矩阵对角化是执行相似性的过程 对矩阵进行变换以恢复相似的矩阵 对角线(即所有非对角线项目均为零)。
一旦将矩阵对角线化,就很容易将其升为整数 权力。
并非所有矩阵都是对角线的。对角化矩阵是那些 没有缺陷的特征值(即几何特征 多重性小于其代数多重性)。
记住两个平方矩阵
和
据说是 类似 如果有
存在一个 可逆的
矩阵
这样
那
如果两个矩阵相似,则它们具有相同的秩,迹线,行列式 和特征值。不仅两个相似的矩阵具有相同的特征值,而且 它们的特征值相同 代数的 和几何多重性.
现在我们可以提供对角矩阵的定义。
定义
让
成为
矩阵。我们说
当且仅当它类似于对角矩阵时才可对角化。
换句话说,当
是对角线的,那么存在一个可逆矩阵
这样
那
哪里
是对角矩阵,即非对角项为零的矩阵。
例
定义
的
矩阵
和
的
倒数
是
的
相似度转换
给
对角矩阵
结果是。因此,
可对角线化。
我们可以写对角线化
如
的
-th
的列
是平等的
至
哪里
是个
-th
的列
(如果您感到困惑,请修改
矩阵
乘法和线性组合)。
的
-th
的列
等于
哪里
是个
-th
的列
.
反过来,
是以下各列的线性组合
取自向量的系数
.
以来
是对角线,唯一的非零项
是
.
因此,
因此,我们得出了结论
那
后者的平等意味着
是一个 特征向量
的
与特征值相关
.
这是真的
.
因此,
是...的特征值
和的列
是相应的特征向量。
矩阵
在对角线化中使用的必须是可逆的。因此,其列必须为
线性独立.
换句话说,必须有
的线性独立特征向量
.
在关于
线性的
特征向量的独立性,我们已经讨论了以下事实:
矩阵,称为有缺陷矩阵,无法找到
线性独立的特征向量矩阵至少有一个缺陷
一个重复特征值,其几何多重性严格小于其
代数多重性(称为有缺陷的特征值)。
因此,不能将有缺陷的矩阵对角线化。
下一个命题总结了到目前为止我们已经讨论的内容。
主张
A
矩阵
当且仅当它没有任何有缺陷的特征值时才可对角线化。
我们已经证明了“仅当”部分
因为我们已经在上面显示了,如果
是对角线的,那么它拥有
线性独立的特征向量,这意味着没有特征值是
有缺陷的。 “如果”部分很简单。如果
拥有
线性独立的特征向量,那么我们可以将它们邻接形成
全秩矩阵
我们可以形成一个对角矩阵
其对角线元素等于相应的特征值。然后,通过
特征值和特征向量的定义
和
对角线化
如下。
请记住,如果...的所有特征值
是截然不同的
没有任何有缺陷的特征值。因此,拥有独特的
特征值是对角化的充分条件。
假设我们得到一个矩阵
并告诉我们将其对角线化。我们该怎么做呢?
先前的证明中已经给出了答案,但这是值得的 重复。
我们提供答案作为对角化的秘诀:
计算的特征值
.
检查特征值是否没有缺陷。如果任何特征值有缺陷,则 矩阵不能对角线化。否则,您可以转到下一步。
对于每个特征值,可以找到尽可能多的线性独立特征向量 (它们的数量等于特征值的几何多重性)。
邻接所有特征向量以形成一个满秩矩阵
.
建立对角矩阵
其对角线元素是的特征值
.
对角化完成:
.
重要的是,我们在构建时需要遵循相同的顺序
和
:
如果某个特征值已经放在
-th
列和
-th
排
,
然后必须将其对应的特征向量放在
-th
的列
.
例
定义
的
矩阵
的
特征值
解决特征
方程
让
我们计算
行列式
从而,
有两个特征值
和
.
没有重复的特征值,因此没有缺陷
特征值。因此,
可对角线化。特征向量
关联到
解决
以来
我们
可以选择
例,
此外,
所以
我们可以选择作为与
,
以下
向量:
因此,
特征值的对角矩阵
是
和
特征向量的可逆矩阵
是
提供矩阵
可以对角线化,没有独特的方法可以对角线化。
例如,我们可以更改特征值在序列上的放置顺序
对角线
.
或者我们可以替换一列
具有自身的标量倍数(这是与
相同的特征值)。如果存在重复的特征值,我们可以选择一个
其基础不同
本征空间.
例
例如,在前面的示例中,我们可以
定义的和
另一个
可能性本来是
选择
和
对角化的最重要应用是矩阵的计算 权力。
让
对角线
矩阵:
然后它
-th
通过将对角线元素提高到
-th
功率:
如果矩阵
是对角线的
和
因此,我们要做的所有工作
到
-th
力量是1)对角化
(如果可能的话); 2)提高对角矩阵
到
-th
力量,这很容易做到; 3)预乘矩阵
因此获得
然后乘以
.
一旦矩阵对角线化,就可以直接计算出 反(如果存在)。
实际上,我们有
那哪里
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
假设一个矩阵
可以对角线化为
哪里
假设
那
.
节目
那
和
计算
.
首先,让我们检查一下
:
我们
可以轻松计算出
:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵对角化", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-diagonalization.