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正交基础

经过 ,博士学位

正式的基础是载体具有单位规范的基础,并且是 彼此正交。

正交基础在应用中很重要,因为代表性 在正交基础上的矢量称为傅里叶扩张,是 特别容易获得。

为了了解这段讲座,我们需要熟悉这些概念 of inner product and norm.

目录

正式套装

回想一下,如果它们的内部产品等于,则两个向量是正交的 zero.

定义 Let $ s $ be a 向量 space equipped with an inner product [eq1]. A set of K vectors [eq2] 据说是一个单反正规设置如果只有 if[eq3]

因此,正常组合中的所有载体都彼此正交并具有 unit norm:[eq4]

让我们制作一个简单的例子。

例子 Consider the space $ s $ of all $ 3 $ 1 $ column vectors having real 参赛作品,与内在 product[eq5]在哪里 $ r,sin s $ and $ s ^ {intercal} $ 表示转置 $ s $. 考虑两种向量 [eq6]这 inner product of $ s_ {1} $ with itself is[eq7]这 inner product of $ s_ {2} $ with itself is[eq8]这 inner product of $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ is[eq9]所以, $ s_ {1} $ and $ s_ {2} $ 形成一个正式的集合。

正式集是线性的独立性

下一个命题显示正交集的关键属性。

主张 Let $ s $ 成为配备内部产品的矢量空间 [eq10]. 正式集的载体 [eq11] are linearly independent.

证明

证据是矛盾的。假设 the vectors [eq12] 是线性依赖的。然后,存在 K scalars [eq13], 并非全部等于零,这样 [eq14]因此, for any $ j = 1,ldots,k $,[eq15]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们首先使用了内部产品的添加剂和同质性 argument; in step $ rame {b} $ 我们使用了我们正在处理正常的套装,这样 [eq16] if $k
eq j$; in step $ rame {c} $ 我们使用了传感器的事实 $ s_ {j} $ 有单位规范。因此,所有系数 [eq17] 必须等于零。我们已经抵达了一个矛盾,作为一个矛盾 结果,假设 [eq18] 线性依赖是假的。因此,它们是线性的独立性。

正畸载体的基础

如果一个正式的设定是其空间的基础,那么它被称为 orthonormal basis.

定义 Let $ s $ 成为配备内部产品的矢量空间 [eq19]. A set of K vectors [eq20] 被称为正常的基础 $ s $ 如果他们是一个 basis for $ s $ 它们形成了一个正式的套装。

在下一个例子中,我们显示坐标空间的规范基础是 一个正式的基础。

例子 如前面的示例一样,考虑空间 $ s $ of all $ 3 $ 1 $ 列向量具有实际条目,与内部一起 product[eq21]为了 $ r,sin s $. 让我们考虑三个 vectors[eq22]哪一个 constitute the canonical basis of $ s $. We can clearly see that[eq23]为了 instance,[eq24][eq25]因此, 规范基础是一个正式的基础。

傅里叶扩张

令人难以置信的易于导出给定载体的表示作为一个 线性组合正常的基础。

主张 Let $ s $ 成为配备内部产品的矢量空间 [eq26]. Let [eq27] 是一个正式的基础 $ s $. Then, for any $ sin s $, we have[eq28]

证明

假设独特的代表 $ s $ 就此而言 is[eq29]在哪里 [eq30] 是标量。那么,对于 $ j = 1,ldots,k $, we have that[eq31]在哪里: in step $ rame {a} $ 我们首先使用了内部产品的添加剂和同质性 argument; in step $ rame {b} $ 我们已经使用了我们正在处理正常的基础,所以 [eq32] if $k
eq j$; in step $ rame {c} $ 我们使用了传感器的事实 $ b_ {j} $ 有单位规范。因此,我们已经发现了 $ lpha _ {j} = $ [eq33] for any $ j $, 这证明了这个命题。

The linear combination 以上称为傅里叶扩展和系数 [eq34] 被称为傅里叶系数。

换句话说,我们可以找到系数 $ b_ {k} $ 通过简单地计算内部产品 $ s $ with $ b_ {k} $.

例子 Let $ s $ be the space of all $ 2倍1美元 列向量 with complex entries,与内在 product[eq35]在哪里 $ r,sin s $ and $ s ^ {st} $ is the conjugate transpose of $ s $. 考虑正式 basis[eq36]考虑 the vector[eq37]然后, 第一个傅里叶系数 $ s $ is[eq38]和 第二傅里叶系数 is[eq39]我们 can check that $ s $ 确实可以作为基础的线性组合写成 coefficients just derived:[eq40]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

使用前面引入的两个复合矢量的正式基础 派生傅里叶系数的示例 vector[eq41]

解决方案

第一个傅里叶系数是衍生的 通过计算内部产品 $ s $ and $ b_ {1} $:[eq42]这 通过计算内部产品来发现第二傅里叶系数 $ s $ and $ b_ {2} $:[eq43]

练习2

验证上一项运动中发现的傅里叶系数是 正确的。特别是检查使用它们以线性地组合两者 基础的载体给予 $ s $ as a result.

解决方案

傅里叶代表 $ s $ is[eq44]哪一个 是所需的结果。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "正交基础", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/orthonormal-basis.

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