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真人在线斗地主乘法

通过 博士

本讲座介绍真人在线斗地主乘法,这是基本的代数之一 可以执行的操作 真人在线斗地主.

目录

点积

在定义真人在线斗地主乘法之前,我们需要介绍点的概念 两个向量的乘积。

定义A 成为 $ 1imes K $ 行向量和 $ B $ a Kx1 列向量。用以下方式表示他们的条目 [eq1][eq2], 分别。然后,他们的 点积 $ AB $[eq3]

请注意,在以上定义中,产品的顺序很重要,即 $ AB $ 与...不同 $ BA $, 因为第一个向量 (A) 需要是一个行向量,第二个 ($ B $) 必须是列向量。此外,仅在以下情况下定义点积 A$ B $ 条目数相同 (K)。

A 成为 $ 1imes 3 $ 向量定义 通过[eq4]$ B $ a $ 3imes 1 $ 向量定义 通过[eq5]其 点积 $ AB $[eq6]

真人在线斗地主产品

我们现在准备定义真人在线斗地主乘积。

定义A 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主和 $ B $ a $酸橙M $ 真人在线斗地主。然后,他们的 产品 $ AB $ 是一个 $ Kimes M $ 其真人在线斗地主 $ left(k,m
权)$-th 项等于 k-th 排 A$ m $-th 的列 $ B $, 对于 $ 1leq kleq K $$ 1leq mleq M $.

换句话说, $ left(k,m
权)$-th 进入 $ AB $[eq7]

请注意,产品的顺序很重要,即 $ AB $ 与...不同 $ BA $. 而且,列数 A 需要等于的行数 $ B $ (在这种情况下,两个真人在线斗地主被称为 合适的 对于乘法 $ AB $)。

下图总结了真人在线斗地主所涉及的维度 乘法:[eq8]

定义 2元3元 真人在线斗地主[eq9]和 的 3美金2美金 真人在线斗地主 [eq10]他们 符合乘法 $ AB $ 因为的列数 A 等于的行数 $ B $. 真人在线斗地主尺寸 $ AB $2元2元. 产品 是[eq11]哪里, 例如, $ left(2,1
权)$-th 进入 $ AB $ 从第二行的点积获得 A 与第一列 $ B $:[eq12]

动机

为什么用这种方式定义真人在线斗地主乘法?有很多可能 这个问题的答案,但是最简单的问题与 获得线性方程组的简单真人在线斗地主表示。的 下一个示例显示了如何。

考虑以下两个方程组 未知数:[eq13]这个 可以真人在线斗地主形式表示 如 [eq14]哪里 系数真人在线斗地主 是[eq15]的 未知向量 是[eq16]和 常数向量 是[eq17]您 可以轻松地检查写方程组的两种方式是 通过执行真人在线斗地主等效 乘法[eq18]

以上述方式定义真人在线斗地主乘法的另一个原因 是它允许轻松处理输入输出系统,其中给定 输出可以从固定的输入组合中获得。

一个工厂可以生产两种商品,分别表示为 $ O_ {1} $$ O_ {2} $, 使用两个输入的不同组合, $ I_ {1} $$ I_ {2} $. 尤其是, $2$ 的单位 $ I_ {1} $1 的单位 $ I_ {2} $ 需要产生一个单位 $ O_ {1} $, 和 1 的单位 $ I_ {1} $$3$ 的单位 $ I_ {2} $ 需要产生一个单位 $ O_ {2} $. 该信息可以通过输入输出进行汇总 真人在线斗地主[eq19]哪里 两行对应于两个输出,两列对应于 两个输入。每个单位 $ I_ {1} $ 费用 $2$ 美元,以及每个 $ I_ {2} $ 费用 1 美元。可以通过以下向量来概括此信息 价格[eq20]在 为了找到产生两个输出的成本,只需执行 以下真人在线斗地主 乘法[eq21]所以, 两个输出的生产成本为 $5$ 美元。

真人在线斗地主乘法的性质

正如我们已经说过的,与实数乘法不同,真人在线斗地主 乘法不具有可交换性,即 $ AB $ 与...不同 $ BA $. 但是,通过实数相乘获得的一些属性是 也喜欢真人在线斗地主乘法。

命题(分配 属性) 真人在线斗地主乘法相对于真人在线斗地主加法是分布式的,即 是的[eq22]对于 任何真人在线斗地主 A, $ B $$ C $ 这样就有意义地定义了上述乘法和加法。

证明

A$ B $$ Kimes L $ 真人在线斗地主,以及 $ C $ a $酸橙M $ 真人在线斗地主。让我们从 产品[eq23]表示 通用 $ left(k,l
权)$-th 真人在线斗地主元素 $ A + B $ 通过 [eq24], 和一个通用 $ left(k,m
权)$-th 产品之间的要素 $ left(A + B
权)$$ C $ 通过 [eq25]. 根据的定义 真人在线斗地主加法 和 真人在线斗地主乘法,我们有 那[eq26]哪里: 逐步 $ rame {A} $$ rame {C} $ 我们使用了真人在线斗地主乘法的定义;在步 $ rame {B} $ 我们使用了真人在线斗地主加法的定义。这适用于任何 $ left(k,m
权)$-th 真人在线斗地主的元素。因此,我们有 那[eq27]

用几乎相同的论点可以证明 那[eq28]

命题(联想 属性) 真人在线斗地主乘法是关联的,即 是的[eq29]对于 任何真人在线斗地主 A, $ B $$ C $ 这样就有意义地定义了上述乘法。

证明

假设 A 有尺寸 $ Kimes L $, $ B $ 有尺寸 $酸橙M $, 和 $ C $ 有尺寸 $ Mimes N $. 关联性之所以成立,是因为通用 $ left(k,n
权)$-th 真人在线斗地主元素 $ Aleft(BC
权)$[eq30]哪里 我们已经使用了产品之间的定义 A$ BC $ (步 $ rame {A} $), 之间 $ B $$ C $ (步 $ rame {B} $), 之间 A$ B $ (步 $ rame {C} $), 之间 $ AB $$ C $ (步 $ rame {D} $)。

其他特性

此处列出了基质产品的其他属性。

转置产品

主张A 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主和 $ B $ a $酸橙M $ 真人在线斗地主。让 $ A ^ {op} $$ B ^ {op} $ 是他们的转置。 然后,[eq31]

证明

$ left(k,m
权)$-th 进入 $ AB $ 是...的点积 k-th 排 A$ m $-th 的列 $ B $:[eq32]通过 真人在线斗地主转置的定义,后者等于 $ left(m,k
权)$-th 进入 [eq33]:[eq34]$ left(m,k
权)$-th 条目 $ B ^ {op} A ^ {op} $ 是...的点积 $ m $-th 排 $ B ^ {op} $k-th 的列 $ A ^ {op} $: [eq35]以来 的 $ m $-th 排 $ B ^ {op} $ 等于 $ m $-th 的列 $ B $, 和 k-th 的列 $ A ^ {op} $ 等于 k-th 排 A:[eq36]从而,[eq37]对于 任何 $ m $k. 因此,[eq38]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义一个 3美金3美金 真人在线斗地主[eq39]和 a 3美金2美金 真人在线斗地主[eq40]计算 产品 $ AB $.

涉及的尺寸 乘法总结如下 图表:[eq41]从而, $ AB $ 是一个 3美金2美金 这样每个真人在线斗地主 $ 1leq kleq 3 $$ 1leq mleq 2 $, 的 $ left(k,m
权)$-th 的元素 $ AB $ 等于之间的点积 k-th 排 A$ m $-th 排 $ B $: [eq42]

练习2

给定真人在线斗地主 A$ B $ 如上定义,计算乘积 $ BA $.

真人在线斗地主 A$ B $ 不适合乘法 $ BA $ 因为的列数 $ B $ 不等于的行数 $ A $. 因此,不能进行乘法。

练习3

定义一个 $ 2imes 1 $ 柱 向量[eq43]和 a $ 1imes 3 $ 行 向量[eq44]计算 产品 $ AB $.

涉及的尺寸 乘法总结如下 图表:[eq45]从而, $ AB $ 是一个 2元3元 真人在线斗地主。计算方法如下: [eq46]注意 每个元素 $ AB $ 是一行的乘积 A 与列 $ B $. 但是行 A 是标量,因为 A 是列向量,并且的列 $ B $ 也是标量,因为 $ B $ 是行向量。结果, $ B $ 作为两个标量的乘积获得。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主乘法", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-multiplication.

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