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线性跨度

通过 博士

一组向量的跨度,也称为线性跨度,是 线性空间 由所有向量组成 可以写成 线性组合 属于给定集合的向量。

目录

定义

让我们从span的正式定义开始。

定义$ S $ 是一个线性空间。让 [eq1]n 向量。的 线性跨度[eq2], 表示的 通过[eq3] 是所有线性组合的集合 [eq4]那 可以通过任意选择获得 n 标量 $ lpha _ {1} $, ...,$ lpha _ {n} $.

下面是一个非常简单的线性跨度示例。

$ x_ {1} $$ x_ {2} $$ 2imes 1 $ 列向量 定义为 如下:[eq5]x 是...的线性组合 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 带有系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 然后,[eq6]从而, 线性跨度是所有向量的集合 x 可以写 如 [eq7]哪里 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 是两个任意标量。

线性跨度是线性空间

以下命题虽然很基本,但却非常重要。

主张 一组向量的线性跨度是线性空间。

证明

$ S $ 是的线性范围 n 向量 [eq8]. 然后, $ S $ 是所有向量的集合 x 可以表示为线性 组合[eq4]采取 两个向量 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 属于 $ S $. 然后,存在系数 [eq10][eq11] 这样 那[eq12]的 跨度 $ S $ 当且仅当针对任意两个系数时为线性空间 $ eta _ {1} $$ eta _ {2} $, 线性 组合[eq13]也 属于 $ S $. 但,[eq14]从而, 线性组合 [eq15]能够 本身可以表示为向量的线性组合 [eq16] 带有系数 [eq17], ..., [eq18]. 结果,它属于跨度 $ S $. 总而言之,我们证明了向量的任何线性组合都属于 跨度 $ S $ 也属于跨度 $ S $. 这意味着 $ S $ 是线性空间。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义以下内容 $ 2imes 1 $ 向量:[eq19]

是否 $ x_ {3} $ 属于的线性跨度 $ x_ {1} $$ x_ {2} $?

的线性跨度 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是所有向量的集合 $ s $ 可以写成 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 标量系数 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $:[eq20]在 也就是说, [eq21] 包含的所有标量倍数 向量[eq22]$ x_ {3} $ 不是的标量倍数 $ x_ {1} $. 因此, $ x_ {3} $ 不属于 [eq21].

练习2

请问零 向量[eq24]属于 到向量的跨度 $ x_ {1} $$ x_ {3} $ 上面定义的?

我们已经证明跨度是线性的 空间,并且零向量始终属于线性空间(通过 线性空间的定义)。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性跨度", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-span.

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