矩阵是正常的,当且仅当预乘或后乘 通过其共轭转置得到相同的结果。原来, 当且仅当它整体上类似于对角矩阵时,矩阵才是正常的。
换句话说,不仅普通矩阵是对角线化的,而且 用于执行对角化的基础变化矩阵是ary。说在 外行术语,正常矩阵是表现良好的矩阵 对角线化。
让我们从正常性的正式定义开始。
定义
A
矩阵
可以说是正常的
如果
哪里
表示 共轭
转置 的
.
下面是一个简单的示例。
例
定义 的
共轭转座
是
的
的产品
和
是
的
的产品
和
是
因此,
和
是正常的。
几种重要的矩阵是正常的。
主张
让
成为
矩阵。如果
是单一的,那是正常的。
通过of矩阵的定义,我们
有 哪里
是个 单位矩阵.
请记住,当且仅当矩阵等于其矩阵时,矩阵才是厄米矩阵 共轭转置。由于复杂的共轭使得实数不受影响, 当对称(等于其转置)时,实矩阵是Hermitian。
主张
让
成为
矩阵。如果
是厄米(Hermitian),那很正常。
根据厄米矩阵的定义,我们
有
矩阵
仅当且仅当被称为倾斜-厄米特式
如果
主张
让
成为
矩阵。如果
是倾斜的-厄米特式的,那是正常的。
根据偏斜Hermitian矩阵的定义,
我们
有
接下来是另一个有用的事实。
主张
让
成为
矩阵。如果
是对角线,那是正常的。
如果
对角线,产品
和
是对角线的。这些产品的主要对角线包含
形成
因此,
.
记住两个矩阵
和
据说是 整体相似
当且仅
如果
哪里
是一个ary矩阵
主张
让
成为
矩阵。让
统一地类似于
.
如果
是正常的
是正常的。
证明是
如下:哪里:
逐步
和
我们使用了这样一个事实
以来
是单一的在步
我们使用了这样一个事实
是正常的。
以下命题将用于证明以下主要结果: 正常矩阵的对角线化。
主张 A 三角矩阵 是正常的 当且仅当它是对角线的。
我们将证明上层的命题
三角矩阵。通过归纳矩阵的尺寸来证明。
A
矩阵在定义上和对角线都是对角线,因为标量的乘积为
可交换的。现在,假设
当且仅当对角上三角矩阵是正常的。我们需要
证明该主张对
矩阵。为了证明“仅当”部分,我们选择一个
三角和法线矩阵
.
我们划分
从而形成以下
块矩阵:
哪里
是标量,
是一个
零向量
是一个
向量和
是一个
矩阵。
然后,
和
以来
是正常的,
,
这意味着每个
必须等于的相应块
.
的
平等
暗示
哪一个,
反过来意味着
由 的正定性
规范 。而且,
平等
暗示
哪一个
意思是
是正常的。此外,
是上三角矩阵的对角线块。结果是
上三角,根据归纳假设,对角线。因此,我们
有
哪一个
是对角矩阵,因为
是标量,
是对角线的。这证明了“仅当”部分。 “如果”是微不足道的,因为
我们已经证明了一个命题,指出对角矩阵是
正常。下三角矩阵的证明是相似的。
我们现在准备证明最重要的结果。
记住,矩阵
据说是
可对角线化 如果和
仅当存在可逆矩阵时
这样
那
和
是对角线的。换一种说法,
类似于对角矩阵
.
原来,
是...的特征值
和的列
是
特征向量 的
.
什么时候
是单一的,对角化
变成
和
我们说
可整体对角线化。
主张
A
矩阵
当且仅当它是正常的时,才可整体对角线化。
我们首先证明“仅当”部分
从这个假设
是对角线化的,即与对角线矩阵类似
.
上面我们证明了1)单一相似性保留正态性,以及2)
对角矩阵是正常的。作为结果,
必须是正常的。现在我们可以从假设开始证明“如果”部分
那
是正常的。的 舒尔
分解 定理说,任何方阵
完全类似于上三角矩阵
:
以来
是正常的,单一的相似性保持正常性,
必须是正常的。但是上三角矩阵只有在
对角线。因此,
必须是对角线。
回想一下
对角矩阵
没有缺陷,也就是说,它具有
线性地
独立特征向量。在普通矩阵的情况下
,
特征向量矩阵
是单一的,这意味着
是正常的。换句话说,
正态矩阵
拥有一套
正交特征向量。换句话说,有一个
基础 正交的
法线矩阵本征空间的向量。
当矩阵
被对角化是实和对称的,那么两个特征值矩阵
和基础变化矩阵
是真实的。
主张
让
成为
实和对称矩阵。然后可以对角线化
如
哪里
都
和
是真实的
是对角线和
是正交的。
在关于
属性
特征值和特征向量,我们证明了的所有特征值
对称实矩阵
是真实的。这意味着对于任何特征值
,
我们可以通过寻找真实的解来找到真实的特征向量
到
方程
的
解决方案被保证存在,因为
根据特征值的定义是秩不足的。因此,真实的特征向量
发现的结果可用于导致Schur分解的算法中。在
特别是,如果我们调查
证明
分解,我们可以看到
户主矩阵 用过的
如果我们选择真实的特征向量,则存在
.
结果,
分解
能够
以这样的方式执行:矩阵
和
是真实的。矩阵
是单一的(即
),
但由于它也是真实的,所以我们有
和
那
是的
是正交的。而且,由于
是实的和对称的,是埃尔米特式的,因此是正常的。从证明
在前面的命题中,我们知道矩阵
在舒尔分解中是对角线的
是正常的。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
是个
矩阵统一地
对角化的?
矩阵
是上三角形。如果可以整体对角线化,那将是正常的。
但是上三角矩阵只有对角线才是正常的。矩阵
不是对角线,因此它不是正常的,也不是单一的
可对角线化。
是个
矩阵统一地
对角化的?
矩阵
是对称的(等于其转置)。由于它是真实的,所以它也是
埃尔米蒂安。我们知道埃尔米特矩阵是正常的。因此,
是正常的并且可以整体对角线化。
检查矩阵是否
是
正常。
的共轭转置
是
我们
需要计算
产品展示
和
从而,
和
不正常。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "正态矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/normal-matrix.