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一次分解定理

通过 博士

初级分解定理允许我们使用a的最小多项式 矩阵将向量空间写为不变子空间的直接和。它是 理解和解释由极简主义者提供的信息的关键 多项式。

目录

目录

  1. 定理的预览

  2. 第一次分解

  3. 定理

  4. 解释最小多项式的关键

  5. 对角化矩阵和最小多项式

  6. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

定理的预览

让 $ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。

请记住 子空间 $ Usubseteq S $ 据说是 不变的 在由定义的线性变换下 A 当且仅当 [eq1]对于 任何 美元. 换一种说法， 美元 如果其元素由 A 融入 美元.

的 最小多项式 的 A 是mon灭 多项式 （即 [eq2] 和前导系数 p 是 1) 划分了每个an灭的多项式 A.

最小多项式是的集合中的最低次多项式 poly灭多项式 和 它具有属性 那[eq3]哪里 [eq4] 是不同的 特征值 的 A 和 [eq5] 对于任何 $ j = 1，ldots，m $, 哪里 $ mu _ {j} $ 是个 代数的 多重性 的 $ lambda _ {j} $.

我们可以用以下形式写最小多项式 A 如 [eq6]哪里 I 是个 $ Kimes K $ 单位矩阵.

在本讲座中，我们将证明主分解定理，即 指出向量空间 $ S $ 可以写 如 [eq7]哪里 [eq8] 表示 空空间 矩阵的 [eq9], 那 是的[eq10]和 $ oplus $ 表示一个 直接和.

因此，通过直接和的定义，我们将能够唯一地写出每个 向量 $罪S $ 如 [eq11]哪里 $ u_ {j} in $ [eq12] 对于 $ j = 1，ldots，m $. 此外，向量 [eq13] 保证是 线性地 独立 只要它们不为零。

此外，我们将证明零空间 [eq14] 不变。

第一次分解

下一个命题为初级分解定理铺平了道路。

主张 让 $ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ f_ {1} $ 和 $ f_ {2} $ 是两个多项式，使得：1）它们是相对质数的（即，它们的 最伟大的 共同除数 是 1）; 2）它们不等于零； 3） [eq15] 是一个ni灭的多项式。 然后，[eq16]和 [eq17] 和 [eq18] 在定义的线性变换下不变 A.

证明

以来 $ f_ {1} $ 和 $ f_ {2} $ 相对质数且不等于零 贝祖特的 定理 存在两个多项式 $ p_ {1} $ 和 $ p_ {2} $ 这样 那[eq19]从而，[eq20]任意地 选择任何 $罪S $ 然后将前面等式的两边乘以 $ s $:[eq21]哪里 我们有 定义的[eq22]的 前面的两个方程可以预先乘以 [eq23] 和 [eq24] 从而获得 [eq25]哪一个 暗示 [eq26]以来 $ s $ 是任意的，我们 有[eq27]那 是的 $罪S $ 可以写成的元素之和 [eq28] 和一个元素 [eq29]. 为了证明总和是直接的，我们将证明 表示[eq30]是 独特。假设还有另一个 表示[eq31]哪里 [eq32] 和 [eq33]. 从等式（3）中减去等式（2），我们 获得[eq34]后乘 等式（1）由 $ t_ {1} -s_ {1} $, 我们得到 [eq35]哪里： 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 $ t_ {1} $ 和 $ s_ {1} $ 属于 [eq36]; 在步 $ rame {B} $ 我们使用等式（4）；在步 $ rame {C} $ 我们使用了这样一个事实 $ t_ {2} $ 和 $ s_ {2} $ 属于 [eq37]. 从而， $ t_ {1} = s_ {1} $. 以完全类似的方式，我们可以证明 $ t_ {2} = s_ {2} $. 结果，总和的表示是唯一的，这意味着 那[eq38]此外， 由 矩阵的性质 多项式，空空格 [eq17] 和 [eq40] 在定义的线性变换下不变 A.

下面是一个简单的示例。

例 考虑空间 $ S $ 在所有 $ 3imes 1 $ 向量和 3美金3美金 矩阵 $ A $ 其特征多项式 是[eq41]在 也就是说， A 具有特征值 $ lambda _ {1} = 1 $ 具有代数多重性 1 和另一个特征值 $ lambda _ {2} = 2 $ 具有代数多重性 $2$. 他们俩 多项式[eq42]满足 前一个命题的所有假设，因为 凯利·汉密尔顿 定理，特征多项式是an灭多项式。 然后，[eq43]哪里 两个空间 [eq44] 和 [eq45] 不变。

定理

这是主要分解定理。

主张 让 $ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 p 是...的最小多项式 A: [eq46]哪里 [eq4] 是不同的 特征值 的 A. 然后，[eq48]哪里 空间 [eq49], ...， [eq50] 在定义的线性变换下不变 A.

证明

这个命题通过应用证明 递归先前的命题。我们从两个多项式开始 [eq51]他们 是相对质数，非零，并且它们的积是an灭 多项式，因为它等于最小多项式。 因此，[eq52]我们 现在限制我们对空间的关注 [eq53]. 我们定义两个 多项式[eq54]他们 相对质数，非零及其乘积 $ f_ {2} g_ {2} = g_ {1} $ 根据定义是空间上的an灭多项式 [eq55]. 因此，[eq56]和[eq57]我们 然后用相同的方法分解空间 [eq58], ...， [eq59] 直到我们 获得[eq60]

因此，空间 $ S $ 可以写成的不变空间的直接和 形成[eq61]哪一个 包含载体 $ s $ 这样 那[eq62]这些 向量称为广义特征向量 [eq63] 被称为广义特征空间。

在特殊情况下 $ v_ {j} = 1 $, 然后[eq64]那 是的 $ s $ 是...的特征向量 A 与特征值相关 $ lambda _ {j} $ 和 [eq65] 是...的本征空间 $ lambda _ {j} $.

解释最小多项式的关键

主分解定理提供了理解 最小多项式提供的信息。

与特性进行比较是很自然的 多项式[eq66]哪一个 揭示特征值 [eq4] 及其代数多重性 [eq68], 但不包含有关本征空间的信息。

最小的 多项式[eq69]也 揭示特征值，但不揭示其代数多重性；但是，它 提供了其他信息：通过查看指数 [eq70], 我们可以了解特征空间是否“足够大”以包含一个 空间特征向量的基础 $ S $. 如上文和下一节所述，如果 [eq71], 然后空间 $ S $ 可以写成特征空间的直接总和，这意味着 的特征向量 A 足以为...奠定基础 $ S $. 相反，如果是指数 $ v_ {j} $ 大于 1, 然后与 $ lambda _ {j} $ 不够“大”，我们无法找到特征向量的基础 $ S $ （特征值 $ lambda _ {j} $ 有缺陷）。补救措施是求助于“更大”的广义本征空间。 我们所说的大是什么意思？在讲座中 矩阵幂，我们已经了解到 矩阵的功效越大，其零空间越大。 因此，如果 本征空间[eq72]确实 没有包含足够的线性独立向量（用于 建立基础 $ S $）， 那么我们看一下更大的力量 ($ v_ {j}>1$) 矩阵的 $ A lambda _ {j} I $, 以获得更大的空空间 [eq73]叫 广义特征空间。

因此，最小多项式揭示了我们需要扩大多少 （广义）本征空间，以便能够形成空间的基础 $ S $.

例 让 A 成为 4美金4美金 矩阵。假设的特征多项式 A 是[eq74]和 的最小多项式 A 是[eq75]的 特征值 $ lambda _ {1} = 3 $ 的代数多重性等于 $2$ （从特征多项式推断），它不是有缺陷的（推断 从等于 1 在最小多项式中），因此，它的几何多重性 等于 $2$. 特征值 $ lambda _ {2} = 4 $ 的代数多重性等于 $2$ （从特征多项式推断），它是有缺陷的（从 等于的指数 $2$ 在最小多项式中），因此，它的几何多重性 必须小于 $2$ （因此 1）。

对角化矩阵和最小多项式

请记住，矩阵是 可对角线化 如果和 除非

  1. 它类似于对角矩阵；

  2. 它的特征值不是有缺陷的（它们的代数和几何 多重性重合）；

  3. 存在一个 的基础 特征向量 对于 $ S $.

多亏了主要分解定理，我们可以提供另一个准则 用于矩阵的对角线化

主张 让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 p 是...的最小多项式 A: [eq69]哪里 [eq4] 是不同的 特征值 的 A. 然后， A 当且仅当对角线化 [eq78]

证明

让我们证明“如果”部分，从 假设 $ v_ {j} = 1 $ 每一个 $ j $. 让 $ S $ 成为 Kx1 向量。 然后，[eq79]在 也就是说， $ S $ 是...的特征空间的直接和 A. 选择任何载体 $罪S $. 然后，我们可以 写[eq80]哪里 $ s_ {j} $ 属于本征空间 [eq81] 每个 $ j $. 我们可以选择一个 基础 $ B_ {j} $ 对于每个本征空间 [eq82] 并形成 联盟[eq83]哪一个 是一套 线性地 独立载体 和基础 $ S $ 因为 $ S $ 是直接和。向量 $ s $ 可以在基础上重写 $ B $ 通过写每个 $ s_ {j} $ 在基础上 $ B_ {j} $. 由于对于任意向量都是如此 $罪S $, 我们有 $ B $ 是...的特征向量的基础 A 为空间 $ S $. 因此， A 可对角线化。现在，让我们证明“仅当”部分，从 假设 A 可对角线化。如证明 最小的讲座 多项式, $ u _{j}>0$ 每一个 $ j $ （除此以外 p 不是an灭的多项式）。我们将证明，何时 A 可对角线化 p 通过设置变为an灭多项式 [eq84] （因此，它是最小多项式，因为其他other灭多项式 具有较高的学位）。以来 A 类似于对角矩阵 $ D $ （具有特征值 [eq4] 在其主要对角线上），我们需要检查 [eq86] 是的an灭多项式 $ D $ （两个相似的矩阵具有相同的an灭多项式）。 但[eq87]因为 的所有对角线元素 $ D $ 是涉及以下形式因素的产品 [eq88], 至少其中之一是 $ j = k $. 这证明 p 是的最小多项式 A 并具有所需的属性 ([eq89]）。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 A 成为 3美金3美金 矩阵。假设的最小多项式 A 是[eq90]

是 A 对角化的？

解

矩阵 A 不可对角化，因为线性因子的指数 $ left（z-2 权）$ 大于 1.

练习2

让 A 成为 3美金3美金 矩阵。假设的特征多项式 A 是[eq91]和 的最小多项式 A 是[eq92]什么 是特征值的几何多重性 $ lambda _ {1} =-1 $?

解

根据特征多项式，我们 推断的代数多重性 $ lambda _ {1} $ 是 $2$. 从最小多项式，我们推断它不是有缺陷的。因此， 几何多重性等于 $2$.

练习3

让 $ S $ 成为 Kx1 向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 $ c $ 是...的特征多项式 A: [eq93]哪里 [eq4] 是...的独特特征值 A 和 [eq68] 是它们各自的代数多重性。您可以修改主要 分解定理这样写 $ S $ 通过使用特征多项式而不是 最小多项式？

解

递归分解用于 分解原理的证明不依赖于任何特定的 最小多项式而不是特征具有的性质 一。例如，我们可以开始分解 [eq96]他们 是相对质数，非零，并且它们的积是an灭 多项式，因为它等于特征多项式。 因此，[eq97]我们 然后可以分解 [eq98] 并继续分解零空间，直到我们 获得[eq99]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "一次分解定理", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/primary-decomposition-theorem.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。

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