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最小多项式

通过 博士

最小多项式是 poly灭多项式 具有最低的程度。

目录

定义

在下一个定义以及本讲的其余部分中,矩阵 假设多项式的变量和系数很复杂。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。 an灭多项式 p (即 [eq1]) 被称为的最小多项式 A 当且仅当它是 一元 和不 的其他单项ic灭多项式 A 程度低于 p.

这是一个非常简单的示例。

考虑一下 $ Kimes K $ 单位矩阵 I. 然后,多项式 [eq2] 是 一元 (其前导系数等于 1) 它毁灭了 I 因为 [eq3] 的 多项式 p 有学位 1. 没有其他更低阶的monic ni灭多项式,因为 度仅低于的单项多项式 1[eq4] 哪一个 没有消灭。因此, p 是的最小多项式 A.

存在与独特

最小多项式始终存在并且是唯一的。

主张 矩阵的最小多项式 A 存在。

证明

an灭多项式的集合为 至少一个monic成员,因为的特征多项式 A 是由消除的单项式多项式 凯利·汉密尔顿 定理 。而且,单调程度有一个下限 poly灭多项式 ([eq5] )。

主张 矩阵的最小多项式 A 是独特的。

证明

证明是矛盾的。假使,假设  $ p_ {1} $  $ p_ {2} $ 是两个不同的最小多项式。一定是那个 [eq6] (否则两者之一不是最小的)。现在考虑歼灭 多项式[eq7] 以来  $ p_ {1} $  $ p_ {2} $ 是一元且具有相同的度数,它们的差值至少具有一个度数 比他们少。我们可以分开 p 由其前导系数(不同于零,因为  $ p_ {1} $  $ p_ {2} $ 是不同的),并获得一个具有较低的单项ic灭多项式 度比  $ p_ {1} $  $ p_ {2} $ . 因此,  $ p_ {1} $  $ p_ {2} $ 不是最小多项式,这是一个矛盾。

如何导出最小多项式

在本节中,我们介绍一种算法,用于找到的最小多项式 a $ Kimes K $ 矩阵 A.

首先,我们要问一元函数中是否存在an灭多项式 度多项式 1, 也就是说,那些采取 形成 [eq8] 如果有一个,则可以通过搜索系数来找到  $ a_ {0} $ 解决了 方程 [eq9]

如果方程式有解,则我们找到了最小多项式。 否则,我们将搜索度数的单项an灭多项式 $2$, 其系数必须解决 方程 [eq10]

如果有解决方案,那么我们找到了最小多项式。如果没有,我们 增加多项式的次数,并不断增加,直到找到 最小多项式。我们保证可以在第一时间找到它 K 因为Cayley-Hamilton定理保证了  $ A ^ {K} $ 可以写成 线性的 组合 较低的权力 A.

让我们搜索的最小多项式 矩阵 [eq11] 那里 没有系数  $ a_ {0} $ 解决 [eq12] 的 的平方 A[eq13] 和 的 方程 [eq14] 是 由...解决 $ a_ {1} =-5 $$ a_ {0} = 6 $. 因此,的最小多项式 A[eq15]

其他多项式的除数

每个an灭多项式都是最小多项式的倍数。

主张 的最小多项式 A 除的每个every灭多项式 A.

证明

用表示最小多项式 p. 让  $ p_ {1} $ 是任何其他any灭的多项式。一定是那个 [eq16] (除此以外 p 不是最小的)。由 除法算法 ,我们 有 [eq17] 哪里 [eq18] (案子 $q=0$$ r = p_ {1} $ 被以下事实排除在外: [eq19] )。 此外,[eq20] 从而, 剩下的  $ r $ 是一个ni灭的多项式。如果  $ r $ 不等于零,可以除以其前导系数 变成一个单项ic灭多项式,其度数小于 的 p, 这与以下假设相反 p 是最小多项式。因此,  $ r $ 必须等于零 和 [eq21] 在 也就是说, p 除以其他other灭多项式。

与特征多项式的相似性

请记住,矩阵的特征多项式 A[eq22] 哪里 I 是单位矩阵。

还请记住,根据代数的基本定理,任何多项式 p $ mgeq 1 $ 可以分解 如 [eq23] 哪里 [eq24] 是...的根源 pk 是一个常数。分解是唯一的,直到因子的排列为止。

线性因素 $ z-lambda _ {j} $ 不一定是不同的,即两个或多个线性因子可以相等 对彼此。如果出现相同的线性因子  亩 倍数分解,那么我们说它具有多重性  亩 .

在特征多项式的情况下 $ cleft(z
权)$, $k=1$ 根源是 特征值A. 如果同一特征值出现在多个线性因子中,那么我们说 特征值是重复的。

主张A 是具有特征多项式的矩阵 [eq25] 哪里 [eq24] 是...的独特特征值 A[eq27] 分别是 代数的 多重性。然后,的最小多项式 A[eq28] 哪里 [eq29] 对于 $ j = 1,ldots,m $.

证明

最小多项式 p 划分每个hil灭多项式,包括特征多项式  $ c $ , 这被Cayley-Hamilton定理消除了。因此,最小 多项式 p 必须有 形成 [eq30] 哪里 [eq31] 对于 $ j = 1,ldots,m $. 我们将通过矛盾证明 $
u _{j}>0$. 假设 $
u _{j}=0$ 对于一些  $ j $ . 然后 $ lambda _ {j} $ 不是根源 $ pleft(z
权)$, 那 是的 [eq32][eq33] 是的特征值 $ pleft(A
权)$ (看到 矩阵的特征值 多项式),这意味着 [eq34] 因为 零矩阵只有零个特征值。这是不可能的,因为 p 是一个ni灭的多项式。因此,我们产生了一个矛盾 一定是 $
u _{j}>0$ 每一个  $ j $ .

主张 如果矩阵没有重复的特征值,则其特征和最小值 多项式重合。

证明

如果没有重复的特征值,则 我们有 [eq35] 在先前的证明中, 暗示 [eq36] 因为 $
u _{j}>0$ 对于 $ j = 1,ldots,m $.

相似矩阵具有相同的最小多项式

记住两个矩阵 A $ B $ 类似 当且仅当在 存在一个 可逆的 矩阵  $ P $ 这样 那 [eq37]

事实证明,相似的矩阵具有相同的最小多项式。

主张A $ B $ 是两个相似 $ Kimes K $ 矩阵。然后,的最小多项式 A $ B $ 重合。

证明

p 成为 多项式[eq38] 然后, [eq39] 要么 [eq40] 如果 p 是的an灭多项式 A, 然后 [eq41][eq42] 哪一个 暗示 [eq43] 因为  $ P $ 是可逆的(因此,通过组合其列来获得零向量的唯一方法 将所有系数设置为零)。同样, [eq43] 暗示 [eq45]. 因此, p 是的an灭多项式 A 当且仅当它是的an灭多项式  $ B $ . 换句话说,两个矩阵的an灭多项式的集合 重合。结果,它们各自的最小多项式也需要 一致(因为它们是最小二阶多项式 sets灭多项式的各个集合)。

命题证明的一个关键结论是,不仅两个相似 矩阵具有相同的最小多项式,但它们具有相同的 poly灭多项式。

了解和解释最小多项式

为了充分了解最小多项式,我们需要研究 一次分解 定理 ,它提供了解释指数的关键 [eq46] 最小多项式的线性因子。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为 3美金3美金 特征值矩阵 $ lambda _ {1} = 2 $, $ lambda _ {2} = 1 $, $ lambda _ {3} =-1 $. 推导的最小多项式 A.

以来 A 没有重复的特征值,则其特征和最小多项式 重合。因此,的最小多项式 A[eq47]

练习2

求出的最小多项式 矩阵 [eq48]

等式 [eq49] 具有 显然没有解决办法。的平方 A[eq50] 的 方程 [eq51] 是 明确写 如 [eq52] 它 没有解决方案,因为 $ left(2,3
权)$ -th 进入  $ A ^ {2} $ 等于 $-1$ 并且不能通过两个零条目的线性组合来复制 ( $ left(2,3
权)$ -th 的条目 IA )。 第三力量 A[eq53] 的 凯利·汉密尔顿定理保证我们可以找到一个解决方案 的 [eq54] 要么 [eq55] 的 解决方案是 $ a_ {0} = 1 $ (通过解决 $ left(3,3
权)$ -th 进入  $ A ^ {3} $ ), $ a_ {2} =-3 $ (通过解决 $ left(2,3
权)$ -th 进入  $ A ^ {3} $ ), $ a_ {1} = 2 $ (通过求解  $ A ^ {3} $ )。 因此,的最小多项式 A[eq56]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "最小多项式", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/minimal-polynomial.

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