初级分解定理允许我们使用a的最小多项式 矩阵将向量空间写为不变子空间的直接和。它是 理解和解释由极简主义者提供的信息的关键 多项式。
让
成为
向量。让
成为
矩阵。
请记住 子空间
据说是 不变的
在由定义的线性变换下
当且仅当
对于
任何
.
换一种说法,
如果其元素由
融入
.
的 最小多项式 的
是mon灭
多项式 (即
和前导系数
是
)
划分了每个an灭的多项式
.
最小多项式是的集合中的最低次多项式
poly灭多项式 和
它具有属性
那哪里
是不同的
特征值 的
和
对于任何
,
哪里
是个
代数的
多重性 的
.
我们可以用以下形式写最小多项式
如
哪里
是个
单位矩阵.
在本讲座中,我们将证明主分解定理,即
指出向量空间
可以写
如
哪里
表示 空空间
矩阵的
,
那
是的
和
表示一个 直接和.
因此,通过直接和的定义,我们将能够唯一地写出每个
向量
如
哪里
对于
.
此外,向量
保证是 线性地
独立 只要它们不为零。
此外,我们将证明零空间
不变。
下一个命题为初级分解定理铺平了道路。
主张
让
成为
向量。让
成为
矩阵。让
和
是两个多项式,使得:1)它们是相对质数的(即,它们的
最伟大的
共同除数 是
);
2)它们不等于零; 3)
是一个ni灭的多项式。
然后,
和
和
在定义的线性变换下不变
.
以来
和
相对质数且不等于零
贝祖特的
定理 存在两个多项式
和
这样
那
从而,
任意地
选择任何
然后将前面等式的两边乘以
:
哪里
我们有
定义的
的
前面的两个方程可以预先乘以
和
从而获得
哪一个
暗示
以来
是任意的,我们
有
那
是的
可以写成的元素之和
和一个元素
.
为了证明总和是直接的,我们将证明
表示
是
独特。假设还有另一个
表示
哪里
和
.
从等式(3)中减去等式(2),我们
获得
后乘
等式(1)由
,
我们得到
哪里:
在步
我们使用了这样一个事实
和
属于
;
在步
我们使用等式(4);在步
我们使用了这样一个事实
和
属于
.
从而,
.
以完全类似的方式,我们可以证明
.
结果,总和的表示是唯一的,这意味着
那
此外,
由 矩阵的性质
多项式,空空格
和
在定义的线性变换下不变
.
下面是一个简单的示例。
例
考虑空间
在所有
向量和
矩阵
其特征多项式
是
在
也就是说,
具有特征值
具有代数多重性
和另一个特征值
具有代数多重性
.
他们俩
多项式
满足
前一个命题的所有假设,因为
凯利·汉密尔顿
定理,特征多项式是an灭多项式。
然后,
哪里
两个空间
和
不变。
这是主要分解定理。
主张
让
成为
向量。让
成为
矩阵。让
是...的最小多项式
:
哪里
是不同的
特征值 的
.
然后,
哪里
空间
,
...,
在定义的线性变换下不变
.
这个命题通过应用证明
递归先前的命题。我们从两个多项式开始
他们
是相对质数,非零,并且它们的积是an灭
多项式,因为它等于最小多项式。
因此,
我们
现在限制我们对空间的关注
.
我们定义两个
多项式
他们
相对质数,非零及其乘积
根据定义是空间上的an灭多项式
.
因此,
和
我们
然后用相同的方法分解空间
,
...,
直到我们
获得
因此,空间
可以写成的不变空间的直接和
形成
哪一个
包含载体
这样
那
这些
向量称为广义特征向量
被称为广义特征空间。
在特殊情况下
,
然后
那
是的
是...的特征向量
与特征值相关
和
是...的本征空间
.
主分解定理提供了理解 最小多项式提供的信息。
与特性进行比较是很自然的
多项式哪一个
揭示特征值
及其代数多重性
,
但不包含有关本征空间的信息。
最小的
多项式也
揭示特征值,但不揭示其代数多重性;但是,它
提供了其他信息:通过查看指数
,
我们可以了解特征空间是否“足够大”以包含一个
空间特征向量的基础
.
如上文和下一节所述,如果
,
然后空间
可以写成特征空间的直接总和,这意味着
的特征向量
足以为...奠定基础
.
相反,如果是指数
大于
,
然后与
不够“大”,我们无法找到特征向量的基础
(特征值
有缺陷)。补救措施是求助于“更大”的广义本征空间。
我们所说的大是什么意思?在讲座中
矩阵幂,我们已经了解到
矩阵的功效越大,其零空间越大。
因此,如果
本征空间
确实
没有包含足够的线性独立向量(用于
建立基础
),
那么我们看一下更大的力量
(
)
矩阵的
,
以获得更大的空空间
叫
广义特征空间。
因此,最小多项式揭示了我们需要扩大多少
(广义)本征空间,以便能够形成空间的基础
.
例
让
成为
矩阵。假设的特征多项式
是
和
的最小多项式
是
的
特征值
的代数多重性等于
(从特征多项式推断),它不是有缺陷的(推断
从等于
在最小多项式中),因此,它的几何多重性
等于
.
特征值
的代数多重性等于
(从特征多项式推断),它是有缺陷的(从
等于的指数
在最小多项式中),因此,它的几何多重性
必须小于
(因此
)。
请记住,矩阵是 可对角线化 如果和 除非
它类似于对角矩阵;
它的特征值不是有缺陷的(它们的代数和几何 多重性重合);
存在一个
的基础
特征向量 对于
.
多亏了主要分解定理,我们可以提供另一个准则 用于矩阵的对角线化
主张
让
成为
矩阵。让
是...的最小多项式
:
哪里
是不同的
特征值 的
.
然后,
当且仅当对角线化
让我们证明“如果”部分,从
假设
每一个
.
让
成为
向量。
然后,
在
也就是说,
是...的特征空间的直接和
.
选择任何载体
.
然后,我们可以
写
哪里
属于本征空间
每个
.
我们可以选择一个 基础
对于每个本征空间
并形成
联盟
哪一个
是一套 线性地
独立载体 和基础
因为
是直接和。向量
可以在基础上重写
通过写每个
在基础上
.
由于对于任意向量都是如此
,
我们有
是...的特征向量的基础
为空间
.
因此,
可对角线化。现在,让我们证明“仅当”部分,从
假设
可对角线化。如证明
最小的讲座
多项式,
每一个
(除此以外
不是an灭的多项式)。我们将证明,何时
可对角线化
通过设置变为an灭多项式
(因此,它是最小多项式,因为其他other灭多项式
具有较高的学位)。以来
类似于对角矩阵
(具有特征值
在其主要对角线上),我们需要检查
是的an灭多项式
(两个相似的矩阵具有相同的an灭多项式)。
但
因为
的所有对角线元素
是涉及以下形式因素的产品
,
至少其中之一是
.
这证明
是的最小多项式
并具有所需的属性
(
)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为
矩阵。假设的最小多项式
是
是
对角化的?
矩阵
不可对角化,因为线性因子的指数
大于
.
让
成为
矩阵。假设的特征多项式
是
和
的最小多项式
是
什么
是特征值的几何多重性
?
根据特征多项式,我们
推断的代数多重性
是
.
从最小多项式,我们推断它不是有缺陷的。因此,
几何多重性等于
.
让
成为
向量。让
成为
矩阵。让
是...的特征多项式
:
哪里
是...的独特特征值
和
是它们各自的代数多重性。您可以修改主要
分解定理这样写
通过使用特征多项式而不是
最小多项式?
递归分解用于
分解原理的证明不依赖于任何特定的
最小多项式而不是特征具有的性质
一。例如,我们可以开始分解
他们
是相对质数,非零,并且它们的积是an灭
多项式,因为它等于特征多项式。
因此,
我们
然后可以分解
并继续分解零空间,直到我们
获得
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "一次分解定理", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/primary-decomposition-theorem.