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矩阵乘积和等级

通过 博士

本讲座讨论有关以下方面的一些事实 矩阵产品 和他们的 秩。特别是,我们分析了在什么条件下 矩阵 被繁殖 被保留。

目录

绑定到产品等级

下一个命题提供了两个乘积的秩的界线 矩阵。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ 一个 $酸橙M $ 矩阵。 然后,[eq1]

证明

空间 跨度 通过列 $ AB $ 是空间 $ S $ 所有向量 $ s $ 可以写成 线性的 组合 的列数 $ AB $:[eq2]哪里 $ v $ 是个 $ Mimes 1 $ 线性组合系数的向量。我们也可以 写[eq3]哪里 $ Bv $ 是一个 $酸橙1 $ 向量(是 $酸橙M $ 矩阵和 $ Mimes 1 $ 向量)。因此,任何向量 $罪S $ 可以写成以下各列的线性组合 A, 取自向量的系数 $ Bv $. 结果,空间 $ S $ 不大于以下列的跨度 A, 谁的 尺寸[eq4]. 这意味着 $ S $ 小于或等于 [eq5]. 由于尺寸 $ S $ 是的等级 $ AB $, 我们 有[eq6]现在, 行的跨度 $ AB $ 是空间 $ T $ 所有向量 $ t $ 可以写成的行的线性组合 $ AB $:[eq7]哪里 $ u $ 是个 $ 1imes K $ 线性组合系数的向量。我们也可以 写[eq8]哪里 $ uA $ 是一个 $ 1imes L $ 向量(是 $ 1imes K $ 向量和 $ Kimes L $ 矩阵)。因此,任何向量 $锡T $ 可以写成的行的线性组合 $ B $, 取自向量的系数 $ uA $. 结果,空间 $ T $ 不大于以下行的跨度 $ B $, 其尺寸是 [eq9]. 这意味着 $ T $ 小于或等于 [eq10]. 由于尺寸 $ T $ 是的等级 $ AB $, 我们 有[eq11]的 二 不平等[eq12]是 满足且仅当 如果[eq13]

与满秩方阵相乘可保留等级

另一个重要的事实是,当我们 将其乘以一个完整的矩阵。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ 一个正方形 $石灰L $ 矩阵。如果 $ B $ 全职, 然后[eq14]

证明

请记住,矩阵的秩是 列(或行)所跨越的线性空间的尺寸。我们要走了 证明 A$ AB $ 之所以相等,是因为它们的列所产生的空间是重合的。表示为 $ S $ 的列产生的空间 A. 任何向量 $罪S $ 可以写成以下各列的线性组合 A:[eq15]哪里 $ v $ 是个 $酸橙1 $ 线性组合系数的向量。以来 $ B $ 是全等级和方形的 $ L $ 线性独立 跨越所有空间的列 $酸橙1 $ 向量(它们是 相当于 规范基础)。因此,存在 $酸橙1 $ 向量 $ u $ 这样 那[eq16]从而[eq17]我们 刚刚证明了任何向量 $罪S $ 可以写成以下各列的线性组合 $ AB $. 此外, $ AB $ 不产生任何向量 $s
otin S$. 要看到这一点,请注意对于任何系数向量 $ u $, 如果 [eq18]然后[eq19]所以 那 $罪S $. 因此,我们证明了由 A 并由 $ AB $ 重合。结果,它们的尺寸(根据定义是 等于 A$ B $) 重合。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ 一个正方形 $ Kimes K $ 矩阵。如果 $ B $ 是全职的 然后[eq20]

证明

这个命题的证据几乎是 与先前的主张相同。它留作练习(请参阅 下面的练习及其解决方案)。

两个全秩平方矩阵的乘积为全秩

前两个命题的直接推论是 两个全秩平方矩阵是全秩。

主张A$ B $ 是两个 $ Kimes K $ 全等级矩阵。然后,他们的产品 $ AB $$ BA $ 是全职的。

证明

排名最高,两个矩阵都排名 K. 因此,由前两个 命题[eq21]$ AB $$ BA $$ Kimes K $, 所以他们是全职的。

克矩阵

现在,我们提出关于非平方乘积的非常有用的结果 矩阵及其转置。

主张A 成为 $ Kimes L $ 满秩矩阵 $ Kgeq L $. 然后,产品 $ A ^ {op} A $ 是全职的。

证明

$ S $ 成为所有人的空间 $酸橙1 $ 向量。假设存在一个非零向量 $罪S $ 这样 那[eq22]然后,[eq23]要么[eq24]要么[eq25]哪里 [eq26] 表示 k-th 进入 Kx1 列向量 $ As $. 只有在以下情况下才有可能 [eq27]对于 $ k = 1,ldots,K $, 也就是说,只有 如果[eq28]哪一个 之所以不可能是因为 A 是全等级的,它的列少于行,因此,它的列是 线性独立。因此,唯一的向量 给[eq29]$s=0$, 这意味着 $ A ^ {op} A $ 是线性独立的 $ A ^ {op} A $ 是全职的。

矩阵 $ A ^ {op} A $ 被称为克矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ B $ 全职 $ Kimes K $ 矩阵。证明如果 $ B $ 是全职的 然后[eq30]

请记住,矩阵的等级是 由其行生成的空间的尺寸。我们将证明 的行生成的空间 A$ BA $ 重合,因此它们的维数相同,并且 两个矩阵相等。表示为 $ S $ 行的跨度 A. 任何 $罪S $ 是的行的线性组合 A:[eq31]哪里 $ v $ 是个 $ 1imes K $ 线性组合系数的向量。以来 $ B $ 是全等级的 K 线性独立的行,跨越所有空间 $ 1imes K $ 向量。结果,存在一个 $ 1imes K $ 向量 $ u $ 这样 那[eq32]从而[eq33]这个 意味着任何 $罪S $ 是的行的线性组合 $ BA $. 而且, $ BA $ 不产生任何向量 $s
otin S$: 对于任何系数向量 $ u $, 如果 [eq34]然后[eq35]所以 那 $罪S $. 因此,由 A 并由 $ AB $ 重合。结果,它们的尺寸也一致。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵乘积和等级", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/matrix-product-and-rank.

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