块矩阵的属性

经过 Marco Taboga.，博士学位

在这篇讲座中，我们总结了块矩阵享有的一些简单的属性（也称为分区矩阵）。

我们将假设读者已经熟悉了概念 a block matrix.

添加块矩阵
块矩阵的标量乘法
块矩阵的乘法
转换块矩阵
解决练习

练习1
练习2

添加块矩阵

如果两个块矩阵 $m_ {1}$ and $m_ {2}$ 具有相同的维度并以相同的方式分区，我们获得了他们的通过添加相应的块。

例子 If [eq1] 我们可以计算他们的总和 as [eq2]

所有耦合都需要具有相同的维度。例如，在上面的例子，如果 $a_ {1}$ is ( rows and columns), then $a_ {2}$ must be .

块矩阵的这种属性是直接的后果矩阵的定义. 可以通过添加它们的两个具有相同维度的矩阵相应的条目。例如， - entry of $m_ {1} + m_ {2}$ is the sum of the - entry of $m_ {1}$ and the - entry of $m_ {2}$ . 如果我们第一次分区，这不会改变 $m_ {1}$ and $m_ {2}$ 然后我们将两个街区添加在一起 - entries of $m_ {1}$ and $m_ {2}$ respectively belong.

块矩阵的标量乘法

Remember 矩阵的乘法 by a scalar 通过乘以所有条目来执行 by the scalar .

通过乘以所有块来实现相同的结果 by （因为那么每个块的所有条目都是乘以的 )

例子 If [eq3] 然后 [eq4]

块矩阵的乘法

可以执行两个块矩阵的乘法，就像它们的块一样通过使用标准规则来标准是标准矩阵乘法: the - block of the product $m_ {1} m_ {2}$ 等于圆点产品 - row of blocks of $m_ {1}$ and the - column of blocks of $m_ {2}$ .

例子 Given two block matrices [eq5] 我们 have that [eq6]

由于所有产品必须定义得很好，所涉及的所有块耦合在乘法中必须是可符合的。例如，在上面的示例中列的列数 $a_ {1}$ 和行的数量 $a_ {2}$ 必须重合产品 $a_ {1} a_ {2}$ to be well-defined.

举例地施加DOT产品公式的证据。

证明

让我们从两者的案例开始 matrices $m_ {1}$ and $m_ {2}$ 在前面的例子中。假设块 $a_ {1}$ and $c_ {1}$ have $s_ {1}$ 列。作为结果， $a_ {2}$ and $b_ {2}$ must have $s_ {1}$ 块产品的行是明确定义的。进一步假设块 $b_ {1}$ and $d_ {1}$ have $s_ {2}$ 列。它遵循 $c_ {2}$ and $d_ {2}$ must have $s_ {2}$ 行。通过矩阵产品的定义， - entry of $m_ {1} m_ {2}$ is [eq7] 现在，假设分区 $m_ {1}$ leaves $k_ {1}$ 矩阵上部的行和 $k_ {2}$ 在较低的一个。进一步假设分区 $m_ {2}$ leaves $l_ {1}$ 左侧的列和 $l_ {2}$ 向右。然后，如果 $kleq k_ {1}$ and $lleq l_ {1}$ （左上象限 $m_ {1} m_ {2}$ ）， we have [eq8] 在哪里我们使用了以下事实：1） when $kleq k_ {1}$ and $sleq s_ {1}$ ; when $sleq s_ {1}$ and $lleq l_ {1}$ ; 3) when $kleq k_ {1}$ and ; 4) when and $lleq l_ {1}$ . 因此，就左上象限而言，我们想要的索赔证明是真的。沿着类似的线路，我们可以讨论这种情况 $kleq k_ {1}$ and $L>L_{1}$ （右上象限 $m_ {1} m_ {2}$ ）， for which [eq13] 我们不要报告剩余的两个象限的证据，这些象限是类似的。此外，如果块可以执行类似的逐个逐个案例讨论矩阵以不同的方式划分（即，它具有不同的数量水平和垂直切割）。

凭证虽然繁琐，让我们更好地了解什么条件可以乘以所有块。分区需要这样做那个垂直分区 $m_ {1}$ leaves $s_ {1}$ 左侧的列和 $s_ {2}$ to the right 如果并且只有 水平分区 $m_ {2}$ leaves $s_ {1}$ 矩阵上部的行和 $s_ {2}$ 在下半部分。对水平分区没有约束 $m_ {1}$ 和垂直分区 $m_ {2}$ .

转换块矩阵

块矩阵的转换 is the matrix $m ^ {op}$ such that the - block of $m ^ {op}$ 等于转置 - block of .

例子分段矩阵 [eq14] 是 [eq15]

A proof follows.

证明

让我们首先证明矩阵的结果在该示例中。假设：1） and have $j_ {1}$ rows; 2) and have $j_ {2}$ rows; 3) and have $k_ {1}$ columns; 4) and have $k_ {2}$ 列。然后，我们可以定义 - entry of as [eq16] 经过转置的定义，我们有那个 - entry of $m ^ {op}$ is 所以， [eq18] 我们可以轻松检查这种逐个案例的定义对应于 [eq15] 这具有不同分区的块矩阵的证明（即，不同的数字水平和垂直切割）是相似的（逐壳的定义基于截止的数量来改变矩阵。