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线性代数中的多真人在线斗地主

通过 博士

本讲座介绍了一些常用于多真人在线斗地主的事实 线性代数。

目录

目录

  1. 领域

  2. 整数幂

  3. 多真人在线斗地主的定义

  4. 前导系数

  5. Monic多真人在线斗地主

  6. 多真人在线斗地主的根

  7. 根源和因素

  8. 根数上限

  9. 零级多真人在线斗地主

  10. 零多真人在线斗地主

  11. 权力的线性独立性

  12. 多真人在线斗地主的空间

  13. 学位的唯一性

  14. 代数基本定理

  15. 复多真人在线斗地主的因式分解

  16. 分解为线性因子

领域

接下来，我们将使用字段的概念 先前在讲座中定义 向量空间.

我们需要知道的是，一个字段是一个包含两个操作的集合 （加法和乘法）满足许多属性。后者 通过实数的加法和乘法来满足通常的属性 数字，这是我们在学校学习的时间。重要的是，这些 复数的加法和乘法也可以满足特性 数字。因此，这两个实数集 R 和复数的集合 $ U {2102} $ , 配备了他们通常的操作的领域。

整数幂

当我们处理一个领域 F, 我们可以取元素的非负整数幂 F 通过反复乘以： $ m $ 是一个正整数， $锌F $ , 然后 [eq1]

我们采用惯例 那 [eq2] 哪里 1 是该字段的乘法身份。

多真人在线斗地主的定义

现在我们可以定义多真人在线斗地主。

定义 让 F 是一个领域。让 $ m $ 是一个非负整数。功能 $ p：F ightarrow F $ 被称为度的多真人在线斗地主 $ m $ 当且仅当 $锌F $ ,[eq3] 哪里 [eq4] 属于 F 和 $a_{m} eq 0$.

要素 [eq4] 被称为多真人在线斗地主的系数。

在上面的定义中 $ m $ 假定为非负整数。如果 [eq6] （即系数全部等于零），则 p 通常设置为 在 .

例 让我们考虑实数领域 R. 功能 [eq7] 满足任何 $ zin U {211d} $,[eq8] 是 度的多真人在线斗地主 $2$.

例 功能 [eq9] 满足任何 $ zin U {211d} $,[eq10] 是 度的多真人在线斗地主 0.

前导系数

多真人在线斗地主的最高次幂的系数（即 多真人在线斗地主的阶数）称为超前系数。

例 的前导系数 多真人在线斗地主 [eq11] 是 $ a_ {3} $ （提供 $a_{3} eq 0$ ）。

Monic多真人在线斗地主

多真人在线斗地主的前导系数等于 1 （该字段的乘法身份 F) 被称为单项多真人在线斗地主。

例 的 多真人在线斗地主 [eq12] 是 一元。

例 的 多真人在线斗地主 [eq13] 是 不是一元的，因为其前导系数为 $4$.

多真人在线斗地主的根

现在，我们介​​绍根的概念。

定义 让 F 成为一个领域， $ p：F ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主 $ mgeq 1 $ . 我们说 $ lambda 在 F $ 是...的根源 p 当且仅 如果 [eq14]

多真人在线斗地主的许多理论都与研究根及其根有关 属性。

例 考虑多真人在线斗地主 [eq15] 定义的 通过 [eq16] 然后， $ lambda = 1 $ 是多真人在线斗地主的根 因为 [eq17]

根源和因素

如果我们知道多真人在线斗地主的根 p, 然后我们可以用它来分解 p 转化为更简单的多真人在线斗地主。

主张 让 F 成为一个领域， $ p：F ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主 $ mgeq 1 $ . 然后， $ lambda $ 是 的根 p 当且仅当 $锌F $ ,[eq18] 哪里 $ q：F ightarrow F $ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$.

证明

让我们证明“如果”部分，从 假设 $ lambda $ 是...的根源 p. 请注意，对于任何整数 $ kgeq 1 $ 和 $ z，F $中的lambda, 我们 有 [eq19] 定义 [eq20] 注意 那 $ z ^ {k-1} $ 有系数 $ lambda ^ {0} = 1 $. 从而， [eq21] 是度的多真人在线斗地主 $k-1$ 和 [eq22] 以来 p 程度 $ m $ , 我们 有 [eq23] 以来 $ lambda $ 是...的根源 p, 我们 有 [eq24] 通过 从前者减去后一个方程，我们 获得 [eq25] 的 多真人在线斗地主 [eq26] 是 度 $m-1$ 因为...的最高权力 $ z $ 它包含的是 $ a_ {m} z ^ {m-1} $ （与 $a_{m} eq 0$ 假设 p 程度 $ m $ ）。 现在让我们从以下假设开始证明“仅当”部分： [eq27] 通过 设置 $ z = lambda $ , 我们 获得 [eq28] 如 结果， $ lambda $ 是...的根源 $ pleft（z 权）$.

根数上限

借助先前的因式分解定理，我们可以为 多真人在线斗地主的根数。

主张 让 F 成为一个领域， $ p：F ightarrow F $ 度的多真人在线斗地主 $ mgeq 1 $ . 然后， p 最多 $ m $ 独特的根源。

证明

证明是归纳法。对于 $m=1$, 我们 有 [eq29] 与 $a_{1} eq 0$. 因此， p 有一个根 [eq30]. 因此，该主张对 $m=1$. 现在，让我们假设对度多真人在线斗地主是正确的 $m-1$. 我们需要证明该要求对多真人在线斗地主是正确的 p 度 $ m $ . 如果 p 至少有一个根 $ lambda $ , 然后 [eq31] 哪里 $ qleft（z 权）$ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$. 根据前面的等式 p 不同于 $ lambda $ 必须一定是 $ q $ . 但 $ q $ 最多 $m-1$ 通过归纳假设得出不同的根。因此， p 最多 $ m $ 独特的根源。

零级多真人在线斗地主

先前的主张不涉及此案 $m=0$, 在 哪一个 [eq32] 和 $a_{0} eq 0$. 在这种情况下，没有根。

零多真人在线斗地主

提供正数的多真人在线斗地主不能等于零 它的基础字段具有足够数量的成员。

主张 让 F 成为一个领域， $ p：F ightarrow F $ 定义的多真人在线斗地主 通过 [eq33] 如果 F 至少有 $m+1$ 成员和 [eq34] 对于任何 $锌F $ , 然后 [eq35]

证明

证明是矛盾的。假设 至少一个系数不同于零。然后，程度 p 在。。。之间 0 和 $ m $ . 作为结果， p 最多可以有 $ m $ 独特的根源。但这与多真人在线斗地主相矛盾 p 至少有 $m+1$ 独特的根源，因为 $ F $ 至少有 $m+1$ 成员和 [eq36] 对于任何 $锌F $ . 因此，多真人在线斗地主的所有系数必须等于零。

领域要求 F 至少有 $m+1$ 成员对现场始终感到满意 R 实数和字段 $ U {2102} $ 有无限多个成员的复数。

权力的线性独立性

前面的命题可以看作是表明多真人在线斗地主的结果 [eq37] 是 线性独立: 线性组合它们的唯一方法是将零多真人在线斗地主作为 结果是将所有系数设置为零。

多真人在线斗地主的空间

如果您想知道为什么我们要谈论使用“向量空间”的多真人在线斗地主 语言”，尤其是线性独立性的概念， 想修改有关的讲座 向量 空格 和 坐标 向量 在这里，我们讨论了一个事实，即所有多真人在线斗地主的集合 度 $ m $ 是向量空间。

由于任何次数的多真人在线斗地主 $ m $ 有 形成 [eq38] 的 所有次数的多真人在线斗地主的空间 $ m $ 是 跨度 由多真人在线斗地主 [eq39]. 我们刚刚证明了后者是线性独立的。因此， 他们是一个 基础 对于 正在讨论的空间。

学位的唯一性

由于依据基础的表示是唯一的，因此没有其他方法 对基础进行线性组合以获得 $ pleft（z 权）$. 换句话说，只有一种方法可以通过取 函数的线性组合 $ z ^ {k} $ . 结果，多真人在线斗地主的阶数是唯一的。

代数基本定理

下一个命题被称为代数基本定理。

主张 让 [eq40] 是次数的多真人在线斗地主 $ mgeq 1 $ . 然后， p 至少有一个根。

证明

这是复杂分析的深层结果， 我们没有证明就离开了。

换句话说，当我们处理复数领域时， 保证找到给定多真人在线斗地主的根。

复多真人在线斗地主的因式分解

通过结合代数基本定理和因式分解定理， 我们得到以下重要命题。

主张 让 [eq41] 是次数的多真人在线斗地主 $ mgeq 1 $ . 然后，存在复数 [eq42] 这样 那 [eq43] 对于 任何 $ zin U {2102} $. 数字 [eq44] 是唯一的，直到排列 [eq45].

证明

我们首先证明存在 [eq46]. 根据代数基本定理（FTA）， p 至少有一个根。用它来表示 $ lambda _ {1} $. 然后，我们可以分解 p 如 [eq47] 哪里 $ q $ 是度的多真人在线斗地主 $m-1$. 如果 $ m-1 = 0 $ , 然后 [eq48] 我们完成了。如果 $ m-1geq 1 $ , FTA保证存在根源 $ lambda _ {2} $ 的 $ q $ . 所以我们 有 [eq49] 哪里 $ r $ 是度的多真人在线斗地主 $m-2$. 如果 $ m-2 = 0 $ , 然后 [eq50] 我们完成了。否则，我们将其他条件排除在外，直到我们 获得理想的结果。现在，我们证明了独特性。通过执行 因素的倍增 p, 我们 得到 [eq51] 通过 度多真人在线斗地主表示的唯一性 $ m $ 在基础上 [eq52], 我们有 $ c $ 是独特的。假设还有另一个 因式分解[eq53] 我们 能够 写 [eq54] 哪里 我们将双方分开 $ c $ （与零不同，因为 p 程度 $ m $ ）。 请注意，后一个等式适用于任何 $ z $ . 当我们设置 $ z = lambda _ {1} $ 在右侧，左侧的因素之一必须相等 归零。我们可以不失一般性地假设它是 $ z-mu _ {1} $ （如果不是，我们可以重新排序根 $ mu _ {j} $ ）。 从而， [eq55]. 然后，我们将一切除以 [eq56] 和 获得 [eq57] 通过 与前面的推理相同，我们获得 [eq58], 可能在重新排列根之后 $ mu _ {j} $ . 我们以这种方式进行，直到我们证明 [eq59] 对于 $ j = 1，ldots，m $.

分解为线性因子

度的多真人在线斗地主 1 这样 如 [eq60] 是 通常称为线性因子。

因此，前面的命题表明，任何复多真人在线斗地主都可以是 写为线性因子的乘积。

而且，线性因素暴露了所有根源 $ lambda _ {j} $ 多真人在线斗地主的

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性代数中的多真人在线斗地主", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/polynomials-in-linear-algebra.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

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