本讲座介绍了一些常用于多真人在线斗地主的事实 线性代数。
接下来,我们将使用字段的概念 先前在讲座中定义 向量空间.
我们需要知道的是,一个字段是一个包含两个操作的集合
(加法和乘法)满足许多属性。后者
通过实数的加法和乘法来满足通常的属性
数字,这是我们在学校学习的时间。重要的是,这些
复数的加法和乘法也可以满足特性
数字。因此,这两个实数集
和复数的集合
,
配备了他们通常的操作的领域。
当我们处理一个领域
,
我们可以取元素的非负整数幂
通过反复乘以:
是一个正整数,
,
然后
我们采用惯例
那 哪里
是该字段的乘法身份。
现在我们可以定义多真人在线斗地主。
定义
让
是一个领域。让
是一个非负整数。功能
被称为度的多真人在线斗地主
当且仅当
,
哪里
属于
和
.
要素
被称为多真人在线斗地主的系数。
在上面的定义中
假定为非负整数。如果
(即系数全部等于零),则
通常设置为
.
例
让我们考虑实数领域
.
功能
满足任何
,
是
度的多真人在线斗地主
.
例
功能
满足任何
,
是
度的多真人在线斗地主
.
多真人在线斗地主的最高次幂的系数(即 多真人在线斗地主的阶数)称为超前系数。
例
的前导系数
多真人在线斗地主 是
(提供
)。
多真人在线斗地主的前导系数等于
(该字段的乘法身份
)
被称为单项多真人在线斗地主。
例
的
多真人在线斗地主 是
一元。
例
的
多真人在线斗地主 是
不是一元的,因为其前导系数为
.
现在,我们介绍根的概念。
定义
让
成为一个领域,
度的多真人在线斗地主
.
我们说
是...的根源
当且仅
如果
多真人在线斗地主的许多理论都与研究根及其根有关 属性。
例
考虑多真人在线斗地主
定义的
通过
然后,
是多真人在线斗地主的根
因为
如果我们知道多真人在线斗地主的根
,
然后我们可以用它来分解
转化为更简单的多真人在线斗地主。
主张
让
成为一个领域,
度的多真人在线斗地主
.
然后,
是
的根
当且仅当
,
哪里
是度的多真人在线斗地主
.
让我们证明“如果”部分,从
假设
是...的根源
.
请注意,对于任何整数
和
,
我们
有
定义
注意
那
有系数
.
从而,
是度的多真人在线斗地主
和
以来
程度
,
我们
有
以来
是...的根源
,
我们
有
通过
从前者减去后一个方程,我们
获得
的
多真人在线斗地主
是
度
因为...的最高权力
它包含的是
(与
假设
程度
)。
现在让我们从以下假设开始证明“仅当”部分:
通过
设置
,
我们
获得
如
结果,
是...的根源
.
借助先前的因式分解定理,我们可以为 多真人在线斗地主的根数。
主张
让
成为一个领域,
度的多真人在线斗地主
.
然后,
最多
独特的根源。
证明是归纳法。对于
,
我们
有
与
.
因此,
有一个根
.
因此,该主张对
.
现在,让我们假设对度多真人在线斗地主是正确的
.
我们需要证明该要求对多真人在线斗地主是正确的
度
.
如果
至少有一个根
,
然后
哪里
是度的多真人在线斗地主
.
根据前面的等式
不同于
必须一定是
.
但
最多
通过归纳假设得出不同的根。因此,
最多
独特的根源。
先前的主张不涉及此案
,
在
哪一个
和
.
在这种情况下,没有根。
提供正数的多真人在线斗地主不能等于零 它的基础字段具有足够数量的成员。
主张
让
成为一个领域,
定义的多真人在线斗地主
通过
如果
至少有
成员和
对于任何
,
然后
证明是矛盾的。假设
至少一个系数不同于零。然后,程度
在。。。之间
和
.
作为结果,
最多可以有
独特的根源。但这与多真人在线斗地主相矛盾
至少有
独特的根源,因为
至少有
成员和
对于任何
.
因此,多真人在线斗地主的所有系数必须等于零。
领域要求
至少有
成员对现场始终感到满意
实数和字段
有无限多个成员的复数。
前面的命题可以看作是表明多真人在线斗地主的结果
是 线性独立:
线性组合它们的唯一方法是将零多真人在线斗地主作为
结果是将所有系数设置为零。
如果您想知道为什么我们要谈论使用“向量空间”的多真人在线斗地主
语言”,尤其是线性独立性的概念,
想修改有关的讲座 向量
空格 和 坐标
向量 在这里,我们讨论了一个事实,即所有多真人在线斗地主的集合
度
是向量空间。
由于任何次数的多真人在线斗地主
有
形成
的
所有次数的多真人在线斗地主的空间
是 跨度 由多真人在线斗地主
.
我们刚刚证明了后者是线性独立的。因此,
他们是一个 基础 对于
正在讨论的空间。
由于依据基础的表示是唯一的,因此没有其他方法
对基础进行线性组合以获得
.
换句话说,只有一种方法可以通过取
函数的线性组合
.
结果,多真人在线斗地主的阶数是唯一的。
下一个命题被称为代数基本定理。
主张
让
是次数的多真人在线斗地主
.
然后,
至少有一个根。
这是复杂分析的深层结果, 我们没有证明就离开了。
换句话说,当我们处理复数领域时, 保证找到给定多真人在线斗地主的根。
通过结合代数基本定理和因式分解定理, 我们得到以下重要命题。
主张
让
是次数的多真人在线斗地主
.
然后,存在复数
这样
那
对于
任何
.
数字
是唯一的,直到排列
.
我们首先证明存在
.
根据代数基本定理(FTA),
至少有一个根。用它来表示
.
然后,我们可以分解
如
哪里
是度的多真人在线斗地主
.
如果
,
然后
我们完成了。如果
,
FTA保证存在根源
的
.
所以我们
有
哪里
是度的多真人在线斗地主
.
如果
,
然后
我们完成了。否则,我们将其他条件排除在外,直到我们
获得理想的结果。现在,我们证明了独特性。通过执行
因素的倍增
,
我们
得到
通过
度多真人在线斗地主表示的唯一性
在基础上
,
我们有
是独特的。假设还有另一个
因式分解
我们
能够
写
哪里
我们将双方分开
(与零不同,因为
程度
)。
请注意,后一个等式适用于任何
.
当我们设置
在右侧,左侧的因素之一必须相等
归零。我们可以不失一般性地假设它是
(如果不是,我们可以重新排序根
)。
从而,
.
然后,我们将一切除以
和
获得
通过
与前面的推理相同,我们获得
,
可能在重新排列根之后
.
我们以这种方式进行,直到我们证明
对于
.
度的多真人在线斗地主
这样
如
是
通常称为线性因子。
因此,前面的命题表明,任何复多真人在线斗地主都可以是 写为线性因子的乘积。
而且,线性因素暴露了所有根源
多真人在线斗地主的
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "线性代数中的多真人在线斗地主", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/polynomials-in-linear-algebra.