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矩阵求逆引理

通过 博士

矩阵求逆引理是极为有用的公式,可用于 有效地计算矩阵中的简单变化如何影响矩阵 .

目录

排名第一更新

可以对矩阵执行的最简单的更改之一就是所谓的 排名第一。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $ u $$ v $Kx1 列向量。然后, 转型[eq1]是 称为第一级更新 A.

之所以将该转换称为第一名,是因为 $ Kimes K $ 矩阵 $ uv ^ {op} $ 等于 1 (因为一个向量, $ u $, 跨度 的所有列 $ uv ^ {op} $)。

对身份矩阵进行排名更新

我们提出的第一个反转引理是关于身份的秩更新 矩阵。

主张I 成为 $ Kimes K $ 单位矩阵和 $ u $$ v $Kx1 列向量。的 矩阵[eq2]是 当且仅当可逆 如果[eq3]什么时候 它是可逆的,它是逆的 是[eq4]

证明

让我们首先证明“如果”部分。的 假设 [eq3]确保 那 比[eq6]和 建议 逆[eq7]是 定义明确的。此外,后者满足逆(a 矩阵 乘以 它的 逆给出身份 矩阵):[eq8]让 我们现在证明“仅当”部分。假设 [eq9]要么[eq10]的 后一个平等意味着 $u
eq 0$. 后乘 矩阵[eq11]通过 $ u $:[eq12]从而, 的 线性的 列的组合$ I + uv ^ {op} $ 取自非零向量的系数 $ u $ 给出零向量。结果, $ I + uv ^ {op} $ 不是 线性地 独立,矩阵不是 全职,因此不是 可逆的。

注意尺寸 矩阵产品 涉及 在此反引理中:

谢尔曼·莫里森公式

下一个命题中显示的Sherman-Morrison公式概括了 通过考虑对通用的秩更新来进行先前的反演引理 可逆矩阵 A (而不是仅考虑对身份矩阵的第一更新)。

主张A 成为 $ Kimes K $ 可逆矩阵和 $ u $$ v $Kx1 列向量。排名第一 更新[eq15]是 当且仅当可逆 如果[eq16]什么时候 它是可逆的,它是逆的 是[eq17]

证明

注意 那[eq18]在 换句话说,我们可以写一个更新到 A 作为 A 以及对身份矩阵的排名第一更新(该更新是通过 列向量 $ A ^ {-1} u $$ v $)。 因此,按标准结果 的 乘积的倒数,我们有 [eq19]是 当且仅当乘积的两个因素可逆时, 是的[eq20][eq21]是 可逆的。但 A 通过假设可逆,并且秩可逆的条件 上一个推导了单位矩阵的更新 命题:仅当且仅当排名更新是可逆的 如果[eq22]什么时候 它是可逆的,它是逆的 是[eq23]如 a 后果,[eq24]

Sherman-Morrison公式非常有用,不仅因为排名第一更新 可以在矩阵代数的许多定理中找到,也因为它可以是 计算逆的计算有效方式 [eq25] 什么时候 $ A ^ {-1} $ 已经计算了。所需的算术运算数 计算 [eq26] 从头开始与成正比 $ K ^ {3} $, 而用来更新反函数所需的操作数 谢尔曼·莫里森公式与 $ K ^ {2} $. 即使在后一种情况下,比例常数也大于 前者,当 K 足够大,更新的计算成本就低得多。

伍德伯里矩阵恒等式

另一个有用的矩阵求逆引理是伍德伯里矩阵的名称 身份,在以下命题中提出。

主张A 成为 $ Kimes K $ 可逆矩阵 美元V$ Kimes L $ 矩阵,以及 $ C $ 一个 $石灰L $ 可逆矩阵。如果 [eq27]是 可逆的 [eq28]是 可逆及其逆 是[eq29]

证明

条件 那[eq30]存在 确保提出的逆定义明确。我们需要检查 提出的逆满足逆定义(矩阵 乘以 它的逆 给出身份 矩阵):[eq31]

请注意 $L=1$$C=1$, 伍德伯里矩阵恒等式与谢尔曼·莫里森公式一致。 因此,后者是前者的特例。

值得了解此反转引理的原因与我们类似 对谢尔曼·莫里森公式进行了解释:该公式通常用于矩阵 代数,它可以节省计算时间 $ A ^ {-1} $ 已经知道(并且 $ L $ 明显小于 K)。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵求逆引理", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-inversion-lemmas.

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