置换真人在线斗地主是重复交换行和 单位真人在线斗地主的列。
排列真人在线斗地主的正式定义如下。
定义
A
真人在线斗地主
是一个置换真人在线斗地主,当且仅当它可以从
单位真人在线斗地主
通过执行以下项的行和列的一个或多个互换
.
以下是一些示例。
例
的
排列
真人在线斗地主
具有
通过互换第二排和第三排获得
单位真人在线斗地主
例
的
排列
真人在线斗地主
具有
通过互换1)第二行和第三行以及2)第一行获得
和第四栏
单位真人在线斗地主
以下命题陈述了排列的重要性质 真人在线斗地主。
主张
置换真人在线斗地主的每一行都有一个等于
而所有其他条目等于
.
证明是归纳法。排列
真人在线斗地主
通过在以下位置执行一系列的行和列互换来获得
单位真人在线斗地主我们从单位真人在线斗地主开始
,
我们执行一次交换并获得一个真人在线斗地主
,
我们执行第二次交换并获得另一个真人在线斗地主
,
以此类推,直到
-th
互换我们得到真人在线斗地主
.
的行
是...的向量 标准
基础,因此它们具有指定的属性(每行具有一个等于
至
而所有其他条目等于
)。
我们需要证明,对于任何
,
如果
满足财产,然后
满足它。有两种情况:1)如果我们交换两行,那么我们
仅修改行的顺序,而不修改其条目;作为结果,
的行
满足的行所满足的相同属性
;
2)如果我们交换两列,则我们修改一些行;在
特别是两个
s
改变他们的位置;但是,它们保持在同一行,并且数字
的
s
和
s
在这些行上不会更改;结果,我们仍然有每一行
一项等于
而所有其他条目等于
.
列具有相同的属性。
主张
置换真人在线斗地主的每一列都有一个等于
而所有其他条目等于
.
证明几乎与 前一个。只需将行替换为列,反之亦然。
通过结合以上两个命题,我们得出以下命题。
主张
让
成为
排列真人在线斗地主。然后,其行是
标准基础 的空间
向量,其列是空间的标准基础
向量。
我们已经证明了
置换真人在线斗地主有一个等于
而所有其他条目等于
.
因此,这些行属于标准基础。我们需要证明那里
没有重复,即没有两个相同的行。这证明了
矛盾的是:如果两行相同,那么我们将有两行
s
在同一列上,这与事实是
置换真人在线斗地主有一个等于
而所有其他条目等于
.
因此,
是
不同 空间的标准基础的向量
向量。但是标准的基础是 究竟
向量。因此,
是标准依据。类似地,我们可以证明
是空间的标准基础
向量。
前一个命题的结果如下。
主张 置换真人在线斗地主为 全职.
一个的列
排列真人在线斗地主构成了空间的标准基础
向量,并且标准基础是一组
线性独立
向量。因此,真人在线斗地主是全等级的。
置换真人在线斗地主是正交真人在线斗地主,即其转置相等 相反。
主张
让
成为
排列真人在线斗地主。然后,
是可逆的
和
真人在线斗地主
是可逆的,因为它是完整排名(请参见上文)。根据定义
逆真人在线斗地主
需要
满足
从而,
我们需要证明
那
是个
-th
进入
等于
如果
并
如果
.
但是
-th
进入
等于的点积
-th
排
和
-th
的列
.
后者等于
-th
排
.
因此,
如果
,
然后
因为
每行
一项等于
而所有其他条目等于
;
因此,只有一个
这样
在那种情况下
.
如果
,
然后
因为
没有专栏
可以包含多个与零不同的条目;结果,所有的
产品展示
等于零。
请记住,有两种等效的执行方式
基本行和
列操作 在给定的真人在线斗地主上
:
直接在上面执行操作
;
对单位真人在线斗地主进行运算;然后,
被乘以通过变换恒等式获得的真人在线斗地主
真人在线斗地主。
请注意,行或列的互换是基本操作,而
排列真人在线斗地主是通过执行行的互换获得的,或者
单位真人在线斗地主的列。因此,当我们乘以a之前或之后
给定真人在线斗地主
通过置换真人在线斗地主
,
我们正在执行的行或列
与执行相同的互换
为了获得
.
例
考虑排列
真人在线斗地主获得
通过互换第一排和第二排
单位真人在线斗地主
.
现在,取真人在线斗地主
和
乘以
.
我们
得到
这个
与我们交换第一行和第二行所获得的结果相同
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "置换真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/permutation-matrix.