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正态矩阵

通过 博士

矩阵是正常的,当且仅当预乘或后乘 通过其共轭转置得到相同的结果。原来, 当且仅当它整体上类似于对角矩阵时,矩阵才是正常的。

换句话说,不仅普通矩阵是对角线化的,而且 用于执行对角化的基础变化矩阵是ary。说在 外行术语,正常矩阵是表现良好的矩阵 对角线化。

目录

定义

让我们从正常性的正式定义开始。

定义 A $ Kimes K $ 矩阵 A 可以说是正常的 如果 [eq1]哪里 $ A ^ {st} $ 表示 共轭 转置A.

下面是一个简单的示例。

定义[eq2] 的 共轭转座 A[eq3] 的 的产品 $ A ^ {st} $A[eq4] 的 的产品 A$ A ^ {st} $[eq5]因此, [eq6]A 是正常的。

ary矩阵是正常的

几种重要的矩阵是正常的。

请记住,矩阵是 如果它是 等于它的 共轭转置。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是单一的,那是正常的。

证明

通过of矩阵的定义,我们 有 [eq7]哪里 I 是个 单位矩阵.

厄米矩阵是正常的

请记住,当且仅当矩阵等于其矩阵时,矩阵才是厄米矩阵 共轭转置。由于复杂的共轭使得实数不受影响, 当对称(等于其转置)时,实矩阵是Hermitian。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是厄米(Hermitian),那很正常。

证明

根据厄米矩阵的定义,我们 有 [eq8]

斜Hermitian矩阵是正常的

矩阵 A 仅当且仅当被称为倾斜-厄米特式 如果 [eq9]

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是倾斜的-厄米特式的,那是正常的。

证明

根据偏斜Hermitian矩阵的定义, 我们 有 [eq10]

对角矩阵是正常的

接下来是另一个有用的事实。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是对角线,那是正常的。

证明

如果 A 对角线,产品 $ A ^ {st} A $$ AA ^ {st} $ 是对角线的。这些产品的主要对角线包含 形成 [eq11]因此, [eq6].

单一相似性保持正常性

记住两个矩阵 A $ B $ 据说是 整体相似 当且仅 如果 [eq13]哪里  $ P $ 是一个ary矩阵

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让  $ B $ 统一地类似于 A. 如果 A 是正常的  $ B $ 是正常的。

证明

证明是 如下:[eq14]哪里: 逐步 $ rame {A} $$ rame {C} $ 我们使用了这样一个事实 $ PP ^ {st} = I $ 以来  $ P $ 是单一的在步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 A 是正常的。

法线三角形矩阵是对角线

以下命题将用于证明以下主要结果: 正常矩阵的对角线化。

主张 A 三角矩阵 是正常的 当且仅当它是对角线的。

证明

我们将证明上层的命题 三角矩阵。通过归纳矩阵的尺寸来证明。 A $ 1imes 1 $ 矩阵在定义上和对角线都是对角线,因为标量的乘积为 可交换的。现在,假设 [eq15] 当且仅当对角上三角矩阵是正常的。我们需要 证明该主张对 $ Kimes K $ 矩阵。为了证明“仅当”部分,我们选择一个 $ Kimes K $ 三角和法线矩阵 A. 我们划分 A 从而形成以下 块矩阵:[eq16]哪里 $ lpha $ 是标量, 0 是一个 [eq17] 零向量 $ eta $ 是一个 [eq18] 向量和 $伽马$ 是一个 [eq19] 矩阵。 然后,[eq20][eq21] 以来 A 是正常的, [eq6], 这意味着每个 $ A ^ {st} A $ 必须等于的相应块 $ AA ^ {st} $. 的 平等[eq23]暗示[eq24]哪一个, 反过来意味着 $ eta = 0 $ 的正定性 规范 。而且, 平等[eq25]暗示[eq26] 哪一个 意思是 $伽马$ 是正常的。此外, $伽马$ 是上三角矩阵的对角线块。结果是 上三角,根据归纳假设,对角线。因此,我们 有 [eq27] 哪一个 是对角矩阵,因为 $ lpha $ 是标量, $伽马$ 是对角线的。这证明了“仅当”部分。 “如果”是微不足道的,因为 我们已经证明了一个命题,指出对角矩阵是 正常。下三角矩阵的证明是相似的。

ary对角化

我们现在准备证明最重要的结果。

记住,矩阵 A 据说是 可对角线化 如果和 仅当存在可逆矩阵时  $ P $ 这样 那 [eq28] $ D $ 是对角线的。换一种说法, A 类似于对角矩阵  $ D $ .

原来,  $ D $ 是...的特征值 A 和的列  $ P $ 特征向量A.

什么时候  $ P $ 是单一的,对角化 变成[eq29] 和 我们说 A 可整体对角线化。

主张 A $ Kimes K $ 矩阵 A 当且仅当它是正常的时,才可整体对角线化。

证明

我们首先证明“仅当”部分 从这个假设 A 是对角线化的,即与对角线矩阵类似  $ D $ . 上面我们证明了1)单一相似性保留正态性,以及2) 对角矩阵是正常的。作为结果, A 必须是正常的。现在我们可以从假设开始证明“如果”部分 那 A 是正常的。的 舒尔 分解 定理说,任何方阵 A 完全类似于上三角矩阵  $ T $ :[eq30] 以来 A 是正常的,单一的相似性保持正常性,  $ T $ 必须是正常的。但是上三角矩阵只有在 对角线。因此,  $ T $ 必须是对角线。

回想一下 $ Kimes K $ 对角矩阵 A 没有缺陷,也就是说,它具有 K 线性地 独立特征向量。在普通矩阵的情况下 A, 特征向量矩阵  $ P $ 是单一的,这意味着  $ P $ 是正常的。换句话说, $ Kimes K $ 正态矩阵 A 拥有一套 K 正交特征向量。换句话说,有一个 基础 正交的 法线矩阵本征空间的向量。

对称实矩阵的正交对角化

当矩阵 A 被对角化是实和对称的,那么两个特征值矩阵  $ D $ 和基础变化矩阵  $ P $ 是真实的。

主张A 成为 $ Kimes K $ 实和对称矩阵。然后可以对角线化 如 [eq31]哪里 都  $ D $  $ P $ 是真实的  $ D $ 是对角线和  $ P $ 是正交的。

证明

在关于 属性 特征值和特征向量,我们证明了的所有特征值 对称实矩阵 A 是真实的。这意味着对于任何特征值 $ lambda $, 我们可以通过寻找真实的解来找到真实的特征向量 $x
eq 0$ 到 方程[eq32] 的 解决方案被保证存在,因为 $ Alambda I $ 根据特征值的定义是秩不足的。因此,真实的特征向量 发现的结果可用于导致Schur分解的算法中。在 特别是,如果我们调查 证明 分解,我们可以看到 户主矩阵 用过的 如果我们选择真实的特征向量,则存在 A. 结果, 分解[eq33] 能够 以这样的方式执行:矩阵  $ D $  $ P $ 是真实的。矩阵  $ P $ 是单一的(即 $ P ^ {st} P = I $ ), 但由于它也是真实的,所以我们有 [eq34][eq35] 那 是的  $ P $ 是正交的。而且,由于 A 是实的和对称的,是埃尔米特式的,因此是正常的。从证明 在前面的命题中,我们知道矩阵  $ D $ 在舒尔分解中是对角线的 A 是正常的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

是个 矩阵[eq36]统一地 对角化的?

矩阵 A 是上三角形。如果可以整体对角线化,那将是正常的。 但是上三角矩阵只有对角线才是正常的。矩阵 A 不是对角线,因此它不是正常的,也不是单一的 可对角线化。

练习2

是个 矩阵[eq37]统一地 对角化的?

矩阵 A 是对称的(等于其转置)。由于它是真实的,所以它也是 埃尔米蒂安。我们知道埃尔米特矩阵是正常的。因此, A 是正常的并且可以整体对角线化。

练习3

检查矩阵是否 [eq38] 是 正常。

的共轭转置 A[eq39] 我们 需要计算 产品展示[eq40][eq41]从而, [eq42]A 不正常。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正态矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/normal-matrix.

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