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正定矩阵

通过 博士

一个正方形 矩阵 是 正定，如果对其进行预乘和后乘 向量总是给出一个正数，而不管我们如何 选择向量。

正定对称矩阵具有以下性质： 特征值是正的。

目录

目录

  1. 实数二次形式

  2. 限制对对称矩阵的关注

  3. 确定性

  4. 定义中的对称性

  5. 专注于积极

  6. 正定矩阵是满秩的

  7. 正定矩阵的特征值

  8. 半正定矩阵的特征值

  9. 复杂的情况

  10. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

实数二次形式

我们首先定义二次形式。目前，我们限制我们的 注意实数矩阵和实数向量。在本讲座的最后，我们 讨论更一般的情况。

定义 让 A 成为 $ Kimes K $ 实矩阵。的二次形式 A 是一个 转型[eq1] $ $ 哪里 x 是一个 Kx1 向量和 $ x ^ {op} $ 是它的转置。

转型 $ x ^ {op} Ax $ 是标量，因为 $ x ^ {op} A $ 是一个 $ 1imes K $ 行向量及其乘积 Kx1 列向量 x 结果给出一个标量。

例 定义 [eq2] 给定 a $ 2imes 1 $ 向量 x, 矩阵定义的二次形式 A 是 [eq3]

限制对对称矩阵的关注

当研究二次形式时，我们可以将注意力集中在对称上 矩阵不失一般性。

记住，矩阵 $ B $ 当且仅当是对称的 如果 [eq4]

可以写任何二次形式 如 [eq5] 哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ x ^ {op} Ax $ 是一个标量，一个标量的转置等于该标量本身。

的 矩阵 [eq6] 是 对称的 因为 [eq7]

因此，我们证明了我们总是可以写一个二次形式 如 [eq8] 哪里 $ B $ 是对称的。

确定性

平方矩阵可以根据二次形的符号进行分类 他们定义的。

在以下内容中，iff表示“仅当且仅当”。

定义 让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有真实项的向量。一种 $ Kimes K $ 实矩阵 A 据说是：

  1. 正定iff $ x ^ {op} Ax>0$ 对于任何非零 $ xin S $ ;

  2. 正半定差 $ x ^ {op} Axgeq 0 $ 对于任何 $ xin S $ ;

  3. 负定差 $ x ^ {op} Ax<0$ 对于任何非零 $ xin S $ ;

  4. 负半定iff $ x ^ {op} Axleq 0 $ 对于任何 $ xin S $ ;

  5. 不确定是否存在 $ x，yin S $ 这样 $ x ^ {op} Ax>0$ 和 $ y ^ {op}好<0$.

让我们举一个例子。

例 定义 [eq9] 给定 a $ 2imes 1 $ 向量 x, 矩阵定义的二次形式 A 是 [eq10] 以来 的 和 [eq11] 每当 $x_{1} eq 0$ 和 $x_{2} eq 0$ （因此 $x eq 0$ ）， 矩阵 A 是肯定的。

定义中的对称性

我们注意到，许多教科书和论文都要求使用正定矩阵 对称。我们将要求保持不同：每次对称是 需要的话，我们会明确地说。

专注于积极

从现在开始，我们将主要关注正定和半定 矩阵。从这些矩阵获得的结果可以迅速地适应 负定矩阵和半定矩阵。事实上，如果 A 是负（半）定的，则 $ -A $ 是正（半）定的。因此，通常可以通过简单地调整结果 切换标志。

正定矩阵是满秩的

一个重要的事实随之而来。

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是肯定的，那么它是 全职.

证明

证明是矛盾的。假设 A 排名不全。那么它的列不是 线性独立 。 作为一个 结果，有一个 Kx1 向量 $x eq 0$ 这样 那 [eq12] 我们 可以将等式的两边都乘以 $ x ^ {op} $ 和 获得 [eq13] 以来 A 是正定的，只有在 $x=0$, 矛盾。从而 A 必须是全职。

正定矩阵的特征值

以下命题提供了确定性的标准。

主张 实对称 $ Kimes K $ 矩阵 A 是正定的，当且仅当其所有 特征值 是 严格为正的实数。

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这个假设 A 是肯定的。让 $ lambda $ 是...的特征值 A 和 x 其相关的特征向量之一。的对称性 A 暗示 $ lambda $ 是真实的（请参阅有关 属性 特征值和特征向量）。此外， x 可以选择真实的解决方案 $x eq 0$ 到 方程 [eq14] 是 保证存在（因为 $ Alambda I $ 根据特征值的定义排名不足）。然后我们 有 [eq15] 哪里 [eq16] 是个 规范 的 x. 以来 x 是一个特征向量 $x eq 0$. 而且，由于规范的确定性， [eq17]. 因此，我们 有 [eq18] 因为 $ x ^ {op} Ax>0$ 通过以下假设 A 是正定的（上面我们已经证明了二次形式 $ x ^ {op} Ax $ 涉及一个实向量 x, 这是我们对正定性的定义所必需的）。我们已经证明 的任何特征值 A 根据需要严格为正。现在让我们证明“如果”部分，从 从假设所有特征值 A 是严格的正实数。以来 A 是实对称的，可以对角线化为 如下： [eq19] 哪里 $ P $ 是 正交的 和 $ D $ 是对角矩阵，其特征值为 A 在主要对角线上（如 普通矩阵）。特征值 是严格肯定的，所以我们可以 写 [eq20] 哪里 $ D ^ {1/2} $ 是对角矩阵 $ left（k，k 权）$ -th 条目 满足[eq21] 对于 $ k = 1，ldots，K $. 因此， [eq22] 和， 对于任何矢量 $x eq 0$, 我们 有 [eq23] 的 矩阵 $ P $ , 是正交的，是 可逆的 （因此排名较高）。矩阵 $ D ^ {1/2} $ 是对角线（因此为三角形），其对角线入口严格为正， 这意味着 $ D ^ {1/2} $ 是可逆的（因此排名较高） 三角形的性质 矩阵 . 产品 两个完全秩矩阵中的一个是完全秩。因此， $ PD ^ {1/2} $ 是全职的。 从而， [eq24] 因为 $x eq 0$. 通过规范的肯定性，这意味着 [eq25] 和， 作为一个 后果，[eq26] 从而， A 是肯定的。

半正定矩阵的特征值

一个非常相似的命题适用于正半定矩阵。

紧随其后的实数是指大于 或等于零。

主张 实对称 $ Kimes K $ 矩阵 A 是正半定值，当且仅当其所有 特征值 是 正实数。

证明

我们不会重复所有的细节 证明，我们只强调先前的证明在哪里（对于 确定的情况）需要更改。第一个更改是在“仅当”部分中， 我们现在在哪里 有 [eq27] 因为 $ x ^ {op} Axgeq 0 $ 通过以下假设 A 是正半定的。第二个更改是在“如果部分”中， 有 [eq28] 因为 的条目 $ D $ 不再保证是严格肯定的，因此， $ D ^ {1/2} $ 不能保证是全排名。它遵循 [eq29]

复杂的情况

当矩阵 A 和向量 x 被允许为复杂的二次形式 变成 [eq30] 哪里 $ x ^ {st} $ 表示 共轭 转置 的 x.

让 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有复杂条目的向量。一种 $ Kimes K $ 复矩阵 A 据说是：

负定情况和半定情况的定义类似。

请注意，共轭转置不会影响实际标量。作为一个 结果，如果复数矩阵是正定的（或半定的）， 然后 [eq31] 对于 任何 x, 这意味着 $ A = A ^ {st} $. 换句话说，如果一个复数矩阵是正定的，那么它就是 埃尔米蒂安。

同样在复数情况下，一个正定矩阵 A 是完全排名（上面的证明实际上保持不变）。

而且，由于 A 是Hermitian，这是正常现象，其特征值是真实的。我们仍然有 A 当且仅当其特征值是 正（分别严格为正）实数。证明几乎 与我们在实际案例中看到的完全相同。在修改这些证明时， 我们只需要记住，在复杂的 案件 [eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 A 是一个复杂的矩阵 x 其特征向量之一。你能写二次形式吗 $ x ^ {st} Ax $ 就......而言 [eq16]?

解

让 $ lambda $ 是与...相关的特征值 x. 然后， [eq34]

练习2

你能知道矩阵是否 [eq35] 是 正定？

解

让 x 成为 $ 2imes 1 $ 向量。用以下方式表示其条目 $ x_ {1} $ 和 $ x_ {2} $ . 然后， [eq36] 然后， $ x ^ {op} Ax>0$ 如果 $x eq 0$ 和 A 是肯定的。

练习3

假设 A 是复数负定矩阵。你能说说它的迹象吗 特征值？

解

如果 A 是负的 然后 [eq37] 对于 任何 $x eq 0$. 作为一个 后果，[eq38] 在 换句话说，矩阵 $ -A $ 是肯定的。因此，的特征值 $ -A $ 是严格肯定的。如果 $ lambda $ 是的特征值 $ -A $ 与特征向量关联 x, 然后 [eq39] 的 后一个等式是等价的 至 [eq40] 所以， 如果 $ lambda $ 是的特征值 $ -A $ , 然后 $ -lambda $ 是的特征值 A. 因此，...的特征值 A 完全是负面的。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "正定矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/positive-definite-matrix.

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