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线性空间

通过 博士

线性空间(或向量空间)为 那 关于线性组合是封闭的。换句话说,给定的集合 $ S $ 如果其元素可以乘以标量并相加,则为线性空间 在一起,这些代数运算的结果就是 仍然属于 $ S $.

目录

第一个非正式且有点限制性的定义

线性空间是通过列举 两个代数运算对元素执行的属性 空间(标量的加法和乘法)需要满足。

为了逐步建立直觉,我们先从一个较窄的方法开始, 我们将注意力集中在元素是 矩阵 (或列和行向量)。 此外,我们没有正式列举加法和 标量的乘法,因为这些已经在前面 讲座(请参阅 矩阵加法 一个乘法 矩阵)。在这次非正式的演讲之后,我们报告了一个完整的 向量空间的一般性和严格定义。

定义$ S $ 是一组矩阵,这样在 $ S $ 具有相同的尺寸。 $ S $ 是一个 线性空间 当且仅当,对于任何两个矩阵 A$ B $ 属于 $ S $ 和任何两个标量 $ lpha $$ eta $, 的 线性的 组合[eq1]也 属于 $ S $.

换句话说,当 $ S $ 是线性空间,如果取属于的任何两个矩阵 $ S $, 您将它们每个都乘以标量,然后将乘积相加 得到,那么你有一个线性组合,它也是一个矩阵 至 $ S $.

$ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。考虑两个向量 A$ B $ 属于 $ S $. 表示为 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $$ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 的线性组合 A$ B $ 有两个实数 $ lpha $$ eta $ 因为系数可以写成 如 [eq2][eq3][eq4] 是实数,因为实积和和也是实数 数字。因此, 向量[eq5]是 实数,这意味着向量属于 $ S $. 因为这对任何两个系数都是正确的 $ lpha $$ eta $, $ S $ 是线性空间。

领域

在给出向量空间的严格定义之前,我们需要介绍 字段,它们是向量乘以的标量集合 标量。

定义F 是一个集合,以及两个二进制运算 [eq6], 加法,用 $ + $ 和乘法,用 $ cdot $. 套装 F 当且仅当,对于任何 $ a,b $,$ cin F $, 以下属性成立:

如您所见,这些是加法和 实数的乘法,这是我们在学校时学习的。他们 复数的加法和乘法也满足了。在 换句话说,两者 R$ U {2102} $, 配备了他们通常的操作的领域。这也是仅有的两个 这些讲座中您会遇到的领域。尽管如此,抽象 定义很有用,因为它允许导出对以下项有效的结果 一般字段,并且在需要时可以应用于 R$ U {2102} $.

严格的定义

现在我们准备定义向量空间。

定义F 成为一个领域,让 $ S $ 是装备有手术的装置 [eq11], 称为向量加法,用 $ + $, 和另一个操作 [eq12], 称为标量乘法,用 $ cdot $. 套装 $ S $ 据说是一个线性空间(或矢量空间) F 当且仅当 $ s,t,uin S $ 和任何 $ a,bin F $, 以下属性成立:

向量空间的元素称为 向量 以及那些 其相关领域的被称为 标量.

注意,在上面的定义中,当我们写 [eq19][eq20], 我们的意思是两个操作都在 F$ S $ 并始终在 $ S $. 因此,我们隐含地假设 那[eq21]哪一个 等效于线性封闭的要求 在我们先前对向量空间的非正式定义中进行的组合。

另请注意,我们使用了相同的符号 ($ + $$ cdot $) 用于现场定义的操作 F 对于那些配备向量空间的人。从哪个总是很清楚 上下文。

像往常一样 $ cdot $ 在字段和向量空间中都可以省略。 所以, $ st $ 与...具有相同的含义 $ scdot t $. 此外,加号 $ + $ 当其后跟加减逆的负号时,可以省略。 例如, $ s-t $ 与...具有相同的含义 [eq22].

非正式定义和正式定义如何对话 each other

您可以轻松地验证任何一组矩阵(或列或行向量) 配备了矩阵加法和乘法的两个运算 标量矩阵满足上述所有条件,前提是 对于线性组合,集合是封闭的。

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有真实条目的列向量。两个列向量的加法是 以通常的方式定义,任何实数均可用于执行 向量乘以标量。换句话说 R 是标量领域。在讲座中 矩阵加法 一个乘法 矩阵 我们已经证明了各种关联 上面列出的交换性和分配性成立。零向量 满足加法标识特性的是 Kx1 其所有项都等于零的向量。通过采用线性组合 两个向量 A,$ bin S $ 标量系数 [eq23], 我们得到另一个 Kx1 向量[eq5]谁的 k-th 条目 是[eq25]哪里 $ A_ {k} $$ B_ {k} $ 表示 k-th 的条目 A$ B $. 由于实数的乘积和总和也是实数, [eq26] 是一个实数。这对任何人都是如此 k. 所以, $ lpha A + eta B $ 是一个 Kx1 列向量均为实数的列向量。但这意味着 $ lpha A + eta B $ 属于 $ S $. 从而, $ S $ 关于线性组合是封闭的。因此,这是一个线性空间。

换句话说,向量的非正式和限制性的定义 我们在本讲座开始时提供的空间非常完美 与本节中给出的更正式,更广泛的定义兼容。 此外,第一个非正式定义使用术语“标量”,而没有 指定在其上定义矢量空间的字段:省略为 有意为之,因为这些讲座中介绍的绝大多数结果都适用 两者都在实场上的线性空间 R 和空格 $ U {2102} $.

到现在为止,我们一直在处理实数矩阵,即 向量为实数的向量。但是,我们所说的一切 也适用于复杂矩阵,即条目复杂的矩阵 数字。如果我们回顾以前的讲座中给出的所有定义,我们将 意识到没有地方指定矩阵必须具有实数项。 一个重要的区别是,在复杂情况下,乘以 标量涉及复杂的标量,但其他所有内容都很简单 修改实际情况。例如,我们可以采用前面的示例 并替换1) Kx1 具有实项的列向量 Kx1 具有复杂条目的列向量; 2)标量领域 R 与领域 $ U {2102} $. 我们可以使其他所有内容保持不变,并且有以下事实的证明: 空间 $ S $ 在所有 Kx1 具有复杂条目的列向量是一个向量空间 $ U {2102} $.

在讲座中 坐标 向量,我们还将显示非正式定义要少得多 比看起来似乎限制性的:有限维向量的所有元素 空间可以写成数字数组,从某种意义上讲, 有限维向量空间符合非正式定义。

示例:多项式

现在让我们来看一个向量空间的示例,该向量空间并未直接覆盖 更严格的定义,但包含在我们的一般定义中 刚刚介绍。

三阶多项式是 功能[eq27]哪里 系数 [eq28] 和论点 $ z $ 是属于一个领域的标量 F. 考虑空间 $ P $ 所有三阶多项式让我们考虑两个的加法 多项式 $ pleft(z
权)$ 以上定义和 $ qleft(z
权)$ 定义如下: [eq29]的 添加它们的自然方法 是:[eq30]此外, 多项式的乘法 $ pleft(z
权)$ 由标量 a 执行为 如下:[eq31]它 很容易验证 $ P $ 是一个向量空间 F 当它配备了加法和乘法两个操作时 我们刚刚定义的标量。重要的是,添加剂身份 属性由一个系数都等于的多项式满足 零。

线性子空间

一个重要的概念是线性子空间。

定义$ S $ 成为线性空间 $ S_ {1} $ 的子集 $ S $. $ S_ {1} $ 是一个 线性子空间$ S $ 当且仅当 $ S_ {1} $ 是本身的线性空间,即当且仅当针对任何两个向量 $ A,Bin S_ {1} $ 和任何两个标量 $ lpha $$ eta $, 线性 组合[eq5]也 属于 $ S_ {1} $.

以下是线性子空间的简单示例。

$ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。我们已经知道 $ S $ 是线性空间。让 $ S_ {1} $ 是...的子集 $ S $ 由...的所有元素组成 $ S $ 其第一项等于 0. 考虑两个向量 A$ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $$ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 $ A_ {1} = 0 $$ B_ {1} = 0 $. 因此, A$ B $ 有两个实数 $ lpha $$ eta $ 因为系数可以写成 如 [eq33]从而, 线性组合的结果是一个向量,其第一个入口等于 至 0 并且其第二个输入是实数(因为实数的乘积和总和 数字也是实数)。因此, 向量[eq5]也 属于 $ S_ {1} $. 因为这对任何两个系数都是正确的 $ lpha $$ eta $, $ S_ {1} $ 是本身的线性空间,因此是 $ S $.

线性组合中的两个以上向量

一个明显的事实是线性空间和子空间用 关于两个以上向量的线性组合,如 以下命题。

主张 如果 $ S $ 是线性(子)空间,那么对于任何 n 向量 [eq35] 属于 $ S $ 和任何 n 标量 [eq36], 线性 组合[eq37]也 属于 $ S $.

证明

通过假设,关于 线性组合适用于 $n=2$. 我们只需要证明它适用于通用 n, 鉴于它适合 $n-1$. 换句话说,我们需要证明 [eq38]暗示[eq39]让 我们 定义[eq40]我们 刚刚观察到 $ bin S $. 现在,我们可以 写[eq41]$ B + lpha _ {n} A_ {n} $ 是...的线性组合 $ B $$ A_ {n} $ (均属于 $ S $) 带有系数 1$ lpha _ {n} $. 因此, $ B + lpha _ {n} A_ {n} $ 也属于 $ S $, 这是我们需要证明的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 列向量为实数的列向量。让 $ S_ {1} $ 是...的子集 $ S $ 由...的所有元素组成 $ S $ 其第一项是第二项的两倍。显示 $ S_ {1} $ 是的线性子空间 $ S $.

从前面的例子中我们知道 $ S $ 是线性空间。现在,取任意两个向量 A$ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 的两个条目 A, 和 $ B_ {1} $$ B_ {2} $ 的两个条目 $ B $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 [eq42][eq43]A 的线性组合 A$ B $ 带有系数 $ lpha $$ eta $ 可以写 如 [eq44]从而, 属于的向量的线性组合 $ S_ {1} $ 结果给出一个向量,其第二项是实数 ([eq4] 是一个实数,因为实数的乘积和总和也是实数 数字),并且其第一项是第二项的两倍。因此, 线性组合产生的向量也属于 $ S_ {1} $. 对于任何两个系数都是如此 $ lpha $$ eta $. 作为结果, $ S_ {1} $ 是本身的线性空间,因此是 $ S $.

练习2

A 成为 2元2元 矩阵。让 $ S $ 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 向量 x 满足 方程[eq46]节目 那 $ S $ 是线性空间。

考虑两个的线性组合 向量 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 属于 $ S $ 带有系数 $ lpha _ {1} $a_2:[eq47]通过 的分配属性 矩阵 乘法,是 A 这个线性组合可以写成 如 [eq48]因为 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 属于 $ S $, 我们有 那[eq49]如 a 后果,[eq50]从而, 也是线性组合 [eq51] 属于 $ S $, 因为它满足方程的所有向量 $ S $ 需要满足。任何两个向量都是如此 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 以及任何两个系数 $ lpha _ {1} $a_2, 这意味着 $ S $ 是线性空间。

练习3

$ S $ 成为所有人的集合 $ 3imes 1 $ 实列向量。让 $ S_ {1} $ 是所有元素的集合 $ S $ 其第一项等于 0 并且其第二项等于 1. 验证是否 $ S_ {1} $ 是的线性子空间 $ S $.

考虑两个向量 A$ B $ 属于子集 $ S_ {1} $. 表示为 $ A_ {1} $, $ A_ {2} $$ A_ {3} $ 的三个条目 A, 和 $ B_ {1} $, $ B_ {2} $$ B_ {3} $ 的两个条目 $ B_ {2} $. 根据定义 $ S_ {1} $, 我们有 $ A_ {1} = 0 $, $ A_ {2} = 1 $, $ B_ {1} = 0 $$ B_ {2} = 1 $. 的线性组合 A$ B $ 带有系数 $ lpha $$ eta $ 可以写 如 [eq52]的 线性组合的第二项 ($ lpha + eta $) 不一定等于 1. 因此, 向量[eq5]确实 不属于 $ S_ {1} $ 对于一些系数 $ lpha $$ eta $. 因此, $ S_ {1} $ 不是的线性子空间 $ S $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性空间", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-spaces.

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