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投影矩阵

通过 博士

在线性代数中,投影矩阵是与线性相关的矩阵 将向量映射到其在子空间上的投影的运算符。

目录

初步概念

让我们首先回顾一些对于理解至关重要的概念 s。

 $ S $ 成为 线性空间 。 让  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 是...的子空间  $ S $ .

请记住,总和 $ S_ {1} + S_ {2} $ 是个 组 [eq1]

什么时候  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 共有零向量(即, [eq2] ), 那么总和称为 直接和 它由表示 $ S_ {1} oplus S_ {2} $.

而且,当直接和等于整个空间时, 是的 [eq3] 我们 说两个空格是 补充.

我们已经证明,什么时候  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 是互补的,任何向量  $ s $ 属于  $ S $ 可以被独特地写 如 [eq4] 哪里 S_ {1} $中的$ s_ {1}S_ {2} $中的$ s_ {2}.

投影

在修改所有这些概念之后,我们准备定义投影。

定义 $ S $ 是一个线性空间。让  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 是互补的子空间(即, [eq5] )。 让  $罪S $ 以其独特的 分解[eq6] 在 哪一个 S_ {1} $中的$ s_ {1}S_ {2} $中的$ s_ {2}. 然后,向量  $ s_ {1} $ 被称为  $ s $  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ , 和向量  $ s_ {2} $ 被称为  $ s $  $ S_ {2} $ 沿  $ S_ {1} $ .

我们注意到,“  $ S_ {1} $ " 和“以及  $ S_ {2} $ " 因为不需要一定子空间的补码 独特。例如,可能存在另一个子空间  $ S_ {3} $ 补充  $ S_ {1} $ . 结果,当我们将向量投影到  $ S_ {1} $ , 我们需要指定是否正在考虑  $ S_ {2} $ 要么  $ S_ {3} $ 作为补充  $ S_ {1} $ .

 $ S $ 成为所有真实空间 $ 3imes 1 $ 向量。让  $ S_ {1} $ 成为空间 跨度 通过 [eq7] 哪一个 包含的所有标量倍数  $ b_ {1} $ . 让  $ S_ {2} $ 是两者跨越的空间 向量 [eq8] 哪一个 包含所有 线性的 组合 $ c_ {1} $  $ c_ {2} $ . 我们有 [eq9] 因为没有非零向量  $ S_ {1} $ 可以写成  $ c_ {1} $  $ c_ {2} $ . 因此, [eq10]. 现在,考虑向量 [eq11] 我们 有 那 [eq12] 从而, 的独特分解  $ s $ [eq13] 哪里 $ s_ {1} = 2b_ {1} $$ s_ {2} = 2c_ {1} + c_ {2} $. 的  $ s $  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ [eq14] 和 的  $ s $  $ S_ {2} $ 沿  $ S_ {1} $ [eq15]

斜角

如上定义的投影有时也称为斜投影 为了将它们与正交投影区分开来,正交投影是特殊的 两个互补子空间的一种投影  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 正交的 补品.

投影算子

现在,我们定义运算符。

定义 $ S $ 成为线性空间  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 两个子空间 [eq16]. 功能 [eq17] 与每个人相关  $罪S $ 其上  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ 被称为运算符  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ .

投影算子的第一个重要特性是它是线性的 运算符,即保留标量的加法和乘法。

主张 操作员上  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ 是一个 线性算子.

证明

任意选择两个向量  $ s,锡S $ . 他们有独特的 分解[eq18] 哪里 [eq19][eq20]. 表示为 $ P_ {S_ {1},S_ {2}} $ 操作员到  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ . 然后, [eq21] 采取 任何两个标量  $ lpha $  $ eta $ 并考虑线性 组合[eq22] 然后, [eq23] 因此, [eq24] 以来  $ s $ ,  $ t $ ,  $ lpha $  $ eta $ 是任意的,后者相等意味着投影算子是 线性的。

有以下几点观察:

运算符矩阵

[eq25] 成为 基础 对于  $ S $ . 任何向量  $罪S $ 可以用其表示 坐标向量 与 尊重  $ B $ , 表示为 [eq26]. 如果  $ s $ 可以写成基础的线性组合 如 [eq27] 然后 [eq28]

而且,任何线性算子 $ f:S
ightarrow S $ 可以用一个方阵表示 运算符矩阵 与 尊重  $ B $ 并由 [eq29], 这样 那 [eq30]

对于操作员 $ P_ {S_ {1},S_ {2}} $, 这意味着有一个方阵 [eq31] 一旦乘以坐标 [eq32] 向量  $ s $ , 给出的坐标  $ s $  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ . 这种矩阵称为投影矩阵(或投影仪)。

定义 投影算子相对于给定基础的矩阵称为 矩阵。

如何得出矩阵

现在我们知道了投影矩阵是什么,我们可以学习如何导出它。

在讲座中 互补子空间 我们已经证明,如果 [eq33] 是基础  $ S_ {1} $ , [eq34] 是基础  $ S_ {2} $ , 和 [eq35] 然后  $杯C $ 是基础  $ S $ .

为了清晰起见,表示投影 $ P_ {S_ {1},S_ {2}} $ 只是通过  $ P $ 在下面。

注意  $ P $ 项目:

通过应用一般规则来推导线性算子的矩阵,我们 获得 那 [eq36] 哪里 I 是个  $ Kimes K $ 单位矩阵和其他块都是零矩阵(特别是 对角线一是  $石灰L $ )。

在步  $ rame {A} $ 我们使用了一个事实,即  $ b_ {k} $ 关于基础  $杯C $ (到  $ b_ {k} $ 本身属于,占据 k -th 位置)是一个向量,其单个条目等于 1k -th ) 而所有其他条目等于 0.

就这样  $ P $ 具有非常简单的结构:当我们使用它在  $ S_ {1} $ , 我们保留对应于的底数的坐标  $ S_ {1} $ 不变,我们将所有其他坐标设置为零。

但是,在大多数情况下,我们并不幸运已经有了坐标 表达关于  $杯C $ . 在这种情况下,我们需要更改基准(请修改基准 作品 这里 )。

假设用于表示坐标的基础是 E. 然后,从  $杯C $ E[eq37]

投影算子相对于基的矩阵 E[eq38]

与前面的示例一样,我们考虑空间  $ S $ 全部真实 $ 3imes 1 $ 向量。相对于 规范基础 [eq39] 哪里 [eq40] 的 的基础  $ S_ {1} $ [eq41] 哪里 [eq42] 和 的基础  $ S_ {2} $ [eq43] 哪里 [eq44] 我们 已经争论过 [eq45]. 和以前一样,表示 $ P_ {S_ {1},S_ {2}} $ (操作员到  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ ) 只是通过  $ P $ . 首先,我们有 [eq46] 因为 投影算子会保留第一个坐标并消除 其他两个(当相对于 [eq47] )。 符合我们目标的基础变化矩阵 是 [eq48] 它的 逆 是 [eq49] 的 规范基础下的矩阵 是 [eq50] 让 我们计算上  $ S_ {1} $ 的 向量 [eq11] 我们 在上一个练习中已经做过,但是这次我们可以使用 投影 矩阵: [eq52] 哪一个 与我们先前得出的结果相同。

互补投影仪

一旦我们得出矩阵 [eq53] 允许将向量投影到  $ S_ {1} $ , 导出矩阵很容易 [eq54] 允许将向量投影到互补子空间上  $ S_ {2} $ .

如果向量  $ s $ 分解为 [eq55] 然后 我们可以写到  $ S_ {2} $ [eq56] 和 它的坐标 如 [eq57]

因此,投影算子的矩阵到  $ S_ {2} $ , 有时称为互补投影仪 是 [eq58]

在上面的推导中,我们还看到了 那 [eq59]

因此,我们有 那 [eq60]

矩阵是幂等的,如果它是投影矩阵

方阵 A 当且仅当它等于 广场: [eq61]

事实证明,幂等矩阵和投影矩阵是相同的 事情!

主张 当且仅当矩阵是投影矩阵时,矩阵才是幂等的。

证明

让我们证明“如果存在”。我们从 假设 A 是一个投影矩阵。因此,它是投影算子的矩阵  $ P $ 关于某些基础 E, 那是, [eq62]. 如上所述,我们有 那 [eq63] 因此, [eq64] 哪一个 证明 A 是幂等的。现在,让我们证明“仅当”部分,从 假设 A 是幂等的。假设 A $ Kimes K $ . 让  $ S $ 成为所有人的空间 Kx1 向量。定义两个 子空间 [eq65][eq66] 在 也就是说,  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ 是矩阵定义的运算符的范围和核心 A. 我们有 那 [eq67] 以来 任何向量  $罪S $ 可以写 如 [eq68] 哪里: $ Asin S_ {1} $[eq69] 因为 [eq70] 假设 那一个向量  $ t $ 属于两者  $ S_ {1} $  $ S_ {2} $ . 以来 $ tin S_ {1} $, 那里存在  $罪S $ 这样 那 [eq71] 我们 可以将双方预先乘以 A 和 获得 [eq72] 以来 $ tin S_ {2} $, 我们有 $At=0$. 作为结果, $As=0$ 根据等式(3),以及 $t=0$ 由等式(2)。 因此, [eq73] 因此, [eq74] 从 等式(1)我们知道 A 专案  $ s $ 纳入其组成部分 $ Asin S_ {1} $. 因此,投影矢量的是投影算子的矩阵 的  $ S $ 进入  $ S_ {1} $ 沿  $ S_ {2} $ . 因此, A 是一个矩阵。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑前面两个示例中分析的投影问题,其中 我们已经将投影算子的投影矩阵推导到  $ S_ {1} $ . 推导互补投影矩阵  $ S_ {2} $ ) 并用它来找到  $ S_ {2} $ 的 向量 [eq75]

定义 [eq76]. 我们有 那 [eq77] 的 的  $ s $  $ S_ {2} $ [eq78]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "投影矩阵", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/projection-matrix.

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