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线性图矩阵

通过 博士

两个有限维向量之间的线性映射(或线性变换) 空格总是可以由一个矩阵表示,称为线性矩阵 地图。如果我们将地图应用于第一个向量空间的元素,则我们 在第二个空间中获得一个变换后的元素。同样,当我们乘 通过起始元素的坐标矢量生成的地图矩阵, 获取变换后的元素的坐标矢量。

目录

介绍

为了完全理解本讲座,我们需要记住两件事。

首先,给出两个 向量空间 $ S $$ T $, 一个功能 $ f:S
ightarrow T $ 据说是 线性图 如果和 只要 如果[eq1]对于 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $.

其次,给定一个 基础 [eq2] 对于 $ S $ 和一个向量 $罪S $, 的 坐标向量$ s $ 是包含唯一系数集的向量 [eq3] 出现在 $ s $ 作为一个 线性组合 的 的 基础:[eq4]

我们将要写的坐标向量 $ s $[eq5]

请注意,只有当 的 $ S $ 具有有限数量的元素,即 $ S $ 是有限的。我们总是会假设情况确实如此。

定义

现在我们准备定义线性图的矩阵。

定义$ S $$ T $ 是两个向量空间。让 [eq6] 作为...的基础 $ S $[eq7] 的基础 $ T $. 对于任何 $罪S $ 和任何 $锡T $, 用...表示 [eq8][eq9]Kx1$酸橙1 $ 相对于的两个基的坐标向量 $ S $$ T $ 分别。让 $ f:S
ightarrow T $ 是线性图。一个 $石灰K $ 矩阵 [eq10] 这样,对于任何 $罪S $,[eq11]是 称为线性图的矩阵 $ f $ 关于基础 $ B $$ C $.

尽管应该已经很清楚了,但我们强调指出,转换后的向量 $ fleft(s
权)$ 属于 $ T $ 及其坐标向量 [eq12]$酸橙1 $ 向量。此外, [eq13] 是个 矩阵乘积[eq14][eq15].

考虑空间 $ P $ 一阶多项式的 形成[eq16]和 空间 $ Q $ 的二阶多项式 形成[eq17]对于 简洁起见,我们经常要表示一个多项式 $ pleft(z
权)$ 通过 p, 省略论点 $ z $. 我们已经知道 的空间 多项式是向量空间。而且,如果我们定义 [eq18]然后 [eq19] 是基础 $ P $[eq20] 是基础 $ Q $. 的坐标向量 p$ q $ 以上关于这两个基础 是[eq21]$ f:P
ightarrow Q $ 是转换任何多项式的映射 $ pleft(z
权)$ 变成另一个等于的多项式 [eq22], 那是, [eq23]采取 两个标量 a_1a_2, 多项式 $ pin P $ 上面定义的和另一个多项式 $ pi in P $ 定义的 如 [eq24]然后,[eq25]如 结果 $ f $ 是线性映射。的效果 $ f $ 在坐标上是要映射 向量[eq26]进入 向量[eq27]这个 可以通过 定义[eq28]和 执行矩阵 乘法[eq29]因此, [eq14] 是线性图的矩阵 $ f $ 关于两个两个基地 $ B $$ C $.

当且仅当变换时,地图才是线性的 通过矩阵进行坐标

我们仍然必须确定所有线性图是否都有关联的矩阵。 事实证明,当且仅当地图具有一个时,它才是线性的。

主张$ S $$ T $ 是两个 线性空间。让 [eq31] 作为...的基础 $ S $[eq32] 的基础 $ T $. 对于任何 $罪S $ 和任何 $锡T $, 用...表示 [eq8][eq9]Kx1$酸橙1 $ 相对于的两个基的坐标向量 $ S $$ T $ 分别。让 $ f:S
ightarrow T $ 成为地图。然后, $ f $ 当且仅当存在一个 $石灰K $ 矩阵 [eq35] 这样,对于任何 $罪S $,[eq11]

证明

假设这样一个矩阵 [eq14] 存在。然后,对于任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $, 我们有 [eq38]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们已经使用了 加法器和标量 坐标向量的乘法;在步 $ rame {B} $ 我们已经应用了矩阵乘法的分布特性。我们有 只是证明如果 [eq14] 存在,则映射 $ f $ 是线性的。现在,我们需要证明相反的语句(“仅当”部分)。 让 $ f $ 是线性的。任何元素 $ b_ {k} $ 的基础 $ B $ 被转化 $ f $ 进入 可以写为基础的线性组合的向量 $ C $ 如 如下:[eq40]哪里 标量 [eq41]$ L $ 线性组合的系数。注意系数 $ F_ {l,k} $ 是独一无二的 独特性 表示依据。表示为 F$石灰K $ 由所有系数组成的矩阵 $ F_ {l,k} $, 以这样的方式 F (索引为 $ l $k 分别)对应于基础的不同元素 $ T $$ S $ 分别。现在,随便 $罪S $ 及其相关的坐标 向量[eq42]哪一个 意思是 $ s $ 可以写为基础的线性组合 $ S $ 如 如下:[eq43]以来 $ f $ 是线性图,我们有 那[eq44]从而, 的坐标向量 $ fleft(s
权)$[eq45]我们 刚刚证明,如果 $ f $ 是线性图,则存在该图的矩阵 [eq46]. 这说明了命题的“仅当”部分,并得出结论。 证明。

我们强烈建议您阅读以前的证明,因为它具有建设性 显示如何实际构建矩阵的证明 [eq14] 通过使用基地 $ B $$ C $. 经过证明之后,我们可以看到矩阵 是[eq48]

换句话说, k-th 的列 [eq14] 是变换的坐标向量 [eq50]k-th 基向量 $ B $.

后者是一个值得记住的事实。

线性图矩阵相对于 to two given bases

重要的唯一性结果如下。

主张 线性图相对于两个给定基的矩阵是唯一的。

证明

我们已经在以下方面证明了独特性 当我们注意到矩阵的项时,上面的等价证明 [eq14] 通过根据基础的表示的唯一性来唯一。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ P $ 是二阶空间 多项式[eq52]与 基础 [eq53]. 让 $ Q $ 是四阶空间 多项式[eq54]与 基础 [eq55]. 定义线性映射 $ f:P
ightarrow Q $ 转换任何多项式 $ pleft(z
权)$ 变成另一个等于的多项式 [eq56]

找出矩阵 [eq14].

多项式的坐标向量 $ pleft(z
权)$[eq58]的 多项式 p 转化为 如下:[eq59]从而, 转换的坐标向量 是[eq60]哪里 [eq61]是 线性图的矩阵 $ f $ 关于两个基地。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性图矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-of-a-linear-map.

这本书

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