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矩阵乘法

经过 ,博士学位

本讲座引入了矩阵乘法,基本代数之一 可以执行的操作 matrices.

目录

点产品

在定义矩阵乘法之前,我们需要介绍DOT的概念 两种载体的产品。

定义 Let A be a $ 1 k $ row vector and $ b $ a Kx1 柱矢量。表示他们的参赛作品 [eq1] and by [eq2], 分别。然后,他们 点产品 $ ab $ is[eq3]

请注意,在上面的定义中,产品的顺序是 $ ab $ is not the same as $ ba $, 因为第一个矢量 (A) 需要是一排矢量,第二个 ($ b $) 需要是一列栏矢量。此外,仅当 A and $ b $ 有相同数量的条目 (K)。

例子 Let A be a $ 1次3美元 vector defined by[eq4]$ b $ a $ 3 $ 1 $ vector defined by[eq5]他们的 dot product $ ab $ is[eq6]

矩阵产品

我们现在准备定义矩阵产品。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ b $ a $ limes m $ matrix. Then, their 产品 $ ab $ is a $ kimes m $ matrix whose $ left(k,m
Ight)$ - 条目等于圆点产品之间 k - row of A and the $ m $. - column of $ b $, for $ 1Leq kleq k $ and $ 1Leq mleq m $.

In other words, the $ left(k,m
Ight)$ - entry of $ ab $ is[eq7]

请注意,产品的顺序是 $ ab $ is not the same as $ ba $. 此外,列的数量 A 需要等于行的数量 $ b $ (在这种情况下,据说两个矩阵是 适合 对于乘法 $ ab $)。

下一个图总结了矩阵中涉及的尺寸 multiplication:[eq8]

例子 Define the $ 2倍3美元 matrix[eq9]和 the $ 3 $ 2 $ matrix [eq10]他们 对乘法来说是相互作用的 $ ab $ 因为列的数量 A 等于行数 $ b $. 矩阵的维度 $ ab $ is $ 2 $ 2 $. The product is[eq11]在哪里, for example, the $ left(2,1
Ight)$ - entry of $ ab $ 已经从第二排的点产品获得 A 与第一列 $ b $:[eq12]

动机

为什么以这种方式定义矩阵乘法?有很多可能 这个问题的答案,但最简单的一个人必须与之相关 获取线性方程系统的简单矩阵表示。这 下一个例子显示了。

例子 考虑以下两个方程的以下系统 unknowns:[eq13]这 可以以矩阵形式表示 as[eq14]在哪里 系数矩阵 is[eq15]这 vector of unknowns is[eq16]和 常量矢量 is[eq17]你 可以轻松检查两种写入方程式的方式 通过执行矩阵等同 multiplication[eq18]

矩阵乘法的另一个原因以上面所示的方式定义 是它允许容易地处理给定的输入输出系统 输出可以从输入的固定输入组合获得。

例子 工厂可以生产两种商品,表示 $ o_ {1} $ and $ o_ {2} $, 使用两个输入的不同组合, $ i_ {1} $ and $ i_ {2} $. In particular, $2$ units of $ i_ {1} $ and 1 unit of $ i_ {2} $ 需要生产一个单位 $ o_ {1} $, and 1 unit of $ i_ {1} $ and $3$ units of $ i_ {2} $ 需要生产一个单位 $ o_ {2} $. 此信息可以通过输入输出来概括 matrix[eq19]在哪里 两行对应于两个输出,两列对应于 两个输入。每个单位 $ i_ {1} $ costs $2$ 美元和每个单位 $ i_ {2} $ costs 1 美元。该信息可以通过矢量概述 prices[eq20]在 为了找到制作两个输出的成本,它足以表演 the following matrix multiplication[eq21]所以, 两个产出都有生产成本 $5$ dollars.

矩阵乘法的属性

正如我们已经说过的那样,与实数的乘法不同,矩阵 乘法不享受换向财产,即 $ ab $ is not the same as $ ba $. 但是,通过乘法倍数享有的一些属性是 也喜欢矩阵乘法。

命题(分配器) property) 矩阵乘法是关于矩阵的分布,即 is,[eq22]为了 any matrices A, $ b $ and $ C $ 这样的即上述乘法和添加被有意义地定义。

证明

让我们从 product[eq23]A and $ b $ be $ kimes l $ matrices, and $ C $ an $ limes m $ 矩阵。表示一般 $ left(k,l
Ight)$ - 矩阵的元素 $ a + b $ by [eq24], and a generic $ left(k,m
Ight)$ - 产品之间的元素 $ left(a + b
Ight)$ and $ C $ by [eq25]. 通过定义 矩阵 addition and 矩阵乘法,我们有 that[eq26]在哪里: in steps $ rame {a} $ and $ rame {c} $ 我们使用了矩阵乘法的定义;在步骤中 $ rame {b} $ 我们使用了矩阵的定义。这适用于任何 $ left(k,m
Ight)$ - 矩阵的元素。因此,我们有 that[eq27]

有几乎相同的论据,可以证明 that[eq28]

命题(协会 property) 矩阵乘法是关联的,即 is,[eq29]为了 any matrices A, $ b $ and $ C $ 这样有意义地定义了上述乘法。

证明

认为 A has dimension $ kimes l $, $ b $ has dimension $ limes m $, and $ C $ has dimension $ mimes n $. 相关性因为泛型而持有 $ left(k,n
Ight)$ - 矩阵的元素 $ Aleft(BC
Ight)$ is[eq30]在哪里 我们使用了产品的定义 A and $ BC $ (step $ rame {a} $), between $ b $ and $ C $ (step $ rame {b} $), between A and $ b $ (step $ rame {c} $), between $ ab $ and $ C $ (step $ rame {d} $)。

其他属性

这里列出了矩阵产品的其他属性。

划分产品

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix and $ b $ a $ limes m $ matrix. Let $ a ^ {op} $ and $ b ^ {op} $ be their transposes. Then,[eq31]

证明

$ left(k,m
Ight)$ - entry of $ ab $ 是圆点产品 k - row of A and the $ m $. - column of $ b $:[eq32]经过 矩阵转置的定义,后者等于 $ left(m,k
Ight)$ - entry of [eq33]:[eq34]$ left(m,k
Ight)$ - entry $ b ^ {op} a ^ {op} $ 是圆点产品 $ m $. - row of $ b ^ {op} $ and the k - column of $ a ^ {op} $: [eq35]自从 the $ m $. - row of $ b ^ {op} $ is equal to the $ m $. - column of $ b $, and the k - column of $ a ^ {op} $ is equal to the k - row of A, we have[eq36]因此,[eq37]为了 any $ m $. and k. Therefore,[eq38]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define a 3美元3美元 matrix[eq39]和 a $ 3 $ 2 $ matrix[eq40]计算 the product $ ab $.

解决方案

涉及的尺寸 乘法总结如下 diagram:[eq41]因此, $ ab $ is a $ 3 $ 2 $ 矩阵使每个 $ 1Leq kleq 3 $ and $ 1Leq Mleq 2 $, the $ left(k,m
Ight)$ - element of $ ab $ 等于圆点产品 k - row of A and the $ m $. - row of $ b $: [eq42]

练习2

Given the matrices A and $ b $ 在上面定义,计算产品 $ ba $.

解决方案

矩阵 A and $ b $ 不适合乘法 $ ba $ 因为列的数量 $ b $ 不等于行的数量 $ a $. 因此,不能进行乘法。

练习3.

Define a $ 2倍1美元 column vector[eq43]和 a $ 1次3美元 row vector[eq44]计算 the product $ ab $.

解决方案

涉及的尺寸 乘法总结如下 diagram:[eq45]因此, $ ab $ is a $ 2倍3美元 矩阵。它计算如下: [eq46]笔记 that each element of $ ab $ 是一排的产物 A with a column of $ b $. But the rows of A are scalars, because A 是一个列向量,以及列 $ b $ 也是标量,因为 $ b $ 是一排矢量。因此,每个条目 $ ab $ 获得为两个标量的产物。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵乘法", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-multiplication.

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