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指数 > 矩阵代数

矩阵功率

通过 博士

本讲座介绍了矩阵幂的一些有用属性。

目录

整数矩阵幂

我们可以取平方矩阵的非负整数幂 A 通过反复相乘 A 通过它自己。

如果 $ m $ 是一个正整数, A 是一个 $ Kimes K $ 矩阵, 然后[eq1]

我们采用惯例 那[eq2]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵.

空空间

A 成为 $ Kimes K $ 矩阵并让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。

请记住 空值 空间A 是个 子空间[eq3]

换句话说,零空间由的所有向量形成 $ S $ 通过定义的线性变换映射到零向量 A.

功率越大,零空间越大

这是第一个有趣的结果:矩阵功效越大, 空空间。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后, A 满足[eq4]对于 任何非负整数 $ m $.

证明

以来 $ A ^ {0} = I $0 是通过同一性映射映射到零向量的唯一向量, 我们 有[eq5]对于 任何非负整数 $ m $, 让 [eq6]. 然后, [eq7]我们 可以将双方乘以 A, 为了 得到[eq8]哪一个 暗示 [eq9]. 因此, [eq10] 也是 [eq11]. 换一种说法, [eq10] 包含在 [eq13].

如果空空间停止增长,那么它们将永远不会恢复

随着我们采用越来越大的矩阵幂,如果在某个时刻 空空间的增长停止,然后永远停止。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果存在一个正整数 $ m $ 这样 那[eq14]然后[eq15]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

证明

我们只需要证明 [eq16] 暗示 [eq17] 因为这样我们就可以产生一个等价链,从而获得 [eq18] 对于任何 $ j $. 我们已经知道 那[eq19]我们 需要证明在另一个方向上的包容性。假设 [eq20]. 然后,[eq21]要么, 等效地,[eq22]从而, 我们有 [eq23]和, 通过以下假设 [eq24], 我们还有 [eq25]的 后一个事实意味着 那[eq26]要么[eq27]在 其他 话,[eq28]从而, 所有成员 [eq29] 也是 [eq30]. 因此, [eq31] 包含在 [eq30], 这是我们需要证明的。

零位空间的稳定化

零位空间不会随着我们获得更大的幂而无限增长,但是它们 最终稳定下来。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 然后,[eq33]

证明

证明是矛盾的。假设 那[eq34]通过 这暗示了先前的命题 那[eq35]对于 所有整数 $ mleq K-1 $ (否则我们会 [eq36])。 因此,[eq37]哪里 $子集$ 表示严格包含(即,每个无效空间至少还有一个成员 而不是紧接其前的空空间)。由于空空间是 至少有一个成员的子空间与至少有一个成员的子空间相同 附加尺寸。结果, [eq38] 必须至少等于 $K+1$. 这是不可能的,因为 [eq39] 是以下空间的子空间 Kx1 向量(因此 [eq40] 最多可以有 K 尺寸)。因此,最初的假设使我们陷入矛盾。作为一个 结果,我们必须有 [eq41]

通过结合前两个命题,我们 获得[eq42]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

请注意,最后一个命题并不意味着零空间会稳定 恰好在 [eq43], 可能会发生 那[eq44]对于 $m<K-1$. 但是,该提议保证了稳定点不会超出 [eq45].

列空间

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。请记住, $ Kimes K $ 矩阵 A, 这与 线性范围 转型 由矩阵定义 是[eq46]

等级无效 定理,对于任何矩阵幂 $ A ^ {m} $, 我们 有[eq47]哪里 [eq48][eq49] 分别表示列空间和空空间的尺寸。

上面我们已经证明了 [eq50] 随着我们增加力量而增加 $ m $, 取决于 [eq51]. 作为结果, [eq52] 必须随着我们增加而减少 $ m $, 取决于 [eq53].

换句话说,列空间的行为与null的行为相反 空格。下一节将更详细地讨论这一点。

功率越大,列空间越小

矩阵功效越大,其列空间越小。

主张$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后, A 满足[eq54]对于 任何非负整数 $ m $.

证明

以来 $ A ^ {0} = I $, $ s = A ^ {0} s $ 对于任何 $罪S $. 因此,[eq55]对于 任何非负整数 $ m $, 让 [eq56]. 然后,通过列空间的定义,存在 $锡S $ 这样 [eq57]哪一个 可以等效地写 如 [eq58]哪一个 暗示 [eq59]. 因此, [eq60] 也是 [eq61]. 换一种说法, [eq62] 包括 [eq60].

如果列空间停止缩小,那么它们将永远不会恢复

随着我们采用越来越大的矩阵幂,如果在某个时刻 列空间停止缩小,那么它们将再也不会缩小。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果存在一个正整数 $ m $ 这样 那[eq64]然后[eq65]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

证明

我们只需要证明 [eq66] 暗示 [eq67] 因为这样我们就可以产生一个等价链,从而获得 [eq68] 对于任何 $ j $. 我们已经知道 那[eq69]我们 需要证明在另一个方向上的包容性。让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。采取任何 $罪S $ 并定义 [eq70]通过 定义, [eq71]. 假设 [eq72] 暗示 [eq73]. 因此,存在 $锡S $ 这样 那[eq74]要么[eq75]通过 将(1)和(2)放在一起,我们 得到[eq76]从而, 我们刚刚证明,对于任何 $罪S $, 那里存在 $锡S $ 使得(3)成立。现在,假设 [eq73]. 然后,存在 $罪S $ 这样 那[eq78]要么 [eq79]通过 (3),存在 $锡S $, 这样 那[eq80]在 也就是说, [eq81]. 因此, [eq82] 也是 [eq83]. 换一种说法, [eq84]

稳定列空间

列空间不会随着我们获得更大的幂而无限增长,但是它们 最终稳定下来。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 然后,[eq85]

证明

证明是矛盾的。假设 那[eq86]通过 这暗示了先前的命题 那[eq87]对于 所有整数 $ mleq K-1 $ (否则我们会 [eq88])。 因此,[eq89]哪里 $ S $ 是所有空间 Kx1 列向量和 $ supset $ 表示严格包含。换句话说,每个列空间至少有一个 成员数少于其紧前面的列空间。自专栏 空间是子空间,其成员数至少少一个 至少少一维。由于尺寸 $ S $K, 的尺寸 [eq90] 必须小于 $-1$. 这是不可能的,因为尺寸不能为负数。从而, 最初的假设使我们陷入矛盾。结果,我们 一定有 [eq91]

通过结合前两个命题,我们 获得[eq92]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

与空空格类似的注释按顺序排列:最后一个 命题并不意味着列空间精确地稳定在 [eq93], 可能会发生 那[eq94]对于 $m<K-1$. 但是,该提议保证了稳定点不会超出 [eq95].

空和列空间稳定在同一点

通过将秩为零定理放在一起 [eq96] 和上面的命题,我们看到,当我们增加能力时 $ m $ 一个单位,那么就有两种互斥的可能性:

  1. 空空间的维数 [eq13] 增加至少一个单位,行空间的尺寸 [eq98] 减少相同的数量;

  2. 的尺寸 [eq13][eq100] 保持不变(当我们进一步增加时,它们再也不会改变 $ m $)。

特别是,列和空空间必须稳定在同一点: 存在一个唯一的整数 $ m $ 这样 那[eq65][eq15]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵功率", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-power.

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