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矩阵对角化

通过 博士

矩阵对角化是执行相似性的过程 对矩阵进行变换以恢复相似的矩阵 对角线（即所有非对角线项目均为零）。

一旦将矩阵对角线化，就很容易将其升为整数 权力。

并非所有矩阵都是对角线的。对角化矩阵是那些 没有缺陷的特征值（即几何特征 多重性小于其代数多重性）。

目录

目录

  1. 相似变换

  2. 对角矩阵

  3. 与特征值和特征向量的关系

  4. 如何对角矩阵

  5. 对角化不是唯一的

  6. 最重要的应用

  7. 逆矩阵

  8. 解决的练习

    1. 练习1

相似变换

记住两个平方矩阵 A 和 $ B $ 据说是 类似 如果有 存在一个 可逆的 $ Kimes K $ 矩阵 $ P $ 这样 那[eq1]

如果两个矩阵相似，则它们具有相同的秩，迹线，行列式 和特征值。不仅两个相似的矩阵具有相同的特征值，而且 它们的特征值相同 代数的 和几何多重性.

对角矩阵

现在我们可以提供对角矩阵的定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。我们说 A 当且仅当它类似于对角矩阵时才可对角化。

换句话说，当 A 是对角线的，那么存在一个可逆矩阵 $ P $ 这样 那[eq2]哪里 $ D $ 是对角矩阵，即非对角项为零的矩阵。

例 定义 的 2元2元 矩阵[eq3]和 [eq4]的 倒数 $ P $ 是[eq5]的 相似度转换 [eq6]给 对角矩阵 $ D $ 结果是。因此， A 可对角线化。

与特征值和特征向量的关系

我们可以写对角线化 $ D = P ^ {-1} AP $ 如 [eq7]

的 k-th 的列 $ AP $ 是平等的 至[eq8]哪里 $ P_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 $ P $ （如果您感到困惑，请修改 矩阵 乘法和线性组合）。

的 k-th 的列 $ PD $ 等于 [eq9]哪里 $ D_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 $ D $.

反过来， $ PD_ {ullet k} $ 是以下各列的线性组合 $ P $ 取自向量的系数 $ D_ {ullet k} $.

以来 $ D $ 是对角线，唯一的非零项 $ D_ {ullet k} $ 是 $ D_ {kk} $. 因此，[eq10]

因此，我们得出了结论 那[eq11]

后者的平等意味着 $ P_ {ullet k} $ 是一个 特征向量 的 A 与特征值相关 $ D_ {kk} $.

这是真的 $ k = 1，ldots，K $. 因此， $ D $ 是...的特征值 A 和的列 $ P $ 是相应的特征向量。

矩阵 $ P $ 在对角线化中使用的必须是可逆的。因此，其列必须为 线性独立. 换句话说，必须有 K 的线性独立特征向量 A.

在关于 线性的 特征向量的独立性，我们已经讨论了以下事实： $ Kimes K $ 矩阵，称为有缺陷矩阵，无法找到 K 线性独立的特征向量矩阵至少有一个缺陷 一个重复特征值，其几何多重性严格小于其 代数多重性（称为有缺陷的特征值）。

因此，不能将有缺陷的矩阵对角线化。

下一个命题总结了到目前为止我们已经讨论的内容。

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当它没有任何有缺陷的特征值时才可对角线化。

证明

我们已经证明了“仅当”部分 因为我们已经在上面显示了，如果 A 是对角线的，那么它拥有 K 线性独立的特征向量，这意味着没有特征值是 有缺陷的。 “如果”部分很简单。如果 A 拥有 K 线性独立的特征向量，那么我们可以将它们邻接形成 全秩矩阵 $ P $ 我们可以形成一个对角矩阵 $ D $ 其对角线元素等于相应的特征值。然后，通过 特征值和特征向量的定义 [eq12]和 对角线化 A 如下。

请记住，如果...的所有特征值 A 是截然不同的 A 没有任何有缺陷的特征值。因此，拥有独特的 特征值是对角化的充分条件。

如何对角矩阵

假设我们得到一个矩阵 A 并告诉我们将其对角线化。我们该怎么做呢？

先前的证明中已经给出了答案，但这是值得的 重复。

我们提供答案作为对角化的秘诀：

  1. 计算的特征值 A.

  2. 检查特征值是否没有缺陷。如果任何特征值有缺陷，则 矩阵不能对角线化。否则，您可以转到下一步。

  3. 对于每个特征值，可以找到尽可能多的线性独立特征向量 （它们的数量等于特征值的几何多重性）。

  4. 邻接所有特征向量以形成一个满秩矩阵 $ P $.

  5. 建立对角矩阵 $ D $ 其对角线元素是的特征值 A.

  6. 对角化完成： $ D = P ^ {-1} AP $.

重要的是，我们在构建时需要遵循相同的顺序 $ P $ 和 $ D $: 如果某个特征值已经放在 k-th 列和 k-th 排 $ D $, 然后必须将其对应的特征向量放在 k-th 的列 $ P $.

例 定义 的 2元2元 矩阵[eq13]的 特征值 $ lambda $ 解决特征 方程[eq14]让 我们计算 行列式[eq15]从而， 有两个特征值 $ lambda _ {1} =-1 $ 和 $ lambda _ {2} = 2 $. 没有重复的特征值，因此没有缺陷 特征值。因此， A 可对角线化。特征向量 $ x_ {1} $ 关联到 $ lambda _ {1} $ 解决[eq16]以来[eq17]我们 可以选择 例，[eq18]此外，[eq19]所以 我们可以选择作为与 $ lambda _ {2} $, 以下 向量:[eq20]因此， 特征值的对角矩阵 是[eq21]和 特征向量的可逆矩阵 是[eq22]

对角化不是唯一的

提供矩阵 A 可以对角线化，没有独特的方法可以对角线化。

例如，我们可以更改特征值在序列上的放置顺序 对角线 $ D $. 或者我们可以替换一列 $ P $ 具有自身的标量倍数（这是与 相同的特征值）。如果存在重复的特征值，我们可以选择一个 其基础不同 本征空间.

例 例如，在前面的示例中，我们可以 定义的[eq23]和[eq24]另一个 可能性本来是 选择[eq25]和[eq26]

最重要的应用

对角化的最重要应用是矩阵的计算 权力。

让 $ D $ 对角线 矩阵：[eq27]

然后它 n-th 通过将对角线元素提高到 n-th 功率：[eq28]

如果矩阵 A 是对角线的 [eq29]和[eq30]

因此，我们要做的所有工作 A 到 n-th 力量是1）对角化 A （如果可能的话）; 2）提高对角矩阵 $ D $ 到 n-th 力量，这很容易做到； 3）预乘矩阵 $ D ^ {下一页{}} $ 因此获得 $ P $ 然后乘以 $ P ^ {-1} $.

逆矩阵

一旦矩阵对角线化，就可以直接计算出 反（如果存在）。

实际上，我们有 那[eq31]哪里 [eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设一个矩阵 A 可以对角线化为 [eq33]哪里[eq34] [eq35]假设 那 $ a ^ {2} + b ^ {2} = 1 $. 节目 那[eq36]和 计算 $ A ^ {4} $.

解

首先，让我们检查一下 $ P ^ {-1} = P ^ {op} $:[eq37]我们 可以轻松计算出 A:[eq38]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "矩阵对角化", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-diagonalization.

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