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矩阵乘法和线性组合

通过 博士

两个的乘积 矩阵 可以看作是服用的结果 线性组合 他们的行和 列。这种解释矩阵乘法的方法通常有助于 了解矩阵代数的重要结果。

目录

术语

考虑两个矩阵 A$ B $ 和他们的产品 $ AB $. 请记住,矩阵乘法不是可交换的,因此 $ AB $ 与...不同 $ BA $.

当我们进行乘法时 [eq1]我们 比如说:

或者,我们说:

用向量对矩阵进行后乘

让我们从矩阵与向量后乘的情况开始。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ b $ a $酸橙1 $ 向量。 然后[eq2]哪里 $ A_ {ullet l} $ 表示 $ l $-th 的列 A.

证明

产品 $ Ab $ 是一个 Kx1 向量。通过应用矩阵乘积的定义, k-th 进入 $ Ab $ 被发现 是[eq3]这个 也是 k-th 线性组合的输入 [eq4]

换句话说,对矩阵进行后乘 A 通过矢量 $ b $ 等同于对的各列进行线性组合 A, 线性组合的系数是 $ b $.

[eq5][eq6]然后, 两个矩阵相乘的公式 给[eq7]通过 计算相同的乘积作为列的线性组合 A, 我们 得到[eq8]

将矩阵乘以向量

现在我们讨论矩阵预先乘以向量的情况。

主张$ b $ 成为 $ 1imes K $ 向量和 A a $ Kimes L $ 矩阵。 然后[eq9]哪里 $ A_ {k ullet} $ 表示 k-th 排 A.

证明

产品 $ bA $ 是一个 $ 1imes L $ 向量。通过应用矩阵乘积的定义,我们得到 $ l $-th 的元素 $ bA $[eq10]哪一个 等于 $ l $-th 进入 [eq11]

因此,预乘矩阵 A 通过矢量 $ b $ 与将行的线性组合相同 A. 组合的系数是 $ b $.

[eq12][eq13]然后, 两个矩阵相乘的公式 给[eq14]通过 计算相同的乘积作为行的线性组合 A, 我们 获得[eq15]

将一个矩阵乘以另一个矩阵

现在让我们解决一个更一般的情况,即矩阵被后乘 通过另一个矩阵。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ a $酸橙M $ 向量。然后, $ m $-th 产品栏 $ AB $[eq16]哪里 $ A_ {ullet l} $ 表示 $ l $-th 的列 A.

证明

通过应用矩阵的定义 乘法 $ left(k,m
权)$-th 进入 $ AB $ 被发现 是[eq17]这个 也是 k-th 列向量的输入 [eq18]

所以 $ m $-th 产品栏 $ AB $ 是以下各列的线性组合 A, 取自 $ m $-th 的列 $ B $.

[eq19][eq20]然后, 两个矩阵相乘的公式 给[eq21]通过 计算的第一列 $ AB $ 作为以下各列的线性组合 A, 我们 得到[eq22]的 第二列可以计算 如 [eq23]

用另一个矩阵预乘一个矩阵

在上一节中, $ AB $ 被解释为以下各列的线性组合 A. 现在,我们解释 $ AB $ 作为行的线性组合 $ B $.

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ a $酸橙M $ 向量。然后, k-th 产品行 $ AB $[eq24]哪里 $ B_ {l ullet} $ 表示 $ l $-th 排 $ B $.

证明

通过应用矩阵的定义 乘法 $ left(k,m
权)$-th 进入 $ AB $ 被发现 是[eq25]这个 也是 $ m $-th 行向量的输入 [eq26]

所以 k-th 产品行 $ AB $ 是的行的线性组合 $ B $, 取自 k-th 排 A.

考虑两个矩阵 [eq27][eq28]然后, 两个矩阵相乘的公式 给[eq29]通过 计算的第一行 $ AB $ 作为行的线性组合 $ B $, 我们 获得[eq30]的 第二行可以计算 如 [eq31]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵乘法和线性组合", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-multiplication-and-linear-combinations.

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