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指数 > Matrix algebra

排列矩阵

经过 ,博士学位

置换矩阵是重复交换行的结果 标识矩阵的列。

目录

定义

遵循置换矩阵的正式定义。

定义 A $ kimes k $ matrix $ p $. 如果且才能从其获得它,是置换矩阵 $ kimes k $ identity matrix I 通过执行行和列的一个或多个交互式 I.

有些例子遵循。

例子 The 3美元3美元 permutation matrix[eq1]具有 通过互换第二和第三行来获得 3美元3美元 identity matrix [eq2]

例子 The $ 4 $ 4 $ permutation matrix[eq3]具有 通过互换1)第二行和第三行而获得,第一个 和第四列 $ 4 $ 4 $ identity matrix [eq4]

特性

以下命题规定了排列的重要属性 matrices.

主张 每个排列矩阵的排列有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0.

证明

证明是诱导。排列 matrix $ p $. 通过执行一系列行和列交换来获得 身份矩阵。我们从身份矩阵开始 I, 我们执行一个互换并获得矩阵 $ p_ {1} $, 我们执行第二个交换并获得另一个矩阵 $ p_ {2} $, 依此类推到之前 $ n $ - 交换我们得到矩阵 $ p_ {n} = p $. The rows of I 是载体的 standard basis,所以他们拥有所说的财产(每行都有一个相等的条目 to 1 以及所有其他条目等于 0)。 我们需要证明这一点 n, if $ p_ {n-1} $ 满足财产,然后也 $ p_ {n} $ 满足它。有两种情况:1)如果我们互换两行,那么我们 仅修改行的顺序,但不是它们的条目;作为结果, the rows of $ p_ {n} $ 满足与行满意的相同的属性 $ p_ {n-1} $; 2)如果我们互换两列,那么我们修改了一些行;在 particular, two 1s 改变他们的立场;但是,它们仍然在相同的行中,以及数字 of 1s and 0s 在这些行上不会改变;因此,我们仍然有这一行 有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0.

相同的属性适用于列。

主张 置换矩阵的每列具有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0.

证明

证明几乎与之相同 前一个。只需用列替换行“,反之亦然。

通过组合上述两个命题,我们获得了以下命题。

主张 Let $ p $. be a $ kimes k $ 排列矩阵。然后,它的行是 标准 basis 的 the space of $ 1 k $ 载体,其列是空间的标准基础 Kx1 vectors.

证明

我们已经证明了每一行 置换矩阵有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0. 因此,行属于标准。我们需要证明那里 没有重复,也就是说,没有两个相同的行。证明了这一点 通过矛盾:如果两行相同,那么我们将有两个 1s 在同一列中,这与每个列的禁用相矛盾 置换矩阵有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0. Thus, the rows of $ p $. are K 不同的 空间的标准基础的载体 $ 1 k $ vectors。但标准基础是由 确切地 K vectors。因此,行的行 $ p $. 是标准的基础。类似地,我们可以证明这一列 $ p $. 是空间的标准基础 Kx1 vectors.

前面的命题的结果遵循。

主张 置换矩阵是 full-rank.

证明

a的列 $ kimes k $ 置换矩阵构成了空间的标准基础 Kx1 矢量,标准是一组 linearly independent vectors。因此,矩阵是全秩。

折叠矩阵的倒数

置换矩阵是正交矩阵,即,其转置是相等的 to its inverse.

主张 Let $ p $. be a $ kimes k $ 排列矩阵。然后, $ p $. is invertible and[eq5]

证明

矩阵 $ p $. 是可逆的,因为它是全级别(见上文)。通过定义 inverse matrix, $ p ^ { -  1} $ needs to satisfy[eq6]因此, 我们需要证明这一点 [eq7]那 is, the $left( i,j
ight) $ - entry of $ pp ^ {intercal} $ is equal to 1 if $ i = j $ and to 0 if $i
eq j$. But the $left( i,j
ight) $ - entry of $ pp ^ {intercal} $ 等于圆点产品 i - row of $ p $. and the $ j $ - column of $ p ^ {intercal} $. 后者等于转置 $ j $ - row of $ p $.. Therefore, [eq8] If $ i = j $, then[eq9]因为 each row of $ p $. 有一个等于的条目 1 以及所有其他条目等于 0; 因此,只存在一个 k such that $P_{ik}
eq 0$ and in that case $ p_ {ik} = 1 $. If $i
eq j$, then[eq10]因为 no column k 可以包含与零不同的多个条目;结果,所有的 products $ p_ {ik} p_ {jk} $ are equal to zero.

排列矩阵和基本操作

请记住,有两种等同的表现方式 elementary row and column operations on a given matrix A:

  1. 直接执行操作 A;

  2. 在身份矩阵上执行操作;然后, A 通过转换身份获得的矩阵预先乘以 matrix.

请注意,行或列的交换是基本操作,并且 通过执行行的交换来获得置换矩阵 标识矩阵的列。因此,当我们预先或后乘以一个 given matrix A 通过排列矩阵 $ p $., 我们正在执行行或列 A 正在进行的相同的交互式 I in order to obtain $ p $..

例子 考虑排列 matrix[eq11]获得 通过互换第一行和第二行 3美元3美元 identity matrix I. Now, take the matrix [eq12]和 pre-multiply it by $ p $.. We get[eq13]这 通过互换第一行和第二行来获得相同的结果 A.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "排列矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/permutation-matrix.

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