一个正方形 矩阵 是 正定,如果对其进行预乘和后乘 向量总是给出一个正数,而不管我们如何 选择向量。
正定对称矩阵具有以下性质: 特征值是正的。
我们首先定义二次形式。目前,我们限制我们的 注意实数矩阵和实数向量。在本讲座的最后,我们 讨论更一般的情况。
定义
让
成为
实矩阵。的二次形式
是一个
转型
哪里
是一个
向量和
是它的转置。
转型
是标量,因为
是一个
行向量及其乘积
列向量
结果给出一个标量。
例
定义 给定
a
向量
,
矩阵定义的二次形式
是
当研究二次形式时,我们可以将注意力集中在对称上 矩阵不失一般性。
记住,矩阵
当且仅当是对称的
如果
可以写任何二次形式
如 哪里
在步
我们使用了这样一个事实
是一个标量,一个标量的转置等于该标量本身。
的
矩阵 是
对称的
因为
因此,我们证明了我们总是可以写一个二次形式
如 哪里
是对称的。
平方矩阵可以根据二次形的符号进行分类 他们定义的。
在以下内容中,iff表示“仅当且仅当”。
定义
让
成为所有人的空间
具有真实项的向量。一种
实矩阵
据说是:
正定iff
对于任何非零
;
正半定差
对于任何
;
负定差
对于任何非零
;
负半定iff
对于任何
;
不确定是否存在
这样
和
.
让我们举一个例子。
例
定义 给定
a
向量
,
矩阵定义的二次形式
是
以来
的
和
每当
和
(因此
),
矩阵
是肯定的。
我们注意到,许多教科书和论文都要求使用正定矩阵 对称。我们将要求保持不同:每次对称是 需要的话,我们会明确地说。
从现在开始,我们将主要关注正定和半定
矩阵。从这些矩阵获得的结果可以迅速地适应
负定矩阵和半定矩阵。事实上,如果
是负(半)定的,则
是正(半)定的。因此,通常可以通过简单地调整结果
切换标志。
一个重要的事实随之而来。
主张
让
成为
矩阵。如果
是肯定的,那么它是
全职.
证明是矛盾的。假设
排名不全。那么它的列不是
线性独立 。 作为一个
结果,有一个
向量
这样
那
我们
可以将等式的两边都乘以
和
获得
以来
是正定的,只有在
,
矛盾。从而
必须是全职。
以下命题提供了确定性的标准。
主张
实对称
矩阵
是正定的,当且仅当其所有
特征值 是
严格为正的实数。
让我们从头开始证明“仅当”部分
从这个假设
是肯定的。让
是...的特征值
和
其相关的特征向量之一。的对称性
暗示
是真实的(请参阅有关
属性
特征值和特征向量)。此外,
可以选择真实的解决方案
到
方程
是
保证存在(因为
根据特征值的定义排名不足)。然后我们
有
哪里
是个 规范 的
.
以来
是一个特征向量
.
而且,由于规范的确定性,
.
因此,我们
有
因为
通过以下假设
是正定的(上面我们已经证明了二次形式
涉及一个实向量
,
这是我们对正定性的定义所必需的)。我们已经证明
的任何特征值
根据需要严格为正。现在让我们证明“如果”部分,从
从假设所有特征值
是严格的正实数。以来
是实对称的,可以对角线化为
如下:
哪里
是 正交的 和
是对角矩阵,其特征值为
在主要对角线上(如
普通矩阵)。特征值
是严格肯定的,所以我们可以
写
哪里
是对角矩阵
-th
条目
满足
对于
.
因此,
和,
对于任何矢量
,
我们
有
的
矩阵
,
是正交的,是 可逆的
(因此排名较高)。矩阵
是对角线(因此为三角形),其对角线入口严格为正,
这意味着
是可逆的(因此排名较高)
三角形的性质
矩阵 . 产品
两个完全秩矩阵中的一个是完全秩。因此,
是全职的。
从而,
因为
.
通过规范的肯定性,这意味着
和,
作为一个
后果,
从而,
是肯定的。
一个非常相似的命题适用于正半定矩阵。
紧随其后的实数是指大于 或等于零。
主张
实对称
矩阵
是正半定值,当且仅当其所有
特征值 是
正实数。
我们不会重复所有的细节
证明,我们只强调先前的证明在哪里(对于
确定的情况)需要更改。第一个更改是在“仅当”部分中,
我们现在在哪里
有 因为
通过以下假设
是正半定的。第二个更改是在“如果部分”中,
有
因为
的条目
不再保证是严格肯定的,因此,
不能保证是全排名。它遵循
当矩阵
和向量
被允许为复杂的二次形式
变成
哪里
表示 共轭
转置 的
.
让
成为所有人的空间
具有复杂条目的向量。一种
复矩阵
据说是:
正定iff
是实数(即它的零复杂部分),并且
对于任何非零
;
正半定差
是实数(即它的零复杂部分),并且
对于任何
.
负定情况和半定情况的定义类似。
请注意,共轭转置不会影响实际标量。作为一个
结果,如果复数矩阵是正定的(或半定的),
然后 对于
任何
,
这意味着
.
换句话说,如果一个复数矩阵是正定的,那么它就是
埃尔米蒂安。
同样在复数情况下,一个正定矩阵
是完全排名(上面的证明实际上保持不变)。
而且,由于
是Hermitian,这是正常现象,其特征值是真实的。我们仍然有
当且仅当其特征值是
正(分别严格为正)实数。证明几乎
与我们在实际案例中看到的完全相同。在修改这些证明时,
我们只需要记住,在复杂的
案件
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是一个复杂的矩阵
其特征向量之一。你能写二次形式吗
就......而言
?
让
是与...相关的特征值
.
然后,
你能知道矩阵是否
是
正定?
让
成为
向量。用以下方式表示其条目
和
.
然后,
然后,
如果
和
是肯定的。
假设
是复数负定矩阵。你能说说它的迹象吗
特征值?
如果
是负的
然后
对于
任何
.
作为一个
后果,
在
换句话说,矩阵
是肯定的。因此,的特征值
是严格肯定的。如果
是的特征值
与特征向量关联
,
然后
的
后一个等式是等价的
至
所以,
如果
是的特征值
,
然后
是的特征值
.
因此,...的特征值
完全是负面的。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "正定矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/positive-definite-matrix.