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线性代数中的多真人在线斗地主

通过 博士

本讲座介绍了一些常用于多真人在线斗地主的事实 线性代数。

目录

领域

接下来,我们将使用字段的概念 先前在讲座中定义 向量空间.

我们需要知道的是,一个字段是一个包含两个操作的集合 (加法和乘法)满足许多属性。后者 通过实数的加法和乘法来满足通常的属性 数字,这是我们在学校学习的时间。重要的是,这些 复数的加法和乘法也可以满足特性 数字。因此,这两个实数集 R 和复数的集合  $ U {2102} $ , 配备了他们通常的操作的领域。

整数幂

当我们处理一个领域 F, 我们可以取元素的非负整数幂 F 通过反复乘以:  $ m $ 是一个正整数,  $锌F $ , 然后 [eq1]

我们采用惯例 那 [eq2] 哪里 1 是该字段的乘法身份。

多真人在线斗地主的定义

现在我们可以定义多真人在线斗地主。

定义 F 是一个领域。让  $ m $ 是一个非负整数。功能 $ p:F
ightarrow F $ 被称为度的多真人在线斗地主  $ m $ 当且仅当  $锌F $ ,[eq3] 哪里 [eq4] 属于 F$a_{m}
eq 0$.

要素 [eq4] 被称为多真人在线斗地主的系数。

在上面的定义中  $ m $ 假定为非负整数。如果 [eq6] (即系数全部等于零),则 p 通常设置为   在  .

让我们考虑实数领域 R. 功能 [eq7] 满足任何 $ zin U {211d} $,[eq8] 是 度的多真人在线斗地主 $2$.

功能 [eq9] 满足任何 $ zin U {211d} $,[eq10] 是 度的多真人在线斗地主 0.

前导系数

多真人在线斗地主的最高次幂的系数(即 多真人在线斗地主的阶数)称为超前系数。

的前导系数 多真人在线斗地主 [eq11] $ a_ {3} $ (提供 $a_{3}
eq 0$ )。

Monic多真人在线斗地主

多真人在线斗地主的前导系数等于 1 (该字段的乘法身份 F) 被称为单项多真人在线斗地主。

的 多真人在线斗地主 [eq12] 是 一元。

的 多真人在线斗地主 [eq13] 是 不是一元的,因为其前导系数为 $4$.

多真人在线斗地主的根

现在,我们介​​绍根的概念。

定义 F 成为一个领域, $ p:F
ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主  $ mgeq 1 $ . 我们说 $ lambda  在  F $ 是...的根源 p 当且仅 如果 [eq14]

多真人在线斗地主的许多理论都与研究根及其根有关 属性。

考虑多真人在线斗地主 [eq15] 定义的 通过 [eq16] 然后, $ lambda = 1 $ 是多真人在线斗地主的根 因为 [eq17]

根源和因素

如果我们知道多真人在线斗地主的根 p, 然后我们可以用它来分解 p 转化为更简单的多真人在线斗地主。

主张 F 成为一个领域, $ p:F
ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主  $ mgeq 1 $ . 然后,  $ lambda $ 是 的根 p 当且仅当  $锌F $ ,[eq18] 哪里 $ q:F
ightarrow F $ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$.

证明

让我们证明“如果”部分,从 假设  $ lambda $ 是...的根源 p. 请注意,对于任何整数  $ kgeq 1 $ $ z,F $中的lambda, 我们 有 [eq19] 定义 [eq20] 注意 那  $ z ^ {k-1} $ 有系数 $ lambda ^ {0} = 1 $. 从而, [eq21] 是度的多真人在线斗地主 $k-1$[eq22] 以来 p 程度  $ m $ , 我们 有 [eq23] 以来  $ lambda $ 是...的根源 p, 我们 有 [eq24] 通过 从前者减去后一个方程,我们 获得 [eq25] 的 多真人在线斗地主 [eq26] 是 度 $m-1$ 因为...的最高权力  $ z $ 它包含的是 $ a_ {m} z ^ {m-1} $ (与 $a_{m}
eq 0$ 假设 p 程度  $ m $ )。 现在让我们从以下假设开始证明“仅当”部分: [eq27] 通过 设置 $ z = lambda $ , 我们 获得 [eq28] 如 结果,  $ lambda $ 是...的根源 $ pleft(z
权)$.

根数上限

借助先前的因式分解定理,我们可以为 多真人在线斗地主的根数。

主张 F 成为一个领域, $ p:F
ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主  $ mgeq 1 $ . 然后, p 最多  $ m $ 独特的根源。

证明

证明是归纳法。对于 $m=1$, 我们 有 [eq29]$a_{1}
eq 0$. 因此, p 有一个根 [eq30]. 因此,该主张对 $m=1$. 现在,让我们假设对度多真人在线斗地主是正确的 $m-1$. 我们需要证明该要求对多真人在线斗地主是正确的 p $ m $ . 如果 p 至少有一个根  $ lambda $ , 然后 [eq31] 哪里 $ qleft(z
权)$ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$. 根据前面的等式 p 不同于  $ lambda $ 必须一定是  $ q $ . 但  $ q $ 最多 $m-1$ 通过归纳假设得出不同的根。因此, p 最多  $ m $ 独特的根源。

零级多真人在线斗地主

先前的主张不涉及此案 $m=0$, 在 哪一个 [eq32]$a_{0}
eq 0$. 在这种情况下,没有根。

零多真人在线斗地主

提供正数的多真人在线斗地主不能等于零 它的基础字段具有足够数量的成员。

主张 F 成为一个领域, $ p:F
ightarrow F $ 定义的多真人在线斗地主 通过 [eq33] 如果 F 至少有 $m+1$ 成员和 [eq34] 对于任何  $锌F $ , 然后 [eq35]

证明

证明是矛盾的。假设 至少一个系数不同于零。然后,程度 p 在。。。之间 0 $ m $ . 作为结果, p 最多可以有  $ m $ 独特的根源。但这与多真人在线斗地主相矛盾 p 至少有 $m+1$ 独特的根源,因为  $ F $ 至少有 $m+1$ 成员和 [eq36] 对于任何  $锌F $ . 因此,多真人在线斗地主的所有系数必须等于零。

领域要求 F 至少有 $m+1$ 成员对现场始终感到满意 R 实数和字段  $ U {2102} $ 有无限多个成员的复数。

权力的线性独立性

前面的命题可以看作是表明多真人在线斗地主的结果 [eq37] 线性独立: 线性组合它们的唯一方法是将零多真人在线斗地主作为 结果是将所有系数设置为零。

多真人在线斗地主的空间

如果您想知道为什么我们要谈论使用“向量空间”的多真人在线斗地主 语言”,尤其是线性独立性的概念, 想修改有关的讲座 向量 空格 坐标 向量 在这里,我们讨论了一个事实,即所有多真人在线斗地主的集合 度  $ m $ 是向量空间。

由于任何次数的多真人在线斗地主  $ m $ 有 形成 [eq38] 的 所有次数的多真人在线斗地主的空间  $ m $ 跨度 由多真人在线斗地主 [eq39]. 我们刚刚证明了后者是线性独立的。因此, 他们是一个 基础 对于 正在讨论的空间。

学位的唯一性

由于依据基础的表示是唯一的,因此没有其他方法 对基础进行线性组合以获得 $ pleft(z
权)$. 换句话说,只有一种方法可以通过取 函数的线性组合  $ z ^ {k} $ . 结果,多真人在线斗地主的阶数是唯一的。

代数基本定理

下一个命题被称为代数基本定理。

主张 [eq40] 是次数的多真人在线斗地主  $ mgeq 1 $ . 然后, p 至少有一个根。

证明

这是复杂分析的深层结果, 我们没有证明就离开了。

换句话说,当我们处理复数领域时, 保证找到给定多真人在线斗地主的根。

复多真人在线斗地主的因式分解

通过结合代数基本定理和因式分解定理, 我们得到以下重要命题。

主张 [eq41] 是次数的多真人在线斗地主  $ mgeq 1 $ . 然后,存在复数 [eq42] 这样 那 [eq43] 对于 任何 $ zin U {2102} $. 数字 [eq44] 是唯一的,直到排列 [eq45].

证明

我们首先证明存在 [eq46]. 根据代数基本定理(FTA), p 至少有一个根。用它来表示 $ lambda _ {1} $. 然后,我们可以分解 p[eq47] 哪里  $ q $ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$. 如果  $ m-1 = 0 $ , 然后 [eq48] 我们完成了。如果  $ m-1geq 1 $ , FTA保证存在根源 $ lambda _ {2} $ $ q $ . 所以我们 有 [eq49] 哪里  $ r $ 是度的多真人在线斗地主 $m-2$. 如果  $ m-2 = 0 $ , 然后 [eq50] 我们完成了。否则,我们将其他条件排除在外,直到我们 获得理想的结果。现在,我们证明了独特性。通过执行 因素的倍增 p, 我们 得到 [eq51] 通过 度多真人在线斗地主表示的唯一性  $ m $ 在基础上 [eq52], 我们有  $ c $ 是独特的。假设还有另一个 因式分解[eq53] 我们 能够 写 [eq54] 哪里 我们将双方分开  $ c $ (与零不同,因为 p 程度  $ m $ )。 请注意,后一个等式适用于任何  $ z $ . 当我们设置 $ z = lambda _ {1} $ 在右侧,左侧的因素之一必须相等 归零。我们可以不失一般性地假设它是 $ z-mu _ {1} $ (如果不是,我们可以重新排序根  $ mu _ {j} $ )。 从而, [eq55]. 然后,我们将一切除以 [eq56] 和 获得 [eq57] 通过 与前面的推理相同,我们获得 [eq58], 可能在重新排列根之后  $ mu _ {j} $ . 我们以这种方式进行,直到我们证明 [eq59] 对于 $ j = 1,ldots,m $.

分解为线性因子

度的多真人在线斗地主 1 这样 如 [eq60] 是 通常称为线性因子。

因此,前面的命题表明,任何复多真人在线斗地主都可以是 写为线性因子的乘积。

而且,线性因素暴露了所有根源 $ lambda _ {j} $ 多真人在线斗地主的

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性代数中的多真人在线斗地主", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/polynomials-in-linear-algebra.

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