本讲座介绍了矩阵幂的一些有用属性。
我们可以取平方矩阵的非负整数幂
通过反复相乘
通过它自己。
如果
是一个正整数,
是一个
矩阵,
然后
我们采用惯例
那哪里
是个
单位矩阵.
让
成为
矩阵并让
成为所有人的空间
列向量。
请记住 空值
空间 的
是个
子空间
换句话说,零空间由的所有向量形成
通过定义的线性变换映射到零向量
.
这是第一个有趣的结果:矩阵功效越大, 空空间。
主张
让
成为
矩阵。然后,
满足
对于
任何非负整数
.
以来
和
是通过同一性映射映射到零向量的唯一向量,
我们
有
对于
任何非负整数
,
让
.
然后,
我们
可以将双方乘以
,
为了
得到
哪一个
暗示
.
因此,
也是
.
换一种说法,
包含在
.
随着我们采用越来越大的矩阵幂,如果在某个时刻 空空间的增长停止,然后永远停止。
主张
让
成为
矩阵。如果存在一个正整数
这样
那
然后
对于
任何整数
.
我们只需要证明
暗示
因为这样我们就可以产生一个等价链,从而获得
对于任何
.
我们已经知道
那
我们
需要证明在另一个方向上的包容性。假设
.
然后,
要么,
等效地,
从而,
我们有
和,
通过以下假设
,
我们还有
的
后一个事实意味着
那
要么
在
其他
话,
从而,
所有成员
也是
.
因此,
包含在
,
这是我们需要证明的。
零位空间不会随着我们获得更大的幂而无限增长,但是它们 最终稳定下来。
主张
让
成为
矩阵。
然后,
证明是矛盾的。假设
那通过
这暗示了先前的命题
那
对于
所有整数
(否则我们会
)。
因此,
哪里
表示严格包含(即,每个无效空间至少还有一个成员
而不是紧接其前的空空间)。由于空空间是
至少有一个成员的子空间与至少有一个成员的子空间相同
附加尺寸。结果,
必须至少等于
.
这是不可能的,因为
是以下空间的子空间
向量(因此
最多可以有
尺寸)。因此,最初的假设使我们陷入矛盾。作为一个
结果,我们必须有
通过结合前两个命题,我们
获得对于
任何整数
.
请注意,最后一个命题并不意味着零空间会稳定
恰好在
,
可能会发生
那
对于
.
但是,该提议保证了稳定点不会超出
.
让
成为所有人的空间
列向量。请记住,
矩阵
,
这与
线性范围
转型 由矩阵定义
是
由 等级无效
定理,对于任何矩阵幂
,
我们
有
哪里
和
分别表示列空间和空空间的尺寸。
上面我们已经证明了
随着我们增加力量而增加
,
取决于
.
作为结果,
必须随着我们增加而减少
,
取决于
.
换句话说,列空间的行为与null的行为相反 空格。下一节将更详细地讨论这一点。
矩阵功效越大,其列空间越小。
主张
让
成为所有人的空间
列向量。让
成为
矩阵。然后,
满足
对于
任何非负整数
.
以来
,
对于任何
.
因此,
对于
任何非负整数
,
让
.
然后,通过列空间的定义,存在
这样
哪一个
可以等效地写
如
哪一个
暗示
.
因此,
也是
.
换一种说法,
包括
.
随着我们采用越来越大的矩阵幂,如果在某个时刻 列空间停止缩小,那么它们将再也不会缩小。
主张
让
成为
矩阵。如果存在一个正整数
这样
那
然后
对于
任何整数
.
我们只需要证明
暗示
因为这样我们就可以产生一个等价链,从而获得
对于任何
.
我们已经知道
那
我们
需要证明在另一个方向上的包容性。让
成为所有人的空间
列向量。采取任何
并定义
通过
定义,
.
假设
暗示
.
因此,存在
这样
那
要么
通过
将(1)和(2)放在一起,我们
得到
从而,
我们刚刚证明,对于任何
,
那里存在
使得(3)成立。现在,假设
.
然后,存在
这样
那
要么
通过
(3),存在
,
这样
那
在
也就是说,
.
因此,
也是
.
换一种说法,
列空间不会随着我们获得更大的幂而无限增长,但是它们 最终稳定下来。
主张
让
成为
矩阵。
然后,
证明是矛盾的。假设
那通过
这暗示了先前的命题
那
对于
所有整数
(否则我们会
)。
因此,
哪里
是所有空间
列向量和
表示严格包含。换句话说,每个列空间至少有一个
成员数少于其紧前面的列空间。自专栏
空间是子空间,其成员数至少少一个
至少少一维。由于尺寸
是
,
的尺寸
必须小于
.
这是不可能的,因为尺寸不能为负数。从而,
最初的假设使我们陷入矛盾。结果,我们
一定有
通过结合前两个命题,我们
获得对于
任何整数
.
与空空格类似的注释按顺序排列:最后一个
命题并不意味着列空间精确地稳定在
,
可能会发生
那
对于
.
但是,该提议保证了稳定点不会超出
.
通过将秩为零定理放在一起
和上面的命题,我们看到,当我们增加能力时
一个单位,那么就有两种互斥的可能性:
空空间的维数
增加至少一个单位,行空间的尺寸
减少相同的数量;
的尺寸
和
保持不变(当我们进一步增加时,它们再也不会改变
)。
特别是,列和空空间必须稳定在同一点:
存在一个唯一的整数
这样
那
和
对于
任何整数
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵功率", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-power.