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正交补码

通过 博士

给定向量空间 $ S $, 子集的正交补 $ R $ 是的子空间 $ S $ 由与以下向量正交的所有向量形成 $ R $.

目录

定义

记住两个向量 $ s $$ r $ 如果他们的 内部产品 等于 零:[eq1]

定义$ S $ 成为 向量空间。让 $ R $ 成为...的子集 $ S $. 的正交补 $ R $, 表示为 $ R ^ {ot} $, 是 [eq2]

让我们举一个简单的例子。

$ S $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 列向量 有真实 条目。两个之间的内积 向量[eq3][eq4]考虑 集合 [eq5] 由单人组成 向量[eq6]然后, 的正交补 $ R $[eq7]从而, $ R ^ {ot} $ 由所有向量组成 $罪S $ 谁的第二次入境 $ s_ {2} $ 等于第一个条目 $ s_ {1} $.

正交补码是子空间

无论子集如何 $ R $ 选择,其正交补码 $ R ^ {ot} $ 是一个子空间,即关于 线性组合.

主张$ S $ 是向量空间。让 $ R $ 成为...的子集 $ S $. 然后,正交补码 $ R ^ {ot} $ 是的子空间 $ S $.

证明

任意选择 $ rin R,$ [eq8] 和两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 然后,[eq9]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在第一个参数中使用了内积的线性: 步 $ rame {B} $ 我们使用了这样一个事实 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 属于 $ R ^ {ot} $ 因此与的每个向量正交 $ R $. 因此,我们证明了向量的任何线性组合 $ R ^ {ot} $ 与的每个元素正交 $ r $. 因此,它属于 $ R ^ {ot} $. 作为结果, $ R ^ {ot} $ 关于采取线性组合是封闭的。因此,它是一个子空间。

互补性

记住,给定两个子空间 $ S_ {1} $$ S_ {2} $$ S $, 他们的总和是 组[eq10]

而且,什么时候 [eq11], 那我们说 总和是直接的 然后我们写 $ S_ {1} oplus S_ {2} $.

另外,当 那[eq12]然后 两个子空间 $ S_ {1} $$ S_ {2} $ 据说是 补充 子空间。换句话说,如果两个子空间是直接的,则它们是互补的 总和给出整个向量空间 $ S $ 结果是。

原来,如果 $ R $ 是一个子空间,那么 $ R ^ {ot} $ 是其互补子空间之一。这就是为什么 $ R ^ {ot} $ 被称为正交“补码”。

主张$ S $ 成为 有限维的 向量空间。让 $ R $ 是...的子空间 $ S $. 然后,正交补码 $ R ^ {ot} $ 是的互补子空间 $ R $.

证明

我们首先证明 [eq13]那 是,任何向量 $罪S $ 可以写成两个向量之和,一个取自 $ R $ 还有一个从 $ R ^ {ot} $. 以来 $ S $ 还有, $ R $ 是有限维的,我们可以找到一个 基础 [eq14]$ R $. 通过Gram-Schmidt过程,我们可以将其转换为 正交基础 [eq15]. 此外,正如关于 克-施密特过程, 任何 向量 $罪S $ 可以分解为 如下:[eq16]哪里 $ arepsilon _ {s} $ 与基础的所有向量正交 [eq17]. 这意味着 $ arepsilon _ {s} $ 与的每个向量正交 $ R $. 因此, [eq18]. 而且, 向量[eq19]属于 至 $ R $, 因为 $ R $, 是一个子空间,包含其向量的所有线性组合。其他 话,我们可以写任何向量 $ s $ 作为向量的总和 $ R $ 和向量 $ R ^ {ot} $. 从而,[eq20]现在, 如果向量 $ r $ 属于两者 $ R $$ R ^ {ot} $, 它必须与自身正交 是的[eq21]但 根据内积的确定性,唯一的矢量是 零向量。因此, [eq22]和 总和是直接的。 从而,[eq23]

在讲座中 互补子空间, 我们已经讨论了补语不一定是唯一的事实, 是,子空间可以有很多不同的补码 $ R $. 相反,正交补码是唯一的 $ R ^ {ot} $ 由必须包含所有向量的条件精确标识 $ s $ 那 满足[eq24]

双重互补

如果我们两次取正交补数,我们会回到原始的 子空间。

主张$ S $ 是有限维向量空间。让 $ R $ 是...的子空间 $ S $. 然后,[eq25]

证明

根据定义 $ R ^ {ot} $, 任何向量 $ rin R $ 与的所有向量正交 $ R ^ {ot} $ 因此属于 [eq26]. 从而,[eq27]现在, 选择任何向量 [eq28]. 以来 $ S $ 是有限维的 $ R $ 是一个子空间 [eq29]$ t $ 有 分解[eq30]哪里 $ rin R $$ sin R ^ {ot} $. 我们有 那[eq31]因为 $ t $, 在 [eq32], 与...的所有元素正交 $ R ^ {ot} $. 此外, [eq33]因为 $ r $, 在 $ R $, 与...的所有元素正交 $ R ^ {ot} $. 因此, [eq34]通过 内积的确定性,这意味着 $s=0$. 因此, $ t = rin R $. 因此,我们证明了最初的假设是 [eq28] 暗示 $锡R $. 其他 话,[eq36]通过 将包含关系(1)和(2)放在一起,我们得到 [eq37].

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ R $ 是包含的所有向量的子空间 形成[eq38]哪里 $ lpha $, $ eta $$伽马$ 可以是任何满足 [eq39]. 什么是正交补 $ R $? 特别是,向量的输入项受什么约束 $ R ^ {ot} $ 需要满足吗?你能找到跨度的向量吗 $ R ^ {ot} $?

的向量 $ R $ 可以写 如 [eq40]在 也就是说, $ R $ 跨度 由两个 向量[eq41]的 正交补码 $ R ^ {ot} $ 包含所有向量 $罪S $ 那 满足[eq42]对于 任何两个标量 $ lpha $$ eta $. 由于每个方程都需要满足 $ lpha $$ eta $, 肯定是 那[eq43]表示 通过 [eq44] 的三个组成部分 $ s $:[eq45]然后,[eq46][eq47]从而, 正交补码 $ R ^ {ot} $ 包含所有向量 $ s $ 谁的坐标 [eq44] 满足两个 约束[eq49][eq50]这些 约束仅由的向量满足 形成[eq51]在 也就是说, $ R ^ {ot} $ 被 向量[eq52]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正交补码", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/orthogonal-complement.

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