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矩阵加法

通过 博士

本讲座介绍矩阵加法,这是基本的代数运算之一 可以在 矩阵.

目录

定义

当且仅当两个矩阵相同时,才可以将它们加在一起 尺寸。它们的总和是通过将一个矩阵的每个元素与 另一个矩阵的对应元素。

以下是正式定义。

定义A$ B $ 是两个 $石灰K $ 矩阵。他们的总和 $ A + B $ 是另一个 $石灰K $ 这样的矩阵 $ left(l,k
权)$-th 元素等于 $ left(l,k
权)$-th 的元素 A 和 的 $ left(l,k
权)$-th 的元素 $ B $, 对所有人 k$ l $ 满意的 $ 1leq kleq K $$ 1leq lleq L $.

以下示例显示了如何执行矩阵加法。

A$ B $ 是两个 3美金2美金 矩阵[eq1]其 和 是[eq2]

请记住,列向量和行向量也是矩阵。作为一个 结果,它们可以用相同的方式求和,如下所示 例。

A$ B $ 是两个 $ 3imes 1 $ 柱 向量[eq3]其 和 是[eq4]

矩阵加法的性质

Matrix加法享受的属性与 更熟悉的实数加法。

命题(可交换 属性) 矩阵加法是可交换的 是的[eq5]对于 任何矩阵 A$ B $$ C $ 这样就有意义地定义了上述添加。

证明

这是事实的直接后果 可交换性质适用于标量之和,因此适用于 进行矩阵加法时执行的逐元素总和。

命题(联想 属性) 矩阵加法是关联的,即 是的[eq6]对于 任何矩阵 A, $ B $$ C $ 这样就有意义地定义了上述添加。

证明

这是事实的直接后果 关联属性适用于标量之和,因此适用于 进行矩阵加法时执行的逐元素总和。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A$ B $3美金3美金 定义的矩阵 通过[eq7]找 他们的总和。

为了计算总和 A$ B $, 我们需要对的每个元素求和 $ A $ 与的相应元素 $ B $:[eq8]

练习2

A 如下 3美金2美金 矩阵:[eq9]定义 的 2元3元 矩阵 $ B $ 如 如下:[eq10]计算[eq11]哪里 $ B ^ {op} $ 是的转置 $ B $.

转置 $ B ^ {op} $ 是一个矩阵,其列等于行的 $ B $:[eq12]现在, 以来 A$ B ^ {op} $ 具有相同的尺寸,我们可以计算它们的 和:[eq13]

练习3

A 成为 2元2元 矩阵定义 通过[eq14]节目 的总和 A 它的转置是一个对称矩阵。

转置 A[eq15]的 的总和 A$ A ^ {op} $[eq16]

最后, $ A + A ^ {op} $ 如果等于其转置,则为对称。后者 是[eq17]从而, 断言是真的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵加法", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-addition.

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