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幂等矩阵

通过 博士

如果将方形矩阵拉到足够大,则称其为幂等 高整数幂,我们得到零矩阵的结果。

目录

定义

我们从定义开始。

定义A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。我们说 A 是指数的幂 k 当且仅 如果[eq1][eq2]对于 [eq3].

指标 k 通常被称为矩阵的幂指数(nilpotency 在dex)。

空空间

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量.

请记住 空值 空间$ A ^ {j} $[eq4]和, 正如我们在关于 矩阵幂,越大 矩阵的功效是,其零空间越大。

主张$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后, A 是指数的幂 k 当且仅 如果[eq5][eq6]哪里 $子集$ 表示严格包含。

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这样的假设 A 是指数的幂 k. 然后,对于任何 $罪S $,[eq7]哪一个 暗示 [eq8]. 此外, [eq9]哪一个 表示至少一列 $ A ^ {k-1} $ 不为零。假设它是 $ l $-th 柱。让 S $$ e_ {l} 成为向量 典范 基础 这样 $ l $-th 项等于 1 并且其所有其他条目等于 0. 然后, $A^{k-1}e_{l}
eq 0$, 等于 $ l $-th 的列 $ A ^ {k-1} $. 作为结果, [eq10][eq11]. 现在让我们从以下假设开始证明“ 如果”部分: [eq12][eq11]. 对于任何 $罪S $, 我们 有[eq14]和, 在 特定,[eq15]对于 规范基础的每个向量 $ e_ {l} $, 这意味着所有的列 $ A ^ {k} $ 等于零。因此, $ A ^ {k} = 0 $. 以来 [eq16], 那里存在 $罪S $ 这样 那[eq17]哪一个 仅当至少一列 $ A ^ {k-1} $ 不为零。因此, $A^{k-1}
eq 0$.

范围

一个重要的事实是幂等矩阵的范围(或列空间) 不能与 $ S $.

主张$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵并通过以下方式表示其范围 [eq18]. 然后, A 仅幂零 如果[eq19]哪里 $子集$ 表示严格包含。

证明

如果 [eq20], 然后 A 全职$ A ^ {k} $ 排名较高(因为 的 两个全秩矩阵的乘积为全秩)。因此, $A^{k}
eq 0$ 对于任何 k.

特征值

以下命题以幂等矩阵为特征 特征值.

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当其所有特征值均等于零时,才为幂。

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这个假设 A 是指数的幂 k. 让 $ lambda $ 是...的特征值 A 与相关特征向量 $x
eq 0$, 那 是的[eq21]通过 将双方预先相乘 $ A ^ {k-1} $, 我们 得到[eq22]以来 $ A ^ {k} = 0 $, 先前的方程式 变成[eq23]$x
eq 0$, 这意味着 $ lambda = 0 $. 以来 $ lambda $ 是一个任意特征值, A 必须等于零。让我们证明“如果”部分,从 假设的所有特征值 A 为零。证明是矛盾的。假设 A 具有特征值 $lambda 
eq 0$. 然后,我们可以构造一个 舒尔 分解[eq24]在 哪一个 美元 是一个 ary矩阵$ T $ 是一个 上三角矩阵 这样 [eq25]. 换句话说, $ T $[eq26]的 矩阵 $ Q ^ {st} $ 是单一的,因此是可逆的。结果,我们可以找到一个向量 x 这样 那[eq27]哪里 $ e_ {1} $ 是规范基础的第一个向量(其第一项等于 1 而其他所有条目均为零)。 然后,[eq28]哪一个 暗示 $A^{k}
eq 0$, 矛盾。因此, A 不能有任何非零的特征值。

换一种说法, $ Kimes K $ 幂等矩阵是单个特征值等于零的矩阵,其中 代数的 多重性 等于 K.

特征值的几何多重性

现在我们证明一个关于几何多重性的简单事实。

主张A 成为 $ Kimes K $ 幂等矩阵。然后, A 是无缺陷的(即特征值的几何多重性) $ lambda = 0 $K) 当且仅当 $A=0$.

证明

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。让我们从以下假设开始证明“仅当”部分: A 在无缺陷。然后,的特征向量 A 对应于特征值 $ lambda = 0 $ 跨度 $ S $. 换一种说法, $ S $ 是...的本征空间 $ lambda $. 然后,对于任何 $罪S $, 我们 有[eq29]哪一个 暗示 $A=0$. 现在让我们从以下假设开始证明“如果”部分: $A=0$. 然后,对于任何 $罪S $, 我们 有[eq30]哪一个 暗示着 $ lambda = 0 $$ S $. 因此, A 是无缺陷的。

由于矩阵是 可对角线化 如果和 仅当它无缺陷时,先前的命题才暗示 幂等对角化矩阵是零矩阵。

最小多项式

请记住 最小的 多项式 p 矩阵 A 是最低的学位 单项多项式 这样 [eq31].

具有不同特征值的矩阵的最小多项式 [eq32] 具有代数多重性 [eq33] 可以写 如 [eq34]哪里 [eq35] 对于 $ j = 1,ldots,m $.

因此,当 A 是幂等的,它的最小多项式 变成[eq36]哪里 $1leq 
u leq K$.

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后, A 是指数的幂 k 当且仅当的最小多项式 A[eq37]

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这样的假设 A 是指数的幂 k. 然后, $ A ^ {k} = 0 $$A^{
u }
eq 0$ 如果 $
u <k$. 这意味着指数 $
u $ 最小多项式的等于 k (如果较大,则最小多项式将不是最低阶的单数 poly灭多项式)。让 我们现在从假设最小 多项式是 [eq38]. 然后,由于最小多项式正在消灭, [eq39]此外,[eq9]除此以外 p 不会是最小的。

哇片刻

根据先前的主张,尽管极其简单直观,但我们 哇!

我们先前定义的三个不同概念是同一件事 当我们将注意力集中在幂等矩阵上时:

  1. 幂等指数;

  2. 最小多项式中线性因子的指数;

  3. 的索引 矩阵 (即最小的幂,此后零空间将停止增长)。

我们强烈建议您修改 最小的讲座 多项式 同时牢记先前的主张。

幂等算子

幂等矩阵的概念可以推广为幂等矩阵 操作员。

定义$ S $ 是向量空间。让 $ f:S
ightarrow S $ 成为 线性算子。我们说 那 $ f $ 是指数的幂 k 当且仅当 $罪S $,[eq41]和 存在一个非零 $罪S $ 这样 那[eq42]

换句话说,线性算子 $ f $ 是指数的幂 k 当且仅 如果[eq43][eq44]哪里 $子集$ 表示严格包含 $ QTR {rm} {null} $ 表示 空空间 (或内核)的运算符。

什么时候 $ S $ 有限维的, 我们可以照常表示:

根据以上关于零空间的命题, $ f $ 是一个幂等映射,当且仅当 [eq48] 是任何基础的幂等矩阵 $ B $.

我们以一个简单但有用的事实结束本节。

主张$ S $ 是向量空间, $ f:S
ightarrow S $ 幂等运算符。如果 [eq49], 然后 $ f $ 是零映射。

证明

选择一个依据 $ B $, 由单个向量组成,因为 [eq50]. 因此,运算符矩阵 [eq51] 是一个标量。假设运算符是指数的幂 k. 然后, 健康)状况[eq52]能够 只有在 [eq53].

应用于广义本征空间

让我们再次考虑空间 $ S $ 在所有 Kx1 向量。

A 成为 $ Kimes K $ 矩阵, $ lambda $ 它的特征值之一 k 一个严格的正整数和 $ N_ {lambda,k} $ 与...相关的广义本征空间 $ lambda $:[eq54]

我们可以考虑受限线性算子 [eq55] 定义,对于任何 [eq56], 通过[eq57]

为了使定义有意义,我们需要检查 范围$ f_ {lambda,k} $ 包含在 $ N_ {lambda,k} $, 那是, [eq58] 每当 [eq56].

[eq56] 暗示 那[eq61]

如果我们将最后一个方程式的两边都乘以 [eq62], 我们 得到[eq63]哪一个 暗示 [eq64]. 从而, $ f_ {lambda,k} $ 确实是一个运算符,因为我们可以认为其共域等于 域。

此外, $ f_ {lambda,k} $ 是幂等运算符:根据域的定义 $ N_ {lambda,k} $, 我们 有[eq65]对于 每一个 [eq56]. 注意 $ f_ {lambda,k} $ 不一定是指数的幂等 k, 因为可能会有一个较小的整数 $ j $ 这样 那[eq67]对于 每一个 $罪S $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "幂等矩阵", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/nilpotent-matrix.

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