正态矩阵

通过of矩阵的定义，我们 有 哪里 是个 单位矩阵.

根据厄米矩阵的定义，我们 有

根据偏斜Hermitian矩阵的定义， 我们 有

如果 对角线，产品 和 是对角线的。这些产品的主要对角线包含 形成 因此， .

证明是 如下：哪里： 逐步 和 我们使用了这样一个事实 以来 是单一的在步 我们使用了这样一个事实 是正常的。

我们将证明上层的命题 三角矩阵。通过归纳矩阵的尺寸来证明。 A 矩阵在定义上和对角线都是对角线，因为标量的乘积为 可交换的。现在，假设 当且仅当对角上三角矩阵是正常的。我们需要 证明该主张对 矩阵。为了证明“仅当”部分，我们选择一个 三角和法线矩阵 . 我们划分 从而形成以下 块矩阵:哪里 是标量， 是一个 零向量 是一个 向量和 是一个 矩阵。 然后， 和 以来 是正常的， , 这意味着每个 必须等于的相应块 . 的 平等暗示哪一个， 反过来意味着 由 的正定性 规范 。而且， 平等暗示 哪一个 意思是 是正常的。此外， 是上三角矩阵的对角线块。结果是 上三角，根据归纳假设，对角线。因此，我们 有 哪一个 是对角矩阵，因为 是标量， 是对角线的。这证明了“仅当”部分。 “如果”是微不足道的，因为 我们已经证明了一个命题，指出对角矩阵是 正常。下三角矩阵的证明是相似的。

我们首先证明“仅当”部分 从这个假设 是对角线化的，即与对角线矩阵类似 . 上面我们证明了1）单一相似性保留正态性，以及2） 对角矩阵是正常的。作为结果， 必须是正常的。现在我们可以从假设开始证明“如果”部分 那 是正常的。的 舒尔 分解 定理说，任何方阵 完全类似于上三角矩阵 : 以来 是正常的，单一的相似性保持正常性， 必须是正常的。但是上三角矩阵只有在 对角线。因此， 必须是对角线。

在关于 属性 特征值和特征向量，我们证明了的所有特征值 对称实矩阵 是真实的。这意味着对于任何特征值 , 我们可以通过寻找真实的解来找到真实的特征向量 到 方程 的 解决方案被保证存在，因为 根据特征值的定义是秩不足的。因此，真实的特征向量 发现的结果可用于导致Schur分解的算法中。在 特别是，如果我们调查 证明 分解，我们可以看到 户主矩阵 用过的 如果我们选择真实的特征向量，则存在 . 结果， 分解 能够 以这样的方式执行：矩阵 和 是真实的。矩阵 是单一的（即 ）， 但由于它也是真实的，所以我们有 和 那 是的 是正交的。而且，由于 是实的和对称的，是埃尔米特式的，因此是正常的。从证明 在前面的命题中，我们知道矩阵 在舒尔分解中是对角线的 是正常的。