矩阵多项式

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

矩阵多项式是方矩阵的幂的线性组合。

权力

请记住 平方的幂 矩阵 通过相乘得到 本身就好几次了。

特别是给定正整数 和一个 矩阵 , 我们 有

普遍采用的惯例是 -th 的力量 是个 单位矩阵:

定义

现在我们可以定义矩阵多项式。

从而， 是尺寸与 , 作为一个获得 线性的 组合 的权力 .

标量 是矩阵多项式的所谓系数。

在上面的定义中 假定为非负整数。如果 对于任何矩阵 （即矩阵多项式等于零矩阵），则我们 采用约定的程度 是 .

关于普通多项式的差异

注意，上面定义的矩阵多项式不是 普通 多项式。实际上，在一个普通的多项式中，元素被提出 幂和它们的系数必须来自相同的 领域。相反，在矩阵中 多项式，系数来自一个场（所谓的 标量）而被提升为幂的矩阵来自不同的集合， 这甚至不是一个领域。例如，在一个字段中，乘法 操作必须是可交换的，但是 矩阵乘法 是 不交换。实际上， 固定矩阵 , 是一个环，一种满足较弱的公理集的代数结构 满意的领域。

尽管如此，如果 是一个字段，例如实数集 或复数集 , 和 是普通的 多项式然后 我们可以用 通过扩展定义关联的矩阵 多项式提供 矩阵的项 属于领域 .

在这两种方式之间来回切换是一种常见的做法 多项式。例如，我们经常：1）写一个矩阵多项式； 2）得出 其相关的普通多项式； 2）使用普通多项式理论 以不同的形式写多项式（例如，我们将其分解）; 3）使用 要重写的普通多项式的新形式（例如，其因式分解） 原始矩阵多项式。

从理论上讲，每次我们在两种 多项式，我们应该检查普通多项式的性质 我们也将hold用于矩阵多项式。

实际上，如果我们修改以前关于普通多项式的讲座（例如， 多项式除法 和 最伟大的 共同除数），我们将认识到基本上每个定义，证明 这些演讲中的命题对于矩阵多项式也是有效的。的 原因是，即使我们在处理时丢失了字段的某些属性 矩阵，我们不需要那些属性即可操作多项式。此外， 我们甚至可以使用产品的交换属性，如下所述 部分。

交换性质

我们已经说过，一般而言，矩阵乘法不是 可交换的。但是，两个多项式的相乘 和 在同一矩阵中 是 可交换的：

这也许是显而易见的事实（可以在解决的练习中找到证明） 在本讲座的最后）非常有用，并且可以用来证明 线性代数中的重要结果（例如，下面的零空间结果）。

线性算子的多项式

我们也可以在线性算子中定义多项式 争论，我们不需要开发单独的理论，因为（只要我们处理 与 有限维的 向量空间）线性运算符中的多项式始终与 一个类似的矩阵多项式，我们可以研究后者的性质。

让 成为 基础 为了 向量空间 . 请记住，前提是 是有限维的，任何线性算子 与一个方形矩阵相关联，该线性矩阵称为 尊重 并由 这样，对于任何 ,哪里 和 分别表示 坐标向量 的 和 关于 .

而且， 组成 经营者 可以通过乘以它们各自的 矩阵：

因此，多项式 例如上面定义的是一个运算符，其矩阵是矩阵 多项式 .

因此，正如我们在本节开头所说的，我们不需要 运算符多项式的独立理论，我们可以通过使用 各个矩阵中的多项式。

矩阵多项式的零空间

一个简单但经常使用的结果如下。

矩阵多项式的特征值

一旦我们知道了特征值 , 我们可以轻松计算出的特征值 .

poly灭多项式

一个经常使用的概念是an灭多项式。

凯利·汉密尔顿定理

在关于 凯利·汉密尔顿 定理，我们将仔细解释其中最重要的结果之一 矩阵多项式的理论，指出特征 多项式是一个ni灭的多项式。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 是一个正方形矩阵。改造普通 多项式进入 多项式 .

练习2

让 是一个正方形矩阵。改造普通 多项式进入 多项式 .

练习3

证明两个多项式的乘法 和 在同一矩阵中 是 可交换的：

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "矩阵多项式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-polynomial.

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