一组向量的跨度，也称为线性跨度，是 线性空间 由所有向量组成 可以写成 线性组合 属于给定集合的向量。
让我们从span的正式定义开始。
定义
让
是一个线性空间。让
是
向量。的 线性跨度 的
,
表示的
通过![[eq3]](/images/linear-span__5.png)
是所有线性组合的集合
![[eq4]](/images/linear-span__6.png)
那
可以通过任意选择获得
标量
,
...，.
下面是一个非常简单的线性跨度示例。
例
让
和
是
列向量 定义为
如下：![[eq5]](/images/linear-span__13.png)
让
是...的线性组合
和
带有系数
和
.
然后，![[eq6]](/images/linear-span__19.png)
从而，
线性跨度是所有向量的集合
可以写
如 ![[eq7]](/images/linear-span__21.png)
哪里
和
是两个任意标量。
以下命题虽然很基本，但却非常重要。
主张 一组向量的线性跨度是线性空间。
让
是的线性范围
向量
.
然后，
是所有向量的集合
可以表示为线性
组合采取
两个向量
和
属于
.
然后，存在系数
和
这样
那![[eq12]](/images/linear-span__35.png)
的
跨度
当且仅当针对任意两个系数时为线性空间
和
,
线性
组合也
属于
.
但，![[eq14]](/images/linear-span__41.png)
从而，
线性组合
能够
本身可以表示为向量的线性组合
带有系数
,
...，
.
结果，它属于跨度
.
总而言之，我们证明了向量的任何线性组合都属于
跨度
也属于跨度
.
这意味着
是线性空间。
您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。
定义以下内容
向量：![[eq19]](/images/linear-span__51.png)
是否
属于的线性跨度
和
?
的线性跨度
和
是所有向量的集合
可以写成
和
标量系数
和
:![[eq20]](/images/linear-span__62.png)
在
也就是说，
包含的所有标量倍数
向量但
不是的标量倍数
.
因此，
不属于
.
请问零
向量属于
到向量的跨度
和
上面定义的？
我们已经证明跨度是线性的 空间，并且零向量始终属于线性空间（通过 线性空间的定义）。
请引用为：
Taboga, Marco (2017). "线性跨度", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/linear-span.
