在本讲座中,我们总结了块矩阵所具有的一些简单属性 (也称为分区矩阵)。
我们将假设读者已经熟悉了 a 块矩阵.
如果两个块矩阵
和
具有相同的尺寸,并以相同的方式分区,我们得到它们
通过添加相应的块求和。
例
如果
我们
可以计算他们的总和
如
所有成对的夫妇都必须具有相同的尺寸。例如,在
上面的例子,如果
是
(
行和
列),然后
一定是
.
块矩阵的这种属性是
矩阵加法的定义.
具有相同维数的两个矩阵可以通过将它们相加而加在一起
相应的条目。例如,
-th
进入
是
-th
进入
和
-th
进入
.
如果我们先分区,这不会改变
和
然后我们将两个块加在一起
-th
的条目
和
分别属于。
记得
矩阵的乘法
由标量
通过将的所有条目相乘来执行
由标量
.
通过将的所有块相乘可以获得相同的结果
通过
(因为每个块的所有条目都乘以
)
例
如果
然后
两个块矩阵的乘法可以像它们的块一样进行
是标量,使用标准规则
矩阵乘法:
的
-th
产品块
等于之间的点积
-th
排的
和
-th
列的块
.
例
给定两个街区
矩阵我们
有
那
由于所有产品都必须定义明确,因此涉及的所有模块
乘法必须是一致的。例如,在上面的示例中
的列数
和的行数
必须与产品一致
明确定义。
以下证明了点积公式可以应用于块矩阵。
让我们从两种情况开始
矩阵
和
在前面的示例中。假设块
和
有
列。作为结果,
和
一定有
明确定义块产品的行。进一步假设块
和
有
列。它遵循
和
一定有
行。根据矩阵乘积的定义,
-th
进入
是
现在,
假设
树叶
矩阵上部的行和
在下一个。进一步假设
树叶
左边的列和
在右边。那如果
和
(的左上象限
),
我们
有
哪里
我们使用以下事实:1)
什么时候
和
;
什么时候
和
;
3)
什么时候
和
;
4)
什么时候
和
.
因此,就左上象限而言,我们希望
证明是真的。同样,我们可以讨论以下情况
和
(右上象限),用于
哪一个
我们
不要报告其余两个象限的证明。
此外,如果该阻止,可以进行类似的个案讨论
矩阵以不同的方式分区(即,它具有不同数量的
水平和垂直切割)。
证明虽然乏味,但可以让我们更好地理解
条件所有块都可以相乘。分区必须是这样的
垂直分隔的
树叶
左边的列和
在右边 当且仅当 的水平分区
树叶
矩阵上部的行和
在下部。对水平分隔没有任何限制
和垂直分区
.
块矩阵的转置
是矩阵
这样
-th
的块
等于
-th
的块
.
例
分区矩阵的转置
是
证明如下。
让我们首先证明矩阵的结果
在这个例子中。假设:1)
和
有
行; 2)
和
有
行; 3)
和
有
列; 4)
和
有
列。然后,我们可以定义
-th
进入
如
通过
转置的定义,我们有
-th
进入
是
因此,
我们
可以轻松检查此案例定义是否对应于
的
具有不同分区(即不同数字)的块矩阵的证明
(水平和垂直切口的数量)相似(每个案例的定义
矩阵会根据切分的数量而变化)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
定义块
矩阵哪里
是一个单位矩阵,
是零的矩阵。计算产品
.
我们有转置
是
和
产品
是
定义块
矩阵怎么样
是转置
结构化的?
转置
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "块矩阵的性质", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/properties-of-block-matrices.