搜索Statlect上的概率和统计信息
统计 章程
指数 > Matrix algebra

最小多项式

经过 ,博士学位

最小的多项式是 湮灭多项式 具有尽可能低的程度。

目录

定义

在下一个定义和剩下的讲座中,矩阵, 假设多项式的变量和系数复杂。

定义 Let A be a $ kimes k $ 矩阵。一个湮灭的多项式 p (i.e., such that [eq1]) 被称为最小的多项式 A if and only if it is monic 和 no 其他黑色湮灭多项式 A 程度低于 p.

这是一个非常简单的例子。

例子 Consider the $ kimes k $ identity matrix I. Then, the polynomial [eq2] 是 黑色(其领先的系数等于 1) 它歼灭了 I because[eq3] 这 polynomial p has degree 1. 没有其他危险的多项式较低程度的多项式,因为 只有低于的单声项 1 is[eq4] 哪一个 并不歼灭。所以, p 是最小的多项式 A.

存在和唯一性

最小的多项式总是存在,它是独一无二的。

主张 矩阵的最小多项式 A exists.

证明

湮灭多项式的集合在 至少一个声象构件,因为特征多项式 A 是一个毁灭的多项式 Cayley-Hamilton theorem。而且,有一个下限到黑色的程度 湮灭多项式 ([eq5] )。

主张 矩阵的最小多项式 A is unique.

证明

证据是矛盾的。假使,假设  $ p_ {1} $ and  $ p_ {2} $ 是两个不同的最小多项式。这一定是那个 [eq6] (否则两个中的一个不是最小的)。现在考虑湮灭 polynomial[eq7] 自从  $ p_ {1} $ and  $ p_ {2} $ 是声碑,具有相同的程度,它们的差异至少有一个学位 比他们少。我们可以分开 p 通过其前导系数(与零不同,因为  $ p_ {1} $ and  $ p_ {2} $ 是截然不同的)并获得具有较低的湮灭多项式 degree than  $ p_ {1} $ and  $ p_ {2} $ . Hence,  $ p_ {1} $ and  $ p_ {2} $ 不是最小的多项式,一个矛盾。

如何派生最小的多项式

在本节中,我们提出了一种用于找到最小多项式的算法 a $ kimes k $ matrix A.

我们首先询问声音中是否存在湮灭多项式 多项式学位 1, 那是那些服用的人 form[eq8] 如果有一个,则可以通过搜索系数来找到它  $ a_ {0} $ that solves the equation[eq9]

如果等式有解决方案,那么我们已经发现了最小的多项式。 否则,我们搜索一个毁灭的程度湮灭多项式 $2$, 谁的系数必须解决 equation[eq10]

如果有解决方案,那么我们已经发现了最小的多项式。如果没有,我们 增加多项式的程度,我们继续增加它,直到我们找到 最小多项式。我们保证首先找到它 K 因为Cayley-Hamilton定理保证了这一点  $ a ^ {k} $ can be written as a linear combination 的 lower powers of A.

例子 让我们寻找最小的多项式 matrix [eq11] 那里 is no coefficient  $ a_ {0} $ solving[eq12] 这 square of A is[eq13] 和 the equation[eq14] 是 solved by $ a_ {1} =  -  5 $ and $ a_ {0} = 6 $ . 因此,最小的多项式 A is[eq15]

其他多项式的除法

每个湮灭多项式是最小多项式的倍数。

主张 最小的多项式 A 划分每个湮灭多项式 A.

证明

表示最小的多项式 p. Let  $ p_ {1} $ 是任何其他湮灭多项式。这一定是那个 [eq16] (otherwise p 不是最小的)。由这件事 Division Algorithm , 我们 have[eq17] 在哪里 [eq18] (the case $q=0$ and $ r = p_ {1} $ 被排除在此事实之外 [eq19] )。 Moreover,[eq20] 因此, the remainder  $ r $ 是一个湮灭的多项式。如果  $ r $ 没有相同等于零,可以除以其前导系数 它成为一个湮灭多项式,其程度小于这一点 of p, 这与假设相矛盾 p 是一个最小的多项式。所以,  $ r $ 必须相同等于零 and[eq21] 在 other words, p 除以每隔一个湮灭多项式。

与特征多项式的相似之处

请记住,矩阵的特征多项式 A is [eq22] 在哪里 I 是身份矩阵。

还要记住,通过代数的基本定理,任何多项式 p of degree  $ mgeq 1 $ can be factorized as[eq23] 在哪里 [eq24] are roots of p and k 是一个常数。因子是因素的置换而独特的。

The linear factors $ z-lambda _ {j} $ 不一定是不同的,即两个或更多的线性因素可以是相等的 对彼此。如果出现相同的线性因子  亩 在分解中的时间,然后我们说这是多样性的  亩 .

在特征多项式的情况下 $裂(z
Ight)$, $k=1$ 而且根是 eigenvalues of A. 如果相同的特征值显示在一个以上的线性因素中,那么我们就说 重复特征值。

主张 Let A 是具有特征多项式的矩阵 [eq25] 在哪里 [eq24] 是不同的特征值 A and [eq27] are their respective algebraic multiplicities。然后,最小的多项式 A is[eq28] 在哪里 [eq29] for $ j = 1,ldots,m $.

证明

最小的多项式 p 将每个湮灭多项式分开,包括特征多项式  $ C $ , 这是由Cayley-Hamilton定理湮灭。因此,最小的 polynomial p must have the form[eq30] 在哪里 [eq31] for $ j = 1,ldots,m $. 我们将通过矛盾证明 $
u _{j}>0$. Suppose that $
u _{j}=0$ for some  $ j $ . Then $ lambda _ {j} $ is not a root of $ pleft(z
Ight)$, that is,[eq32][eq33] is an eigenvalue of $ pleft(a
Ight)$ (see 矩阵的特征值 polynomial),这意味着 [eq34] 因为 零矩阵仅具有零特征值。这是不可能的,因为 p 是一个湮灭的多项式。因此,我们已经到了矛盾和它 must be that $
u _{j}>0$ for every  $ j $ .

主张 如果矩阵没有重复的特征值,则其特征和最小值 polynomial coincide.

证明

如果没有重复的特征值,那么 we have [eq35] 在以前的证据中,哪个 implies[eq36] 因为 $
u _{j}>0$ for $ j = 1,ldots,m $.

类似的矩阵具有相同的多项式

记住两个矩阵 A and  $ b $ are similar if and only if there exists an invertible matrix  $ p $. such that[eq37]

事实证明,类似的矩阵具有相同的多项式多项式。

主张 Let A and  $ b $ be two similar $ kimes k $ 矩阵。然后,最小的多项式 A and  $ b $ coincide.

证明

p be a polynomial[eq38] 然后, [eq39] 或者 [eq40] 如果 p 是一个湮灭的多项式 A, then [eq41] and[eq42] 哪一个 implies that [eq43] because  $ p $. 是可逆的(因此通过组合列来获得零矢量的唯一方法 是将所有系数设置为零)。相似地, [eq43] implies [eq45]. Hence, p 是一个湮灭的多项式 A 如果并且只有它是湮灭多项式  $ b $ . 换句话说,两个矩阵的湮灭多项式的组 重合。结果,它们各自的最小多项式也需要 恰逢(因为它们是最低度的黑色多项式 各组湮灭多项式)。

一个关键的消磨权的命题是不仅是两个类似的 矩阵具有相同的多项式,但它们具有相同的组 湮灭多项式。

理解和解释最小多项式

为了完全理解最小的多项式,我们需要研究 主要分解 Theorem,提供解释指数的关键 [eq46] 最小多项式的线性因子的影响。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be a 3美元3美元 与特征值的矩阵 $ lambda _ {1} = 2 $, $ lambda _ {2} = 1 $, $ lambda _ {3} =  -  1 $. 衍生最小的多项式 A.

解决方案

自从 A 没有重复的特征值,那么它的特征和最小多项式 重合。因此,最小的多项式 A is[eq47]

练习2

找到最小的多项式 matrix[eq48]

解决方案

方程式 [eq49] 具有 显然没有解决方案。广场 A is[eq50] 这 equation[eq51] 是 written explicitly as[eq52] 它 没有解决方案,因为 $左(2,3
Ight)$ - entry of  $ a ^ {2} $ is equal to $-1$ 它无法通过拍摄两个零条目的线性组合来复制 (the $左(2,3
Ight)$ - entries of I and A )。 The third power of A is[eq53] 这 Cayley-Hamilton定理保证我们可以找到解决方案 of[eq54] 或者 [eq55] 这 solution is $ a_ {0} = 1 $ (通过解决来发现 $左(3,3
Ight)$ - entry of  $ a ^ {3} $ ), $ a_ {2} =  -  3 $ (通过解决来发现 $左(2,3
Ight)$ - entry of  $ a ^ {3} $ ), $ a_ {1} = 2 $ (通过解决任何其他条目来解决  $ a ^ {3} $ )。 因此,最小的多项式 A is[eq56]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "最小多项式", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/minimal-polynomial.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。