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矩阵乘以标量

通过 博士

本讲座说明如何将 矩阵 标量。

目录

定义

请记住,标量只是一个数字,即具有 尺寸 $ 1imes 1 $.

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵和 $ lpha $ 标量。的产品 A 通过 $ lpha $ 是另一个 $ Kimes L $ 矩阵,用 $ lpha A $, 这样 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ lpha $$ left(k,l
权)$-th 进入 A, 那 是[eq1]对于 $ 1leq kleq K $$ 1leq lleq L $.

产品 $一个$ 可以用相同的方式定义。但是,产品的订单确实 并不重要,因为 $ aA_ {kl} = A_ {kl} a $. 因此, $一个$ 可以认为与 $ lpha A $.

$ lpha = 2 $ 并定义 2元3元 矩阵[eq2]的 产品 $ lpha A $[eq3]

物产

基本上,所有通过实数相乘得到的属性都是 通过将矩阵乘以标量来继承。

命题(联想 属性) 矩阵与标量的乘积是缔合的,即 是的[eq4]对于 任何矩阵 A 和任何标量 $ lpha $$ eta $.

证明

A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。我们知道 $ eta A $ 是另一个 $ Kimes L $ 矩阵,使其 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ eta $$ left(k,l
权)$-th 进入 A, 那 是的[eq5]此外, [eq6] 是一个 $ Kimes L $ 矩阵,使其 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ lpha $$ left(k,l
权)$-th 进入 $ eta A $, 那 是的[eq7]如 结果,我们有 那[eq8]从而, 我们已经证明 $ left(k,l
权)$-th 进入 [eq9] 等于 $ left(k,l
权)$-th 进入 [eq10]. 因为每个人都是如此 k$ l $, 该陈述被证明。

命题(分配属性 1) 矩阵与标量的乘积相对于 矩阵加法, 是的[eq11]对于 任何标量 $ lpha $ 和任何矩阵 A$ B $ 这样就可以有意义地定义它们的添加。

证明

A$ B $$ Kimes L $ 矩阵。通过矩阵加法的定义 $ A + B $ 是另一个 $ Kimes L $ 矩阵,使其 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ left(k,l
权)$-th 进入 A$ left(k,l
权)$-th 进入 $ B $, 那 是的[eq12]此外, [eq13] 是一个 $ Kimes L $ 矩阵,使其 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ lpha $$ left(k,l
权)$-th 进入 $ A + B $, 那 是的[eq14]如 结果,我们有 那[eq15]从而, 我们已经证明 $ left(k,l
权)$-th 进入 [eq16] 等于 $ left(k,l
权)$-th 进入 $ lpha A + lpha B $. 因为每个人都是如此 k$ l $, 该陈述被证明。

命题(分配属性 2) 矩阵与标量的乘积相对于 除了标量, 是的[eq17]对于 任何标量 $ lpha $$ eta $ 和任何矩阵 A.

证明

A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。我们知道 [eq18] 是另一个 $ Kimes L $ 矩阵,使其 $ left(k,l
权)$-th 项等于 $ lpha + eta $$ left(k,l
权)$-th 进入 A, 那 是的[eq19]如 结果,我们有 那[eq20]从而, 我们已经证明 $ left(k,l
权)$-th 进入 [eq21] 等于 $ left(k,l
权)$-th 进入 $ lpha A + eta A $. 因为每个人都是如此 k$ l $, 该陈述被证明。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 如下 3美金3美金 矩阵[eq22]$ lpha = 3 $. 计算产品 $ lpha A $.

产品 $ lpha A $ 是另一个 3美金3美金 这样每个矩阵 $ 1leq kleq 3 $$ 1leq lleq 3 $, 的 $ left(k,l
权)$-th 的元素 $ lpha A $ 等于之间的乘积 $ lpha $$ left(k,l
权)$-th 的元素 A: [eq23]

练习2

A 成为 $ 1imes 2 $ 行向量定义 通过[eq24]$ B $ a 2元2元 矩阵定义 通过[eq25]计算 的 产品[eq26]哪里 $ A ^ {op} $ 表示的转置 A.

转置 A[eq27]的 介于 A 及其转置 是[eq28]哪一个 是一个标量。结果,我们有 那[eq29]

练习3

定义两个 $ 1imes 2 $ 行 向量:[eq30]找 标量 $ lpha $ 这样 那[eq31]哪里[eq32]

通过应用...的定义 将矩阵乘以标量,我们 获得[eq33]通过 应用矩阵加法的定义,我们 得到[eq34]因此, 的 方程[eq35]是 满足且仅当 如果[eq36]哪一个 反过来满足,当且仅当 如果[eq37]但 这个 暗示[eq38]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵乘以标量", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/multiplication-of-a-matrix-by-a-scalar.

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