投影矩阵

通过 马可·塔波加（Marco Taboga） 博士

在线性代数中，投影矩阵是与线性相关的矩阵 将向量映射到其在子空间上的投影的运算符。

初步概念

让我们首先回顾一些对于理解至关重要的概念 s。

让 成为 线性空间 。 让 和 是...的子空间 .

请记住，总和 是个 组

什么时候 和 共有零向量（即， ）， 那么总和称为 直接和 它由表示 .

而且，当直接和等于整个空间时， 是的 我们 说两个空格是 补充.

我们已经证明，什么时候 和 是互补的，任何向量 属于 可以被独特地写 如 哪里 和 .

投影

在修改所有这些概念之后，我们准备定义投影。

我们注意到，“ " 和“以及 " 因为不需要一定子空间的补码 独特。例如，可能存在另一个子空间 补充 . 结果，当我们将向量投影到 , 我们需要指定是否正在考虑 要么 作为补充 .

斜角

如上定义的投影有时也称为斜投影 为了将它们与正交投影区分开来，正交投影是特殊的 两个互补子空间的一种投影 和 是 正交的 补品.

投影算子

现在，我们定义运算符。

投影算子的第一个重要特性是它是线性的 运算符，即保留标量的加法和乘法。

有以下几点观察：

• 的 范围 的 （即，共域的子集由 ) 是 ;

• 的 核心 的 （即，映射到所有矢量的域的子集 零向量）是 .

运算符矩阵

让 成为 基础 对于 . 任何向量 可以用其表示 坐标向量 与 尊重 , 表示为 . 如果 可以写成基础的线性组合 如 然后

而且，任何线性算子 可以用一个方阵表示 运算符矩阵 与 尊重 并由 , 这样 那

对于操作员 , 这意味着有一个方阵 一旦乘以坐标 向量 , 给出的坐标 到 沿 . 这种矩阵称为投影矩阵（或投影仪）。

如何得出矩阵

现在我们知道了投影矩阵是什么，我们可以学习如何导出它。

在讲座中 互补子空间 我们已经证明，如果 是基础 , 是基础 , 和 然后 是基础 .

为了清晰起见，表示投影 只是通过 在下面。

注意 项目：

• 的向量 进入自身（因为它们的组成部分来自 等于零）；

• 的向量 归零向量（因为它们的分量来自 为零）。

通过应用一般规则来推导线性算子的矩阵，我们 获得 那 哪里 是个 单位矩阵和其他块都是零矩阵（特别是 对角线一是 ）。

在步 我们使用了一个事实，即 关于基础 （到 本身属于，占据 -th 位置）是一个向量，其单个条目等于 （ -th ） 而所有其他条目等于 .

就这样 具有非常简单的结构：当我们使用它在 , 我们保留对应于的底数的坐标 不变，我们将所有其他坐标设置为零。

但是，在大多数情况下，我们并不幸运已经有了坐标 表达关于 . 在这种情况下，我们需要更改基准（请修改基准 作品 这里 ）。

假设用于表示坐标的基础是 . 然后，从 至 是

投影算子相对于基的矩阵 是

互补投影仪

一旦我们得出矩阵 允许将向量投影到 , 导出矩阵很容易 允许将向量投影到互补子空间上 .

如果向量 分解为 然后 我们可以写到 如 和 它的坐标 如

因此，投影算子的矩阵到 , 有时称为互补投影仪 是

在上面的推导中，我们还看到了 那

因此，我们有 那

矩阵是幂等的，如果它是投影矩阵

方阵 当且仅当它等于 广场：

事实证明，幂等矩阵和投影矩阵是相同的 事情！

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑前面两个示例中分析的投影问题，其中 我们已经将投影算子的投影矩阵推导到 . 推导互补投影矩阵 ) 并用它来找到 的 向量

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "投影矩阵", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/projection-matrix.