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矩阵对角化

通过 博士

矩阵对角化是执行相似性的过程 对矩阵进行变换以恢复相似的矩阵 对角线(即所有非对角线项目均为零)。

一旦将矩阵对角线化,就很容易将其升为整数 权力。

并非所有矩阵都是对角线的。对角化矩阵是那些 没有缺陷的特征值(即几何特征 多重性小于其代数多重性)。

目录

相似变换

记住两个平方矩阵 A$ B $ 据说是 类似 如果有 存在一个 可逆的 $ Kimes K $ 矩阵 $ P $ 这样 那[eq1]

如果两个矩阵相似,则它们具有相同的秩,迹线,行列式 和特征值。不仅两个相似的矩阵具有相同的特征值,而且 它们的特征值相同 代数的 和几何多重性.

对角矩阵

现在我们可以提供对角矩阵的定义。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。我们说 A 当且仅当它类似于对角矩阵时才可对角化。

换句话说,当 A 是对角线的,那么存在一个可逆矩阵 $ P $ 这样 那[eq2]哪里 $ D $ 是对角矩阵,即非对角项为零的矩阵。

定义 的 2元2元 矩阵[eq3][eq4]的 倒数 $ P $[eq5]的 相似度转换 [eq6]给 对角矩阵 $ D $ 结果是。因此, A 可对角线化。

与特征值和特征向量的关系

我们可以写对角线化 $ D = P ^ {-1} AP $[eq7]

k-th 的列 $ AP $ 是平等的 至[eq8]哪里 $ P_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 $ P $ (如果您感到困惑,请修改 矩阵 乘法和线性组合)。

k-th 的列 $ PD $ 等于 [eq9]哪里 $ D_ {ullet k} $ 是个 k-th 的列 $ D $.

反过来, $ PD_ {ullet k} $ 是以下各列的线性组合 $ P $ 取自向量的系数 $ D_ {ullet k} $.

以来 $ D $ 是对角线,唯一的非零项 $ D_ {ullet k} $$ D_ {kk} $. 因此,[eq10]

因此,我们得出了结论 那[eq11]

后者的平等意味着 $ P_ {ullet k} $ 是一个 特征向量A 与特征值相关 $ D_ {kk} $.

这是真的 $ k = 1,ldots,K $. 因此, $ D $ 是...的特征值 A 和的列 $ P $ 是相应的特征向量。

矩阵 $ P $ 在对角线化中使用的必须是可逆的。因此,其列必须为 线性独立. 换句话说,必须有 K 的线性独立特征向量 A.

在关于 线性的 特征向量的独立性,我们已经讨论了以下事实: $ Kimes K $ 矩阵,称为有缺陷矩阵,无法找到 K 线性独立的特征向量矩阵至少有一个缺陷 一个重复特征值,其几何多重性严格小于其 代数多重性(称为有缺陷的特征值)。

因此,不能将有缺陷的矩阵对角线化。

下一个命题总结了到目前为止我们已经讨论的内容。

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当它没有任何有缺陷的特征值时才可对角线化。

证明

我们已经证明了“仅当”部分 因为我们已经在上面显示了,如果 A 是对角线的,那么它拥有 K 线性独立的特征向量,这意味着没有特征值是 有缺陷的。 “如果”部分很简单。如果 A 拥有 K 线性独立的特征向量,那么我们可以将它们邻接形成 全秩矩阵 $ P $ 我们可以形成一个对角矩阵 $ D $ 其对角线元素等于相应的特征值。然后,通过 特征值和特征向量的定义 [eq12]和 对角线化 A 如下。

请记住,如果...的所有特征值 A 是截然不同的 A 没有任何有缺陷的特征值。因此,拥有独特的 特征值是对角化的充分条件。

如何对角矩阵

假设我们得到一个矩阵 A 并告诉我们将其对角线化。我们该怎么做呢?

先前的证明中已经给出了答案,但这是值得的 重复。

我们提供答案作为对角化的秘诀:

  1. 计算的特征值 A.

  2. 检查特征值是否没有缺陷。如果任何特征值有缺陷,则 矩阵不能对角线化。否则,您可以转到下一步。

  3. 对于每个特征值,可以找到尽可能多的线性独立特征向量 (它们的数量等于特征值的几何多重性)。

  4. 邻接所有特征向量以形成一个满秩矩阵 $ P $.

  5. 建立对角矩阵 $ D $ 其对角线元素是的特征值 A.

  6. 对角化完成: $ D = P ^ {-1} AP $.

重要的是,我们在构建时需要遵循相同的顺序 $ P $$ D $: 如果某个特征值已经放在 k-th 列和 k-th 排 $ D $, 然后必须将其对应的特征向量放在 k-th 的列 $ P $.

定义 的 2元2元 矩阵[eq13]的 特征值 $ lambda $ 解决特征 方程[eq14]让 我们计算 行列式[eq15]从而, 有两个特征值 $ lambda _ {1} =-1 $$ lambda _ {2} = 2 $. 没有重复的特征值,因此没有缺陷 特征值。因此, A 可对角线化。特征向量 $ x_ {1} $ 关联到 $ lambda _ {1} $ 解决[eq16]以来[eq17]我们 可以选择 例,[eq18]此外,[eq19]所以 我们可以选择作为与 $ lambda _ {2} $, 以下 向量:[eq20]因此, 特征值的对角矩阵 是[eq21]和 特征向量的可逆矩阵 是[eq22]

对角化不是唯一的

提供矩阵 A 可以对角线化,没有独特的方法可以对角线化。

例如,我们可以更改特征值在序列上的放置顺序 对角线 $ D $. 或者我们可以替换一列 $ P $ 具有自身的标量倍数(这是与 相同的特征值)。如果存在重复的特征值,我们可以选择一个 其基础不同 本征空间.

例如,在前面的示例中,我们可以 定义的[eq23][eq24]另一个 可能性本来是 选择[eq25][eq26]

最重要的应用

对角化的最重要应用是矩阵的计算 权力。

$ D $ 对角线 矩阵:[eq27]

然后它 n-th 通过将对角线元素提高到 n-th 功率:[eq28]

如果矩阵 A 是对角线的 [eq29][eq30]

因此,我们要做的所有工作 An-th 力量是1)对角化 A (如果可能的话); 2)提高对角矩阵 $ D $n-th 力量,这很容易做到; 3)预乘矩阵 $ D ^ {下一页{}} $ 因此获得 $ P $ 然后乘以 $ P ^ {-1} $.

逆矩阵

一旦矩阵对角线化,就可以直接计算出 反(如果存在)。

实际上,我们有 那[eq31]哪里 [eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设一个矩阵 A 可以对角线化为 [eq33]哪里[eq34] [eq35]假设 那 $ a ^ {2} + b ^ {2} = 1 $. 节目 那[eq36]和 计算 $ A ^ {4} $.

首先,让我们检查一下 $ P ^ {-1} = P ^ {op} $:[eq37]我们 可以轻松计算出 A:[eq38]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵对角化", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-diagonalization.

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