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矩阵多项式

通过 博士

矩阵多项式是方矩阵的幂的线性组合。

目录

权力

请记住 平方的幂 矩阵 A 通过相乘得到 A 本身就好几次了。

特别是给定正整数 $ m $ 和一个 $ Kimes K $ 矩阵 A, 我们 有[eq1]

普遍采用的惯例是 0-th 的力量 A 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵: [eq2]

定义

现在我们可以定义矩阵多项式。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ m $ 是一个非负整数。我们说 $ pleft(A
权)$ 是...的多项式 A$ m $ 当且仅 如果[eq3]哪里 [eq4] 是标量。

从而, $ pleft(A
权)$ 是尺寸与 A, 作为一个获得 线性的 组合 的权力 A.

标量 [eq4] 是矩阵多项式的所谓系数。

在上面的定义中 $ m $ 假定为非负整数。如果 [eq6] 对于任何矩阵 A (即矩阵多项式等于零矩阵),则我们 采用约定的程度 pin.

A 是一个正方形矩阵。 然后,[eq7]是 矩阵多项式 A$2$.

关于普通多项式的差异

注意,上面定义的矩阵多项式不是 普通 多项式。实际上,在一个普通的多项式中,元素被提出 幂和它们的系数必须来自相同的 领域。相反,在矩阵中 多项式,系数来自一个场(所谓的 标量)而被提升为幂的矩阵来自不同的集合, 这甚至不是一个领域。例如,在一个字段中,乘法 操作必须是可交换的,但是 矩阵乘法 是 不交换。实际上, $ Kimes K $ 固定矩阵 K, 是一个环,一种满足较弱的公理集的代数结构 满意的领域。

尽管如此,如果 F 是一个字段,例如实数集 R 或复数集 $ U {2102} $, 和 $ p:F
ightarrow F $ 是普通的 多项式[eq8]然后 我们可以用 p 通过扩展定义关联的矩阵 多项式[eq9]提供 矩阵的项 A 属于领域 F.

在这两种方式之间来回切换是一种常见的做法 多项式。例如,我们经常:1)写一个矩阵多项式; 2)得出 其相关的普通多项式; 2)使用普通多项式理论 以不同的形式写多项式(例如,我们将其分解); 3)使用 要重写的普通多项式的新形式(例如,其因式分解) 原始矩阵多项式。

定义矩阵 多项式[eq10]它的 相关普通多项式 是[eq11]哪一个 可以改写 如 [eq12]然后, 我们 有[eq13]

从理论上讲,每次我们在两种 多项式,我们应该检查普通多项式的性质 我们也将hold用于矩阵多项式。

实际上,如果我们修改以前关于普通多项式的讲座(例如, 多项式除法 最伟大的 共同除数),我们将认识到基本上每个定义,证明 这些演讲中的命题对于矩阵多项式也是有效的。的 原因是,即使我们在处理时丢失了字段的某些属性 矩阵,我们不需要那些属性即可操作多项式。此外, 我们甚至可以使用产品的交换属性,如下所述 部分。

交换性质

我们已经说过,一般而言,矩阵乘法不是 可交换的。但是,两个多项式的相乘 $ pleft(A
权)$$ qleft(A
权)$ 在同一矩阵中 A 是 可交换的:[eq14]

这也许是显而易见的事实(可以在解决的练习中找到证明) 在本讲座的最后)非常有用,并且可以用来证明 线性代数中的重要结果(例如,下面的零空间结果)。

线性算子的多项式

我们也可以在线性算子中定义多项式 争论,我们不需要开发单独的理论,因为(只要我们处理 与 有限维的 向量空间)线性运算符中的多项式始终与 一个类似的矩阵多项式,我们可以研究后者的性质。

定义$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ a 线性算子。让 $ m $ 是一个非负整数。我们说 $ pleft(f
权)$ 是...的多项式 $ f $$ m $ 当且仅 如果[eq15]哪里 [eq4] 是标量, I 是将...的每个成员关联的身份运算符 $ S $ 本身,以及 $ f ^ {j} $ 表示通过组合获得的运算符 $ j $$ f $:[eq17]

[eq18] 成为 基础 为了 向量空间 $ S $. 请记住,前提是 $ S $ 是有限维的,任何线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 与一个方形矩阵相关联,该线性矩阵称为 尊重 $ B $ 并由 [eq19] 这样,对于任何 $罪S $,[eq20]哪里 [eq21][eq22] 分别表示 坐标向量$ s $$ fleft(s
权)$ 关于 $ B $.

而且, 组成 经营者 可以通过乘以它们各自的 矩阵:[eq23]

因此,多项式 $ pleft(f
权)$ 例如上面定义的是一个运算符,其矩阵是矩阵 多项式 [eq24].[eq25]

因此,正如我们在本节开头所说的,我们不需要 运算符多项式的独立理论,我们可以通过使用 各个矩阵中的多项式。

矩阵多项式的零空间

一个简单但经常使用的结果如下。

主张$ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ pleft(A
权)$ 是...的多项式 A. 然后, 空空间$ pleft(A
权)$ 是一个 不变子空间$ S $ 在由定义的线性变换下 A.

证明

表示为 [eq26] 的零空间 $ pleft(A
权)$. 选择任何 [eq27]. 我们有 [eq28]从而, [eq29], 证明 [eq30] 在下不变 A.

矩阵多项式的特征值

一旦我们知道了特征值 A, 我们可以轻松计算出的特征值 $ pleft(A
权)$.

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ pleft(A
权)$ 是...的多项式 A. 让 $ lambda $ 是...的特征值 A. 然后, [eq31] 是的特征值 $ pleft(A
权)$.

证明

我们有 先前 证明的 如果 $ lambda $ 是的特征值 A 与特征向量相关 x, 然后 $ lambda ^ {j} $ 是的特征值 $ A ^ {j} $ 关联到相同的特征向量 x. 假设 [eq32]选择 任何特征值 $ lambda $A 和一个相关的特征向量 x. 然后,[eq33]哪一个 证明了这一命题。

poly灭多项式

一个经常使用的概念是an灭多项式。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ pleft(A
权)$ 是...的多项式 A. 我们说 $ pleft(A
权)$ 是if灭多项式,当且仅当 如果[eq34]

凯利·汉密尔顿定理

在关于 凯利·汉密尔顿 定理,我们将仔细解释其中最重要的结果之一 矩阵多项式的理论,指出特征 多项式是一个ni灭的多项式。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 是一个正方形矩阵。改造普通 多项式[eq35]进入 多项式 A.

矩阵多项式 是[eq36]

练习2

A 是一个正方形矩阵。改造普通 多项式[eq37]进入 多项式 A.

矩阵多项式 是[eq38]

练习3

证明两个多项式的乘法 $ pleft(A
权)$$ qleft(A
权)$ 在同一矩阵中 A 是 可交换的:[eq39]

假设 那[eq40][eq41]然后[eq42]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵多项式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-polynomial.

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