在线性代数中,投影矩阵是与线性相关的矩阵 将向量映射到其在子空间上的投影的运算符。
让我们首先回顾一些对于理解至关重要的概念 s。
让
成为 线性空间 。 让
和
是...的子空间
.
请记住,总和
是个
组
什么时候
和
共有零向量(即,
),
那么总和称为 直接和
它由表示
.
而且,当直接和等于整个空间时,
是的 我们
说两个空格是
补充.
我们已经证明,什么时候
和
是互补的,任何向量
属于
可以被独特地写
如
哪里
和
.
在修改所有这些概念之后,我们准备定义投影。
定义
让
是一个线性空间。让
和
是互补的子空间(即,
)。
让
以其独特的
分解
在
哪一个
和
.
然后,向量
被称为
到
沿
,
和向量
被称为
到
沿
.
我们注意到,“
"
和“以及
"
因为不需要一定子空间的补码
独特。例如,可能存在另一个子空间
补充
.
结果,当我们将向量投影到
,
我们需要指定是否正在考虑
要么
作为补充
.
例
让
成为所有真实空间
向量。让
成为空间 跨度 通过
哪一个
包含的所有标量倍数
.
让
是两者跨越的空间
向量
哪一个
包含所有 线性的
组合 的
和
.
我们有
因为没有非零向量
可以写成
和
.
因此,
.
现在,考虑向量
我们
有
那
从而,
的独特分解
是
哪里
和
.
的
到
沿
是
和
的
到
沿
是
如上定义的投影有时也称为斜投影
为了将它们与正交投影区分开来,正交投影是特殊的
两个互补子空间的一种投影
和
是 正交的
补品.
现在,我们定义运算符。
定义
让
成为线性空间
和
两个子空间
.
功能
与每个人相关
其上
沿
被称为运算符
沿
.
投影算子的第一个重要特性是它是线性的 运算符,即保留标量的加法和乘法。
主张
操作员上
沿
是一个 线性算子.
任意选择两个向量
.
他们有独特的
分解
哪里
和
.
表示为
操作员到
沿
.
然后,
采取
任何两个标量
和
并考虑线性
组合
然后,
因此,
以来
,
,
和
是任意的,后者相等意味着投影算子是
线性的。
有以下几点观察:
让
成为 基础 对于
.
任何向量
可以用其表示
坐标向量 与
尊重
,
表示为
.
如果
可以写成基础的线性组合
如
然后
而且,任何线性算子
可以用一个方阵表示
运算符矩阵 与
尊重
并由
,
这样
那
对于操作员
,
这意味着有一个方阵
一旦乘以坐标
向量
,
给出的坐标
到
沿
.
这种矩阵称为投影矩阵(或投影仪)。
定义 投影算子相对于给定基础的矩阵称为 矩阵。
现在我们知道了投影矩阵是什么,我们可以学习如何导出它。
在讲座中
互补子空间
我们已经证明,如果
是基础
,
是基础
,
和
然后
是基础
.
为了清晰起见,表示投影
只是通过
在下面。
注意
项目:
的向量
进入自身(因为它们的组成部分来自
等于零);
的向量
归零向量(因为它们的分量来自
为零)。
通过应用一般规则来推导线性算子的矩阵,我们
获得
那 哪里
是个
单位矩阵和其他块都是零矩阵(特别是
对角线一是
)。
在步
我们使用了一个事实,即
关于基础
(到
本身属于,占据
-th
位置)是一个向量,其单个条目等于
(
-th )
而所有其他条目等于
.
就这样
具有非常简单的结构:当我们使用它在
,
我们保留对应于的底数的坐标
不变,我们将所有其他坐标设置为零。
但是,在大多数情况下,我们并不幸运已经有了坐标
表达关于
.
在这种情况下,我们需要更改基准(请修改基准
作品 这里 )。
假设用于表示坐标的基础是
.
然后,从
至
是
投影算子相对于基的矩阵
是
例
与前面的示例一样,我们考虑空间
全部真实
向量。相对于
规范基础
哪里
的
的基础
是
哪里
和
的基础
是
哪里
我们
已经争论过
.
和以前一样,表示
(操作员到
沿
)
只是通过
.
首先,我们有
因为
投影算子会保留第一个坐标并消除
其他两个(当相对于
)。
符合我们目标的基础变化矩阵
是
它的
逆
是
的
规范基础下的矩阵
是
让
我们计算上
的
向量
我们
在上一个练习中已经做过,但是这次我们可以使用
投影
矩阵:
哪一个
与我们先前得出的结果相同。
一旦我们得出矩阵
允许将向量投影到
,
导出矩阵很容易
允许将向量投影到互补子空间上
.
如果向量
分解为
然后
我们可以写到
如
和
它的坐标
如
因此,投影算子的矩阵到
,
有时称为互补投影仪
是
在上面的推导中,我们还看到了
那
因此,我们有
那
方阵
当且仅当它等于
广场:
事实证明,幂等矩阵和投影矩阵是相同的 事情!
主张 当且仅当矩阵是投影矩阵时,矩阵才是幂等的。
让我们证明“如果存在”。我们从
假设
是一个投影矩阵。因此,它是投影算子的矩阵
关于某些基础
,
那是,
.
如上所述,我们有
那
因此,
哪一个
证明
是幂等的。现在,让我们证明“仅当”部分,从
假设
是幂等的。假设
是
.
让
成为所有人的空间
向量。定义两个
子空间
和
在
也就是说,
和
是矩阵定义的运算符的范围和核心
.
我们有
那
以来
任何向量
可以写
如
哪里:
和
因为
假设
那一个向量
属于两者
和
.
以来
,
那里存在
这样
那
我们
可以将双方预先乘以
和
获得
以来
,
我们有
.
作为结果,
根据等式(3),以及
由等式(2)。
因此,
因此,
从
等式(1)我们知道
专案
纳入其组成部分
.
因此,投影矢量的是投影算子的矩阵
的
进入
沿
.
因此,
是一个矩阵。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
考虑前面两个示例中分析的投影问题,其中
我们已经将投影算子的投影矩阵推导到
.
推导互补投影矩阵
)
并用它来找到
的
向量
定义
.
我们有
那
的
的
到
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "投影矩阵", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/projection-matrix.