矩阵多项式是方矩阵的幂的线性组合。
请记住 平方的幂
矩阵
通过相乘得到
本身就好几次了。
特别是给定正整数
和一个
矩阵
,
我们
有
普遍采用的惯例是
-th
的力量
是个
单位矩阵:
现在我们可以定义矩阵多项式。
定义
让
成为
矩阵。让
是一个非负整数。我们说
是...的多项式
度
当且仅
如果
哪里
是标量。
从而,
是尺寸与
,
作为一个获得 线性的
组合 的权力
.
标量
是矩阵多项式的所谓系数。
在上面的定义中
假定为非负整数。如果
对于任何矩阵
(即矩阵多项式等于零矩阵),则我们
采用约定的程度
是
.
例
让
是一个正方形矩阵。
然后,
是
矩阵多项式
度
.
注意,上面定义的矩阵多项式不是
普通
多项式。实际上,在一个普通的多项式中,元素被提出
幂和它们的系数必须来自相同的
领域。相反,在矩阵中
多项式,系数来自一个场(所谓的
标量)而被提升为幂的矩阵来自不同的集合,
这甚至不是一个领域。例如,在一个字段中,乘法
操作必须是可交换的,但是
矩阵乘法 是
不交换。实际上,
固定矩阵
,
是一个环,一种满足较弱的公理集的代数结构
满意的领域。
尽管如此,如果
是一个字段,例如实数集
或复数集
,
和
是普通的
多项式
然后
我们可以用
通过扩展定义关联的矩阵
多项式
提供
矩阵的项
属于领域
.
在这两种方式之间来回切换是一种常见的做法 多项式。例如,我们经常:1)写一个矩阵多项式; 2)得出 其相关的普通多项式; 2)使用普通多项式理论 以不同的形式写多项式(例如,我们将其分解); 3)使用 要重写的普通多项式的新形式(例如,其因式分解) 原始矩阵多项式。
例
定义矩阵
多项式它的
相关普通多项式
是
哪一个
可以改写
如
然后,
我们
有
从理论上讲,每次我们在两种 多项式,我们应该检查普通多项式的性质 我们也将hold用于矩阵多项式。
实际上,如果我们修改以前关于普通多项式的讲座(例如, 多项式除法 和 最伟大的 共同除数),我们将认识到基本上每个定义,证明 这些演讲中的命题对于矩阵多项式也是有效的。的 原因是,即使我们在处理时丢失了字段的某些属性 矩阵,我们不需要那些属性即可操作多项式。此外, 我们甚至可以使用产品的交换属性,如下所述 部分。
我们已经说过,一般而言,矩阵乘法不是
可交换的。但是,两个多项式的相乘
和
在同一矩阵中
是
可交换的:
这也许是显而易见的事实(可以在解决的练习中找到证明) 在本讲座的最后)非常有用,并且可以用来证明 线性代数中的重要结果(例如,下面的零空间结果)。
我们也可以在线性算子中定义多项式 争论,我们不需要开发单独的理论,因为(只要我们处理 与 有限维的 向量空间)线性运算符中的多项式始终与 一个类似的矩阵多项式,我们可以研究后者的性质。
定义
让
是向量空间,
a 线性算子。让
是一个非负整数。我们说
是...的多项式
度
当且仅
如果
哪里
是标量,
是将...的每个成员关联的身份运算符
本身,以及
表示通过组合获得的运算符
次
:
让
成为 基础 为了
向量空间
.
请记住,前提是
是有限维的,任何线性算子
与一个方形矩阵相关联,该线性矩阵称为
尊重
并由
这样,对于任何
,
哪里
和
分别表示
坐标向量 的
和
关于
.
而且,
组成
经营者 可以通过乘以它们各自的
矩阵:
因此,多项式
例如上面定义的是一个运算符,其矩阵是矩阵
多项式
.
因此,正如我们在本节开头所说的,我们不需要 运算符多项式的独立理论,我们可以通过使用 各个矩阵中的多项式。
一个简单但经常使用的结果如下。
表示为
的零空间
.
选择任何
.
我们有
从而,
,
证明
在下不变
.
一旦我们知道了特征值
,
我们可以轻松计算出的特征值
.
主张
让
成为
矩阵。让
是...的多项式
.
让
是...的特征值
.
然后,
是的特征值
.
我们有
先前
证明的 如果
是的特征值
与特征向量相关
,
然后
是的特征值
关联到相同的特征向量
.
假设
选择
任何特征值
的
和一个相关的特征向量
.
然后,
哪一个
证明了这一命题。
一个经常使用的概念是an灭多项式。
定义
让
成为
矩阵。让
是...的多项式
.
我们说
是if灭多项式,当且仅当
如果
在关于 凯利·汉密尔顿 定理,我们将仔细解释其中最重要的结果之一 矩阵多项式的理论,指出特征 多项式是一个ni灭的多项式。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是一个正方形矩阵。改造普通
多项式
进入
多项式
.
矩阵多项式
是
让
是一个正方形矩阵。改造普通
多项式
进入
多项式
.
矩阵多项式
是
证明两个多项式的乘法
和
在同一矩阵中
是
可交换的:
假设
那和
然后
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵多项式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-polynomial.