 和 $ U {2102} $, 配备了他们通常的操作的领域。这也是仅有的两个 这些讲座中您会遇到的领域。尽管如此，抽象 定义很有用，因为它允许导出对以下项有效的结果 一般字段，并且在需要时可以应用于 R 并 $ U {2102} $.

严格的定义

现在我们准备定义向量空间。

定义 让 F 成为一个领域，让 $ S $ 是装备有手术的装置 [eq11], 称为向量加法，用 $ + $, 和另一个操作 [eq12], 称为标量乘法，用 $ cdot $. 套装 $ S $ 据说是一个线性空间（或矢量空间） F 当且仅当 $ s，t，uin S $ 和任何 $ a，bin F $, 以下属性成立：

向量空间的元素称为 向量 以及那些 其相关领域的被称为 标量.

注意，在上面的定义中，当我们写 [eq19] 和 [eq20], 我们的意思是两个操作都在 F 和 $ S $ 并始终在 $ S $. 因此，我们隐含地假设 那[eq21]哪一个 等效于线性封闭的要求 在我们先前对向量空间的非正式定义中进行的组合。

另请注意，我们使用了相同的符号 ($ + $ 和 $ cdot $) 用于现场定义的操作 F 对于那些配备向量空间的人。从哪个总是很清楚 上下文。

像往常一样 $ cdot $ 在字段和向量空间中都可以省略。 所以， $ st $ 与...具有相同的含义 $ scdot t $. 此外，加号 $ + $ 当其后跟加减逆的负号时，可以省略。 例如， $ s-t $ 与...具有相同的含义 [eq22].

非正式定义和正式定义如何对话 each other

您可以轻松地验证任何一组矩阵（或列或行向量） 配备了矩阵加法和乘法的两个运算 标量矩阵满足上述所有条件，前提是 对于线性组合，集合是封闭的。

例 让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有真实条目的列向量。两个列向量的加法是 以通常的方式定义，任何实数均可用于执行 向量乘以标量。换句话说 R 是标量领域。在讲座中 矩阵加法 和 一个乘法 矩阵 我们已经证明了各种关联 上面列出的交换性和分配性成立。零向量 满足加法标识特性的是 Kx1 其所有项都等于零的向量。通过采用线性组合 两个向量 A,$ bin S $ 标量系数 [eq23], 我们得到另一个 Kx1 向量[eq5]谁的 k-th 条目 是[eq25]哪里 $ A_ {k} $ 和 $ B_ {k} $ 表示 k-th 的条目 A 和 $ B $. 由于实数的乘积和总和也是实数， [eq26] 是一个实数。这对任何人都是如此 k. 所以， $ lpha A + eta B $ 是一个 Kx1 列向量均为实数的列向量。但这意味着 $ lpha A + eta B $ 属于 $ S $. 从而， $ S $ 关于线性组合是封闭的。因此，这是一个线性空间。

换句话说，向量的非正式和限制性的定义 我们在本讲座开始时提供的空间非常完美 与本节中给出的更正式，更广泛的定义兼容。 此外，第一个非正式定义使用术语“标量”，而没有 指定在其上定义矢量空间的字段：省略为 有意为之，因为这些讲座中介绍的绝大多数结果都适用 两者都在实场上的线性空间 R 和空格 $ U {2102} $.

例 到现在为止，我们一直在处理实数矩阵，即 向量为实数的向量。但是，我们所说的一切 也适用于复杂矩阵，即条目复杂的矩阵 数字。如果我们回顾以前的讲座中给出的所有定义，我们将 意识到没有地方指定矩阵必须具有实数项。 一个重要的区别是，在复杂情况下，乘以 标量涉及复杂的标量，但其他所有内容都很简单 修改实际情况。例如，我们可以采用前面的示例 并替换1） Kx1 具有实项的列向量 Kx1 具有复杂条目的列向量； 2）标量领域 R 与领域 $ U {2102} $. 我们可以使其他所有内容保持不变，并且有以下事实的证明： 空间 $ S $ 在所有 Kx1 具有复杂条目的列向量是一个向量空间 $ U {2102} $.

在讲座中 坐标 向量，我们还将显示非正式定义要少得多 比看起来似乎限制性的：有限维向量的所有元素 空间可以写成数字数组，从某种意义上讲， 有限维向量空间符合非正式定义。

示例：多项式

现在让我们来看一个向量空间的示例，该向量空间并未直接覆盖 更严格的定义，但包含在我们的一般定义中 刚刚介绍。

例 三阶多项式是 功能[eq27]哪里 系数 [eq28] 和论点 $ z $ 是属于一个领域的标量 F. 考虑空间 $ P $ 所有三阶多项式让我们考虑两个的加法 多项式 $ pleft（z 权）$ 以上定义和 $ qleft（z 权）$ 定义如下： [eq29]的 添加它们的自然方法 是：[eq30]此外， 多项式的乘法 $ pleft（z 权）$ 由标量 a 执行为 如下：[eq31]它 很容易验证 $ P $ 是一个向量空间 F 当它配备了加法和乘法两个操作时 我们刚刚定义的标量。重要的是，添加剂身份 属性由一个系数都等于的多项式满足 零。

线性子空间

一个重要的概念是线性子空间。

定义 让 $ S $ 成为线性空间 $ S_ {1} $ 的子集 $ S $. $ S_ {1} $ 是一个 线性子空间 的 $ S $ 当且仅当 $ S_ {1} $ 是本身的线性空间，即当且仅当针对任何两个向量 $ A，Bin S_ {1} $ 和任何两个标量 $ lpha $ 和 $ eta $, 线性 组合[eq5]也 属于 $ S_ {1} $.

以下是线性子空间的简单示例。

例 让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。我们已经知道 $ S $ 是线性空间。让 $ S_ {1} $ 是...的子集 $ S $ 由...的所有元素组成 $ S $ 其第一项等于 0. 考虑两个向量 A 和 $ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $ 和 $ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 $ A_ {1} = 0 $ 和 $ B_ {1} = 0 $. 因此， A 和 $ B $ 有两个实数 $ lpha $ 和 $ eta $ 因为系数可以写成 如 [eq33]从而， 线性组合的结果是一个向量，其第一个入口等于 至 0 并且其第二个输入是实数（因为实数的乘积和总和 数字也是实数）。因此， 向量[eq5]也 属于 $ S_ {1} $. 因为这对任何两个系数都是正确的 $ lpha $ 和 $ eta $, $ S_ {1} $ 是本身的线性空间，因此是 $ S $.

线性组合中的两个以上向量

一个明显的事实是线性空间和子空间用 关于两个以上向量的线性组合，如 以下命题。

主张 如果 $ S $ 是线性（子）空间，那么对于任何 n 向量 [eq35] 属于 $ S $ 和任何 n 标量 [eq36], 线性 组合[eq37]也 属于 $ S $.

证明

通过假设，关于 线性组合适用于 $n=2$. 我们只需要证明它适用于通用 n, 鉴于它适合 $n-1$. 换句话说，我们需要证明 [eq38]暗示[eq39]让 我们 定义[eq40]我们 刚刚观察到 $ bin S $. 现在，我们可以 写[eq41]但 $ B + lpha _ {n} A_ {n} $ 是...的线性组合 $ B $ 和 $ A_ {n} $ （均属于 $ S $) 带有系数 1 和 $ lpha _ {n} $. 因此， $ B + lpha _ {n} A_ {n} $ 也属于 $ S $, 这是我们需要证明的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。让 $ S_ {1} $ 是...的子集 $ S $ 由...的所有元素组成 $ S $ 其第一项是第二项的两倍。显示 $ S_ {1} $ 是的线性子空间 $ S $.

解

从前面的例子中我们知道 $ S $ 是线性空间。现在，取任意两个向量 A 和 $ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $ 和 $ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $ 和 $ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 [eq42]和 [eq43]A 的线性组合 A 和 $ B $ 带有系数 $ lpha $ 和 $ eta $ 可以写 如 [eq44]从而， 属于的向量的线性组合 $ S_ {1} $ 结果给出一个向量，其第二项是实数 ([eq4] 是一个实数，因为实数的乘积和总和也是实数 数字），并且其第一项是第二项的两倍。因此， 线性组合产生的向量也属于 $ S_ {1} $. 对于任何两个系数都是如此 $ lpha $ 和 $ eta $. 作为结果， $ S_ {1} $ 是本身的线性空间，因此是 $ S $.

练习2

让 A 成为 2元2元 矩阵。让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 向量 x 满足 方程[eq46]节目 那 $ S $ 是线性空间。

解

考虑两个的线性组合 向量 $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ 属于 $ S $ 带有系数 $ lpha _ {1} $ 和 a_2:[eq47]通过 的分配属性 矩阵 乘法，是 A 这个线性组合可以写成 如 [eq48]因为 $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ 属于 $ S $, 我们有 那[eq49]如 a 后果，[eq50]从而， 也是线性组合 [eq51] 属于 $ S $, 因为它满足方程的所有向量 $ S $ 需要满足。任何两个向量都是如此 $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ 以及任何两个系数 $ lpha _ {1} $ 和 a_2, 这意味着 $ S $ 是线性空间。

练习3

让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 3imes 1 $ 实列向量。让 $ S_ {1} $ 是所有元素的集合 $ S $ 其第一项等于 0 并且其第二项等于 1. 验证是否 $ S_ {1} $ 是的线性子空间 $ S $.

解

考虑两个向量 A 和 $ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $ 和 $ A_ {3} $ 的三个条目 A, 和 $ B_ {1} $, $ B_ {2} $ 和 $ B_ {3} $ 的两个条目 $ B_ {2} $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 $ A_ {1} = 0 $, $ A_ {2} = 1 $, $ B_ {1} = 0 $ 和 $ B_ {2} = 1 $. 的线性组合 A 和 $ B $ 带有系数 $ lpha $ 和 $ eta $ 可以写 如 [eq52]的 线性组合的第二项 ($ lpha + eta $) 不一定等于 1. 因此， 向量[eq5]确实 不属于 $ S_ {1} $ 对于一些系数 $ lpha $ 和 $ eta $. 因此， $ S_ {1} $ 不是的线性子空间 $ S $.

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-spaces.

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该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

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