本讲座说明如何将 矩阵 标量。
请记住,标量只是一个数字,即具有
尺寸
.
定义
让
成为
矩阵和
标量。的产品
通过
是另一个
矩阵,用
,
这样
-th
项等于
由
-th
进入
,
那
是
对于
和
.
产品
可以用相同的方式定义。但是,产品的订单确实
并不重要,因为
.
因此,
可以认为与
.
例
让
并定义
矩阵
的
产品
是
基本上,所有通过实数相乘得到的属性都是 通过将矩阵乘以标量来继承。
命题(联想
属性)
矩阵与标量的乘积是缔合的,即
是的对于
任何矩阵
和任何标量
和
.
让
成为
矩阵。我们知道
是另一个
矩阵,使其
-th
项等于
由
-th
进入
,
那
是的
此外,
是一个
矩阵,使其
-th
项等于
由
-th
进入
,
那
是的
如
结果,我们有
那
从而,
我们已经证明
-th
进入
等于
-th
进入
.
因为每个人都是如此
和
,
该陈述被证明。
命题(分配属性
1)
矩阵与标量的乘积相对于
矩阵加法,
是的对于
任何标量
和任何矩阵
和
这样就可以有意义地定义它们的添加。
让
和
是
矩阵。通过矩阵加法的定义
是另一个
矩阵,使其
-th
项等于
-th
进入
和
-th
进入
,
那
是的
此外,
是一个
矩阵,使其
-th
项等于
由
-th
进入
,
那
是的
如
结果,我们有
那
从而,
我们已经证明
-th
进入
等于
-th
进入
.
因为每个人都是如此
和
,
该陈述被证明。
命题(分配属性
2)
矩阵与标量的乘积相对于
除了标量,
是的对于
任何标量
和
和任何矩阵
.
让
成为
矩阵。我们知道
是另一个
矩阵,使其
-th
项等于
由
-th
进入
,
那
是的
如
结果,我们有
那
从而,
我们已经证明
-th
进入
等于
-th
进入
.
因为每个人都是如此
和
,
该陈述被证明。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
如下
矩阵
让
.
计算产品
.
产品
是另一个
这样每个矩阵
和
,
的
-th
的元素
等于之间的乘积
和
-th
的元素
:
让
成为
行向量定义
通过
和
a
矩阵定义
通过
计算
的
产品
哪里
表示的转置
.
转置
是
的
介于
及其转置
是
哪一个
是一个标量。结果,我们有
那
定义两个
行
向量:
找
标量
这样
那
哪里
通过应用...的定义
将矩阵乘以标量,我们
获得通过
应用矩阵加法的定义,我们
得到
因此,
的
方程
是
满足且仅当
如果
哪一个
反过来满足,当且仅当
如果
但
这个
暗示
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵乘以标量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/multiplication-of-a-matrix-by-a-scalar.