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非均匀真人在线斗地主

通过 博士

非同质 真人在线斗地主 方程式 是一个真人在线斗地主,其中常数向量在右手边 等号的一边不为零。

本讲座介绍了解决方案的一般特征 非均匀真人在线斗地主。

我们建议您阅读以下内容的讲座 同类真人在线斗地主 之前 阅读此。

目录

定义

非均质真人在线斗地主具有 形成[eq1]哪里 A 是一个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是一个 $酸橙1 $ 未知向量和 $ b $ 是一个 Kx1 常数的非零向量。

考虑一下 真人在线斗地主[eq2]它的 矩阵形式 是[eq3]的 真人在线斗地主是非均匀的,因为常数的向量 是[eq4]

行梯形形式的等效真人在线斗地主

通过 初级 行操作,非均质真人在线斗地主可以转化为 当量 真人在线斗地主 [eq5]哪里 系数矩阵 $ R $ 行梯形表格 (参考)。

行梯形形式的等效真人在线斗地主与解决方案具有相同的解决方案 原来的一个。

解决方案的存在

与同类真人在线斗地主不同,保证真人在线斗地主总是至少有一个 解(所谓的平凡解),非齐次真人在线斗地主可能不会 有解决方案。

正如关于 行梯形表格,如果REF 矩阵 $ R $ 零行 $ R_ {j ullet} $ 同时, $b_{j}
eq 0$, 则真人在线斗地主无解。如果没有这样的行,那么真人在线斗地主 有至少一种解决方案。

基本和非基本变量

参考矩阵的列有两种:

这是一个简单的例子。

考虑一下 3美金3美金 参考 矩阵[eq6]的 第一列和第三列是基本列,第二列是非基本列。

特殊解决方案

当真人在线斗地主有解决方案时,我们可以将任意选择的值分配给 非基本变量,然后使用反替代算法找到 解决真人在线斗地主的基本变量的值。因此找到了解决方案, 对于非基本变量的特定选择,称为特定 真人在线斗地主的解决方案。

考虑一下 真人在线斗地主[eq5]哪里 $ R $ 在前面的示例中给出 和[eq8]以来 第三行 $ R $ 为零,我们需要检查的第三项 $ b_ {R} $. 它为零,因此真人在线斗地主具有解决方案。变量 $ x_ {2} $ 是非基本的,我们可以为其分配任意值。我们选择 $ x_ {2} = 0 $. 现在,我们可以启动反向替换算法。第二个方程式 是[eq9]和 第一个方程 是[eq10]要么[eq11]从而, 真人在线斗地主的特定解决方案 是[eq12]

关联齐次真人在线斗地主

真人在线斗地主的一般解决方案是对所有真人在线斗地主的集合进行表征 可能的解决方案。

非均匀真人在线斗地主的一般解决方案通常由 将其与其关联的齐次真人在线斗地主的一般解联系起来。

[eq13]是 非均匀真人在线斗地主。然后,其相关的均质真人在线斗地主 是[eq14]

一般解决方案

非齐次真人在线斗地主的一般解的特征如下。

主张$ x_ {p} $ 是(1)的任何特定解决方案。然后, x 是(1)的解,当且仅当 $ x-x_ {p} $ 是(2)的解决方案。

证明

假设是 那[eq15]如果 (1)成立,那么我们可以从(1)减去(3) 获得[eq16]反过来, 如果(4)成立,那么我们可以将(3)加到上面,以获得(1)。

换句话说,我们可以推导出所有解的集合 非均质真人在线斗地主(1)分三步:

这是一个例子。

考虑以下不均匀 真人在线斗地主:[eq1]哪里 系数矩阵已经在行梯队中 形成:[eq20][eq21]那里 没有零行,因此保证真人在线斗地主具有解决方案。首先 两列是基本列,后两列是非基本列。我们可以找到一个 通过将非基本变量设置为零的特定解决方案 ($ x_ {3} = x_ {4} = 0 $)。 这样做之后,该解决方案就可以从系数矩阵中读取: $ x_ {1} = 4 $, $ x_ {2} = 2 $. 因此,我们有一个特殊的 解[eq22]也 相关的均质真人在线斗地主的解决方案可以立即解决 找:[eq23]因此, 给定非齐次真人在线斗地主的解是所有向量的集合 x 那 满足[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

找到一般的解决方案 真人在线斗地主[eq1]哪里[eq26][eq27]

为了方便起见,我们将 将真人在线斗地主转换成等效的真人在线斗地主 缩小排梯队 形成。我们将第二个方程除以 $3$; 然后,我们从第一个方程式中减去第二个方程式的两倍。结果 是 [eq28]的 没有零行这一事实保证了解决方案的存在 以简化的梯队形式。我们可以通过设置 $ x_ {3} = 0 $ (以来 $ x_ {3} $ 是非基本的)。因此,特定的解决方案 是[eq29]的 相关的齐次真人在线斗地主的一般解是所有的集合 向量 x 那 满足[eq30]的 给定非齐次真人在线斗地主的一般解包含所有向量 满足[eq31]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "非均匀真人在线斗地主", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/non-homogeneous-system.

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