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正定矩阵

通过 博士

一个正方形 矩阵 是 正定,如果对其进行预乘和后乘 向量总是给出一个正数,而不管我们如何 选择向量。

正定对称矩阵具有以下性质: 特征值是正的。

目录

实数二次形式

我们首先定义二次形式。目前,我们限制我们的 注意实数矩阵和实数向量。在本讲座的最后,我们 讨论更一般的情况。

定义A 成为 $ Kimes K $ 实矩阵。的二次形式 A 是一个 转型[eq1]  $ $ 哪里 x 是一个 Kx1 向量和 $ x ^ {op} $ 是它的转置。

转型 $ x ^ {op} Ax $ 是标量,因为 $ x ^ {op} A $ 是一个 $ 1imes K $ 行向量及其乘积 Kx1 列向量 x 结果给出一个标量。

定义 [eq2] 给定 a $ 2imes 1 $ 向量 x, 矩阵定义的二次形式 A[eq3]

限制对对称矩阵的关注

当研究二次形式时,我们可以将注意力集中在对称上 矩阵不失一般性。

记住,矩阵  $ B $ 当且仅当是对称的 如果 [eq4]

可以写任何二次形式 如 [eq5] 哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ x ^ {op} Ax $ 是一个标量,一个标量的转置等于该标量本身。

的 矩阵 [eq6] 是 对称的 因为 [eq7]

因此,我们证明了我们总是可以写一个二次形式 如 [eq8] 哪里  $ B $ 是对称的。

确定性

平方矩阵可以根据二次形的符号进行分类 他们定义的。

在以下内容中,iff表示“仅当且仅当”。

定义 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有真实项的向量。一种 $ Kimes K $ 实矩阵 A 据说是:

  1. 正定iff $ x ^ {op} Ax>0$ 对于任何非零  $ xin S $ ;

  2. 正半定差 $ x ^ {op} Axgeq 0 $ 对于任何  $ xin S $ ;

  3. 负定差 $ x ^ {op} Ax<0$ 对于任何非零  $ xin S $ ;

  4. 负半定iff $ x ^ {op} Axleq 0 $ 对于任何  $ xin S $ ;

  5. 不确定是否存在 $ x,yin S $ 这样 $ x ^ {op} Ax>0$$ y ^ {op}好<0$.

让我们举一个例子。

定义 [eq9] 给定 a $ 2imes 1 $ 向量 x, 矩阵定义的二次形式 A[eq10] 以来 的 和 [eq11] 每当 $x_{1}
eq 0$$x_{2}
eq 0$ (因此 $x
eq 0$ ), 矩阵 A 是肯定的。

定义中的对称性

我们注意到,许多教科书和论文都要求使用正定矩阵 对称。我们将要求保持不同:每次对称是 需要的话,我们会明确地说。

专注于积极

从现在开始,我们将主要关注正定和半定 矩阵。从这些矩阵获得的结果可以迅速地适应 负定矩阵和半定矩阵。事实上,如果 A 是负(半)定的,则  $ -A $ 是正(半)定的。因此,通常可以通过简单地调整结果 切换标志。

正定矩阵是满秩的

一个重要的事实随之而来。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是肯定的,那么它是 全职.

证明

证明是矛盾的。假设 A 排名不全。那么它的列不是 线性独立 。 作为一个 结果,有一个 Kx1 向量 $x
eq 0$ 这样 那 [eq12] 我们 可以将等式的两边都乘以 $ x ^ {op} $ 和 获得 [eq13] 以来 A 是正定的,只有在 $x=0$, 矛盾。从而 A 必须是全职。

正定矩阵的特征值

以下命题提供了确定性的标准。

主张 实对称 $ Kimes K $ 矩阵 A 是正定的,当且仅当其所有 特征值 是 严格为正的实数。

证明

让我们从头开始证明“仅当”部分 从这个假设 A 是肯定的。让 $ lambda $ 是...的特征值 Ax 其相关的特征向量之一。的对称性 A 暗示 $ lambda $ 是真实的(请参阅有关 属性 特征值和特征向量)。此外, x 可以选择真实的解决方案 $x
eq 0$ 到 方程 [eq14] 是 保证存在(因为 $ Alambda I $ 根据特征值的定义排名不足)。然后我们 有 [eq15] 哪里 [eq16] 是个 规范 x. 以来 x 是一个特征向量 $x
eq 0$. 而且,由于规范的确定性, [eq17]. 因此,我们 有 [eq18] 因为 $ x ^ {op} Ax>0$ 通过以下假设 A 是正定的(上面我们已经证明了二次形式 $ x ^ {op} Ax $ 涉及一个实向量 x, 这是我们对正定性的定义所必需的)。我们已经证明 的任何特征值 A 根据需要严格为正。现在让我们证明“如果”部分,从 从假设所有特征值 A 是严格的正实数。以来 A 是实对称的,可以对角线化为 如下: [eq19] 哪里  $ P $ 正交的 $ D $ 是对角矩阵,其特征值为 A 在主要对角线上(如 普通矩阵)。特征值 是严格肯定的,所以我们可以 写 [eq20] 哪里 $ D ^ {1/2} $ 是对角矩阵 $ left(k,k
权)$ -th 条目 满足[eq21] 对于 $ k = 1,ldots,K $. 因此, [eq22] 和, 对于任何矢量 $x
eq 0$, 我们 有 [eq23] 的 矩阵  $ P $ , 是正交的,是 可逆的 (因此排名较高)。矩阵 $ D ^ {1/2} $ 是对角线(因此为三角形),其对角线入口严格为正, 这意味着 $ D ^ {1/2} $ 是可逆的(因此排名较高) 三角形的性质 矩阵 . 产品 两个完全秩矩阵中的一个是完全秩。因此, $ PD ^ {1/2} $ 是全职的。 从而, [eq24] 因为 $x
eq 0$. 通过规范的肯定性,这意味着 [eq25] 和, 作为一个 后果,[eq26] 从而, A 是肯定的。

半正定矩阵的特征值

一个非常相似的命题适用于正半定矩阵。

紧随其后的实数是指大于 或等于零。

主张 实对称 $ Kimes K $ 矩阵 A 是正半定值,当且仅当其所有 特征值 是 正实数。

证明

我们不会重复所有的细节 证明,我们只强调先前的证明在哪里(对于 确定的情况)需要更改。第一个更改是在“仅当”部分中, 我们现在在哪里 有 [eq27] 因为 $ x ^ {op} Axgeq 0 $ 通过以下假设 A 是正半定的。第二个更改是在“如果部分”中, 有 [eq28] 因为 的条目  $ D $ 不再保证是严格肯定的,因此, $ D ^ {1/2} $ 不能保证是全排名。它遵循 [eq29]

复杂的情况

当矩阵 A 和向量 x 被允许为复杂的二次形式 变成 [eq30] 哪里 $ x ^ {st} $ 表示 共轭 转置x.

 $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 具有复杂条目的向量。一种 $ Kimes K $ 复矩阵 A 据说是:

负定情况和半定情况的定义类似。

请注意,共轭转置不会影响实际标量。作为一个 结果,如果复数矩阵是正定的(或半定的), 然后 [eq31] 对于 任何 x, 这意味着 $ A = A ^ {st} $. 换句话说,如果一个复数矩阵是正定的,那么它就是 埃尔米蒂安。

同样在复数情况下,一个正定矩阵 A 是完全排名(上面的证明实际上保持不变)。

而且,由于 A 是Hermitian,这是正常现象,其特征值是真实的。我们仍然有 A 当且仅当其特征值是 正(分别严格为正)实数。证明几乎 与我们在实际案例中看到的完全相同。在修改这些证明时, 我们只需要记住,在复杂的 案件 [eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 是一个复杂的矩阵 x 其特征向量之一。你能写二次形式吗 $ x ^ {st} Ax $ 就......而言 [eq16]?

$ lambda $ 是与...相关的特征值 x. 然后, [eq34]

练习2

你能知道矩阵是否 [eq35] 是 正定?

x 成为 $ 2imes 1 $ 向量。用以下方式表示其条目  $ x_ {1} $  $ x_ {2} $ . 然后, [eq36] 然后, $ x ^ {op} Ax>0$ 如果 $x
eq 0$A 是肯定的。

练习3

假设 A 是复数负定矩阵。你能说说它的迹象吗 特征值?

如果 A 是负的 然后 [eq37] 对于 任何 $x
eq 0$. 作为一个 后果,[eq38] 在 换句话说,矩阵  $ -A $ 是肯定的。因此,的特征值  $ -A $ 是严格肯定的。如果 $ lambda $ 是的特征值  $ -A $ 与特征向量关联 x, 然后 [eq39] 的 后一个等式是等价的 至 [eq40] 所以, 如果 $ lambda $ 是的特征值  $ -A $ , 然后 $ -lambda $ 是的特征值 A. 因此,...的特征值 A 完全是负面的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "正定矩阵", 列克特 ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/positive-definite-matrix.

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