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正交基础

通过 博士

正交基是其向量具有单位范数且为 彼此正交。

正交基在应用中很重要,因为 以正交为基础的向量,称为傅立叶展开,是 特别容易得出。

为了理解本讲座,我们需要熟悉这些概念 的 内部产品 规范.

目录

正交集

回想两个向量如果它们的内积等于则是正交的 零。

定义$ S $ 成为 向量空间 配备 内部产品 [eq1]. 一套 K 向量 [eq2] 如果且仅当被称为正交集 如果[eq3]

因此,正交集合中的所有向量彼此正交并且具有 单元 规范:[eq4]

让我们举一个简单的例子。

考虑空间 $ S $ 在所有 $ 3imes 1 $ 列向量 有真实 条目以及内部 产品[eq5]哪里 $ r,sinS $$ s ^ {intercal} $ 表示的转置 $ s $. 考虑两个向量的集合 [eq6]的 的内积 $ s_ {1} $ 与自己 是[eq7]的 的内积 $ s_ {2} $ 与自己 是[eq8]的 的内积 $ s_ {1} $$ s_ {2} $[eq9]因此, $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 形成一个正交集。

正交集是线性独立的

下一个命题显示正交集的关键属性。

主张$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq10]. 正交集的向量 [eq11] 线性独立.

证明

证明是矛盾的。假设 向量 [eq12] 是线性相关的。然后,存在 K 标量 [eq13], 并非全部等于零,这样 [eq14]从而, 对于任何 $ j = 1,ldots,K $,[eq15]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在第一版中就使用了内积的可加性和同质性 论据;在步 $ rame {B} $ 我们利用了一个事实,即我们正在处理一个正交集,因此 [eq16] 如果 $k
eq j$; 在步 $ rame {C} $ 我们已经利用了向量 $ s_ {j} $ 有单位规范。因此,所有系数 [eq17] 必须等于零。我们已经产生了矛盾,作为一个 结果,这个假设 [eq18] 线性相关为假。因此,它们是线性独立的。

正交向量的基础

如果正交集是其空间的基础,则称其为 正交基础。

定义$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq19]. 一套 K 向量 [eq20] 被称为的正交基础 $ S $ 当且仅当它们是一个 基础 对于 $ S $ 它们形成一个正交集。

在下一个示例中,我们证明坐标空间的规范基础是 正交基础。

与前面的示例一样,请考虑空间 $ S $ 在所有 $ 3imes 1 $ 具有实项的列向量,以及内部 产品[eq21]对于 $ r,sinS $. 让我们考虑三个 向量[eq22]哪一个 构成 规范基础$ S $. 我们可以清楚地看到 那[eq23]对于 实例[eq24][eq25]从而, 规范基础是正交基础。

傅立叶展开

推导给定向量的表示形式非常容易 正交基础的线性组合。

主张$ S $ 是配备有内积的向量空间 [eq26]. 让 [eq27] 作为...的正交基础 $ S $. 然后,对于任何 $罪S $, 我们 有[eq28]

证明

假设的唯一表示 $ s $ 在基础上 是[eq29]哪里 [eq30] 是标量。然后, $ j = 1,ldots,K $, 我们有 那[eq31]哪里: 在步 $ rame {A} $ 我们在第一版中就使用了内积的可加性和同质性 论据;在步 $ rame {B} $ 我们利用了一个正态基础的事实,因此 [eq32] 如果 $k
eq j$; 在步 $ rame {C} $ 我们已经利用了向量 $ b_ {j} $ 有单位规范。因此,我们发现 $ lpha _ {j} = $ [eq33] 对于任何 $ j $, 证明了这一命题。

线性组合 以上称为傅立叶展开式和系数 [eq34] 被称为傅立叶系数。

换句话说,我们可以找到 $ b_ {k} $ 通过简单地计算 $ s $$ b_ {k} $.

$ S $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 列向量与 复杂的条目,连同内在 产品[eq35]哪里 $ r,sinS $$ s ^ {st} $ 是个 共轭转置$ s $. 考虑正交 基础[eq36]考虑 的 向量[eq37]然后, 的第一傅立叶系数 $ s $[eq38]和 第二傅立叶系数 是[eq39]我们 可以检查一下 $ s $ 确实可以写成基础与 系数只是 派生:[eq40]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

使用前面介绍的两个复数向量的正交基础 导出的傅立叶系数的示例 向量[eq41]

推导第一傅里叶系数 通过计算的内积 $ s $$ b_ {1} $:[eq42]的 第二傅立叶系数通过计算 $ s $$ b_ {2} $:[eq43]

练习2

验证在上一个练习中找到的傅立叶系数为 正确。特别是,请检查使用它们线性组合两者 基础向量给出 $ s $ 结果是。

的傅立叶表示 $ s $[eq44]哪一个 是理想的结果。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正交基础", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/orthonormal-basis.

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