两个有限维向量之间的线性映射(或线性变换) 空格总是可以由一个矩阵表示,称为线性矩阵 地图。如果我们将地图应用于第一个向量空间的元素,则我们 在第二个空间中获得一个变换后的元素。同样,当我们乘 通过起始元素的坐标矢量生成的地图矩阵, 获取变换后的元素的坐标矢量。
为了完全理解本讲座,我们需要记住两件事。
首先,给出两个 向量空间
和
,
一个功能
据说是 线性图 如果和
只要
如果
对于
任何两个向量
和任何两个标量
和
.
其次,给定一个 基础
对于
和一个向量
,
的 坐标向量 的
是包含唯一系数集的向量
出现在
作为一个 线性组合 的
的
基础:
我们将要写的坐标向量
如
请注意,只有当
的
具有有限数量的元素,即
是有限的。我们总是会假设情况确实如此。
现在我们准备定义线性图的矩阵。
定义
让
和
是两个向量空间。让
作为...的基础
和
的基础
.
对于任何
和任何
,
用...表示
和
其
和
相对于的两个基的坐标向量
和
分别。让
是线性图。一个
矩阵
这样,对于任何
,
是
称为线性图的矩阵
关于基础
和
.
尽管应该已经很清楚了,但我们强调指出,转换后的向量
属于
及其坐标向量
是
向量。此外,
是个 矩阵乘积 的
和
.
例
考虑空间
一阶多项式的
形成
和
空间
的二阶多项式
形成
对于
简洁起见,我们经常要表示一个多项式
通过
,
省略论点
.
我们已经知道 的空间
多项式是向量空间。而且,如果我们定义
然后
是基础
和
是基础
.
的坐标向量
和
以上关于这两个基础
是
让
是转换任何多项式的映射
变成另一个等于的多项式
,
那是,
采取
两个标量
和
,
多项式
上面定义的和另一个多项式
定义的
如
然后,
如
结果
是线性映射。的效果
在坐标上是要映射
向量
进入
向量
这个
可以通过
定义
和
执行矩阵
乘法
因此,
是线性图的矩阵
关于两个两个基地
和
.
我们仍然必须确定所有线性图是否都有关联的矩阵。 事实证明,当且仅当地图具有一个时,它才是线性的。
主张
让
和
是两个 线性空间。让
作为...的基础
和
的基础
.
对于任何
和任何
,
用...表示
和
其
和
相对于的两个基的坐标向量
和
分别。让
成为地图。然后,
当且仅当存在一个
矩阵
这样,对于任何
,
假设这样一个矩阵
存在。然后,对于任何两个向量
和任何两个标量
和
,
我们有
哪里:
在步
我们已经使用了
加法器和标量
坐标向量的乘法;在步
我们已经应用了矩阵乘法的分布特性。我们有
只是证明如果
存在,则映射
是线性的。现在,我们需要证明相反的语句(“仅当”部分)。
让
是线性的。任何元素
的基础
被转化
进入
可以写为基础的线性组合的向量
如
如下:
哪里
标量
是
线性组合的系数。注意系数
是独一无二的
独特性
表示依据。表示为
的
由所有系数组成的矩阵
,
以这样的方式
(索引为
和
分别)对应于基础的不同元素
和
分别。现在,随便
及其相关的坐标
向量
哪一个
意思是
可以写为基础的线性组合
如
如下:
以来
是线性图,我们有
那
从而,
的坐标向量
是
我们
刚刚证明,如果
是线性图,则存在该图的矩阵
.
这说明了命题的“仅当”部分,并得出结论。
证明。
我们强烈建议您阅读以前的证明,因为它具有建设性
显示如何实际构建矩阵的证明
通过使用基地
和
.
经过证明之后,我们可以看到矩阵
是
换句话说,
-th
的列
是变换的坐标向量
的
-th
基向量
.
后者是一个值得记住的事实。
重要的唯一性结果如下。
主张 线性图相对于两个给定基的矩阵是唯一的。
我们已经在以下方面证明了独特性
当我们注意到矩阵的项时,上面的等价证明
通过根据基础的表示的唯一性来唯一。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是二阶空间
多项式
与
基础
.
让
是四阶空间
多项式
与
基础
.
定义线性映射
转换任何多项式
变成另一个等于的多项式
找出矩阵
.
多项式的坐标向量
是
的
多项式
转化为
如下:
从而,
转换的坐标向量
是
哪里
是
线性图的矩阵
关于两个基地。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性图矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-of-a-linear-map.