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置换真人在线斗地主

通过 博士

置换真人在线斗地主是重复交换行和 单位真人在线斗地主的列。

目录

定义

排列真人在线斗地主的正式定义如下。

定义 A $ Kimes K $ 真人在线斗地主 $ P $ 是一个置换真人在线斗地主,当且仅当它可以从 $ Kimes K $ 单位真人在线斗地主 I 通过执行以下项的行和列的一个或多个互换 I.

以下是一些示例。

3美金3美金 排列 真人在线斗地主[eq1]具有 通过互换第二排和第三排获得 $ 3动漫3 $ 单位真人在线斗地主 [eq2]

4美金4美金 排列 真人在线斗地主[eq3]具有 通过互换1)第二行和第三行以及2)第一行获得 和第四栏 4美金4美金 单位真人在线斗地主 [eq4]

物产

以下命题陈述了排列的重要性质 真人在线斗地主。

主张 置换真人在线斗地主的每一行都有一个等于 1 而所有其他条目等于 0.

证明

证明是归纳法。排列 真人在线斗地主 $ P $ 通过在以下位置执行一系列的行和列互换来获得 单位真人在线斗地主我们从单位真人在线斗地主开始 I, 我们执行一次交换并获得一个真人在线斗地主 $ P_ {1} $, 我们执行第二次交换并获得另一个真人在线斗地主 $ P_ {2} $, 以此类推,直到 $ N $-th 互换我们得到真人在线斗地主 $ P_ {N} = P $. 的行 I 是...的向量 标准 基础,因此它们具有指定的属性(每行具有一个等于 至 1 而所有其他条目等于 0)。 我们需要证明,对于任何 n, 如果 $ P_ {n-1} $ 满足财产,然后 $ P_ {n} $ 满足它。有两种情况:1)如果我们交换两行,那么我们 仅修改行的顺序,而不修改其条目;作为结果, 的行 $ P_ {n} $ 满足的行所满足的相同属性 $ P_ {n-1} $; 2)如果我们交换两列,则我们修改一些行;在 特别是两个 1s 改变他们的位置;但是,它们保持在同一行,并且数字 的 1s 和 0s 在这些行上不会更改;结果,我们仍然有每一行 一项等于 1 而所有其他条目等于 0.

列具有相同的属性。

主张 置换真人在线斗地主的每一列都有一个等于 1 而所有其他条目等于 0.

证明

证明几乎与 前一个。只需将行替换为列,反之亦然。

通过结合以上两个命题,我们得出以下命题。

主张$ P $ 成为 $ Kimes K $ 排列真人在线斗地主。然后,其行是 标准基础 的空间 $ 1imes K $ 向量,其列是空间的标准基础 Kx1 向量。

证明

我们已经证明了 置换真人在线斗地主有一个等于 1 而所有其他条目等于 0. 因此,这些行属于标准基础。我们需要证明那里 没有重复,即没有两个相同的行。这证明了 矛盾的是:如果两行相同,那么我们将有两行 1s 在同一列上,这与事实是 置换真人在线斗地主有一个等于 1 而所有其他条目等于 0. 因此, $ P $K 不同 空间的标准基础的向量 $ 1imes K $ 向量。但是标准的基础是 究竟 K 向量。因此, $ P $ 是标准依据。类似地,我们可以证明 $ P $ 是空间的标准基础 Kx1 向量。

前一个命题的结果如下。

主张 置换真人在线斗地主为 全职.

证明

一个的列 $ Kimes K $ 排列真人在线斗地主构成了空间的标准基础 Kx1 向量,并且标准基础是一组 线性独立 向量。因此,真人在线斗地主是全等级的。

排列真人在线斗地主的逆

置换真人在线斗地主是正交真人在线斗地主,即其转置相等 相反。

主张$ P $ 成为 $ Kimes K $ 排列真人在线斗地主。然后, $ P $ 是可逆的 和[eq5]

证明

真人在线斗地主 $ P $ 是可逆的,因为它是完整排名(请参见上文)。根据定义 逆真人在线斗地主 $ P ^ {-1} $ 需要 满足[eq6]从而, 我们需要证明 [eq7]那 是个 $left( i,j
ight) $-th 进入 $ PP ^ {intercal} $ 等于 1 如果 $ i = j $0 如果 $i
eq j$. 但是 $left( i,j
ight) $-th 进入 $ PP ^ {intercal} $ 等于的点积 i-th 排 $ P $$ j $-th 的列 $ P ^ {intercal} $. 后者等于 $ j $-th 排 $ P $. 因此, [eq8] 如果 $ i = j $, 然后[eq9]因为 每行 $ P $ 一项等于 1 而所有其他条目等于 0; 因此,只有一个 k 这样 $P_{ik}
eq 0$ 在那种情况下 $ P_ {ik} = 1 $. 如果 $i
eq j$, 然后[eq10]因为 没有专栏 k 可以包含多个与零不同的条目;结果,所有的 产品展示 $ P_ {ik} P_ {jk} $ 等于零。

置换真人在线斗地主和基本运算

请记住,有两种等效的执行方式 基本行和 列操作 在给定的真人在线斗地主上 A:

  1. 直接在上面执行操作 A;

  2. 对单位真人在线斗地主进行运算;然后, A 被乘以通过变换恒等式获得的真人在线斗地主 真人在线斗地主。

请注意,行或列的互换是基本操作,而 排列真人在线斗地主是通过执行行的互换获得的,或者 单位真人在线斗地主的列。因此,当我们乘以a之前或之后 给定真人在线斗地主 A 通过置换真人在线斗地主 $ P $, 我们正在执行的行或列 A 与执行相同的互换 I 为了获得 $ P $.

考虑排列 真人在线斗地主[eq11]获得 通过互换第一排和第二排 3美金3美金 单位真人在线斗地主 I. 现在,取真人在线斗地主 [eq12]和 乘以 $ P $. 我们 得到[eq13]这个 与我们交换第一行和第二行所获得的结果相同 A.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "置换真人在线斗地主", 列克特ures on 真人在线斗地主 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/permutation-matrix.

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