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块矩阵的属性

经过 ,博士学位

在这篇讲座中,我们总结了块矩阵享有的一些简单的属性 (也称为分区矩阵)。

我们将假设读者已经熟悉了概念 a block matrix.

目录

添加块矩阵

如果两个块矩阵 $ m_ {1} $ and $ m_ {2} $ 具有相同的维度并以相同的方式分区,我们获得了他们的 通过添加相应的块。

例子 If [eq1]我们 可以计算他们的总和 as[eq2]

所有耦合都需要具有相同的维度。例如,在 上面的例子,如果 $ a_ {1} $ is $ jimes k $ ($ j $ rows and K columns), then $ a_ {2} $ must be $ jimes k $.

块矩阵的这种属性是直接的后果 矩阵的定义. 可以通过添加它们的两个具有相同维度的矩阵 相应的条目。例如, $ left(j,k
Ight)$ - entry of $ m_ {1} + m_ {2} $ is the sum of the $ left(j,k
Ight)$ - entry of $ m_ {1} $ and the $ left(j,k
Ight)$ - entry of $ m_ {2} $. 如果我们第一次分区,这不会改变 $ m_ {1} $ and $ m_ {2} $ 然后我们将两个街区添加在一起 $ left(j,k
Ight)$ - entries of $ m_ {1} $ and $ m_ {2} $ respectively belong.

块矩阵的标量乘法

Remember 矩阵的乘法 $ m $. by a scalar $ lpha $ 通过乘以所有条目来执行 $ m $. by the scalar $ lpha $.

通过乘以所有块来实现相同的结果 $ m $. by $ lpha $ (因为那么每个块的所有条目都是乘以的 $ lpha $)$。$

例子 If [eq3]然后[eq4]

块矩阵的乘法

可以执行两个块矩阵的乘法,就像它们的块一样 通过使用标准规则来标准是标准 矩阵乘法: the $ left(j,k
Ight)$ - block of the product $ m_ {1} m_ {2} $ 等于圆点产品 $ j $ - row of blocks of $ m_ {1} $ and the k - column of blocks of $ m_ {2} $.

例子 Given two block matrices[eq5]我们 have that[eq6]

由于所有产品必须定义得很好,所涉及的所有块耦合 在乘法中必须是可符合的。例如,在上面的示例中 列的列数 $ a_ {1} $ 和行的数量 $ a_ {2} $ 必须重合产品 $ a_ {1} a_ {2} $ to be well-defined.

举例地施加DOT产品公式的证据。

证明

让我们从两者的案例开始 matrices $ m_ {1} $ and $ m_ {2} $ 在前面的例子中。假设块 $ a_ {1} $ and $ c_ {1} $ have $ s_ {1} $ 列。作为结果, $ a_ {2} $ and $ b_ {2} $ must have $ s_ {1} $ 块产品的行是明确定义的。进一步假设块 $ b_ {1} $ and $ d_ {1} $ have $ s_ {2} $ 列。它遵循 $ c_ {2} $ and $ d_ {2} $ must have $ s_ {2} $ 行。通过矩阵产品的定义, $ left(k,l
Ight)$ - entry of $ m_ {1} m_ {2} $ is[eq7]现在, 假设分区 $ m_ {1} $ leaves $ k_ {1} $ 矩阵上部的行和 $ k_ {2} $ 在较低的一个。进一步假设分区 $ m_ {2} $ leaves $ l_ {1} $ 左侧的列和 $ l_ {2} $ 向右。然后,如果 $ kleq k_ {1} $ and $ lleq l_ {1} $ (左上象限 $ m_ {1} m_ {2} $), we have[eq8]在哪里 我们使用了以下事实:1) [eq9] when $ kleq k_ {1} $ and $ sleq s_ {1} $; [eq10] when $ sleq s_ {1} $ and $ lleq l_ {1} $; 3) [eq11] when $ kleq k_ {1} $ and $s>0$; 4) [eq12] when $s>0$ and $ lleq l_ {1} $. 因此,就左上象限而言,我们想要的索赔 证明是真的。沿着类似的线路,我们可以讨论这种情况 $ kleq k_ {1} $ and $L>L_{1}$ (右上象限 $ m_ {1} m_ {2} $), for which[eq13]我们 不要报告剩余的两个象限的证据,这些象限是类似的。 此外,如果块可以执行类似的逐个逐个案例讨论 矩阵以不同的方式划分(即,它具有不同的数量 水平和垂直切割)。

凭证虽然繁琐,让我们更好地了解什么 条件可以乘以所有块。分区需要这样做 那个垂直分区 $ m_ {1} $ leaves $ s_ {1} $ 左侧的列和 $ s_ {2} $ to the right 如果并且只有 水平分区 $ m_ {2} $ leaves $ s_ {1} $ 矩阵上部的行和 $ s_ {2} $ 在下半部分。对水平分区没有约束 $ m_ {1} $ 和垂直分区 $ m_ {2} $.

转换块矩阵

块矩阵的转换 $ m $. is the matrix $ m ^ {op} $ such that the $ left(j,k
Ight)$ - block of $ m ^ {op} $ 等于转置 $ left(k,j
Ight)$ - block of $ m $..

例子 分段矩阵 [eq14][eq15]

A proof follows.

证明

让我们首先证明矩阵的结果 $ m $. 在该示例中。假设:1) A and $ b $ have $ j_ {1} $ rows; 2) $ C $ and $ d $ have $ j_ {2} $ rows; 3) A and $ C $ have $ k_ {1} $ columns; 4) $ b $ and $ d $ have $ k_ {2} $ 列。然后,我们可以定义 $ left(j,k
Ight)$ - entry of $ m $. as[eq16]经过 转置的定义,我们有那个 $ left(k,j
Ight)$ - entry of $ m ^ {op} $ is [eq17]所以,[eq18]我们 可以轻松检查这种逐个案例的定义对应于 [eq15]这 具有不同分区的块矩阵的证明(即,不同的数字 水平和垂直切割)是相似的(逐壳的定义 基于截止的数量来改变矩阵。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define the block matrix[eq20]在哪里 I 是一个身份矩阵和 0 是零的矩阵。计算产品 $ mm ^ {op} $.

解决方案

我们有那颠倒了 $ m $. is[eq21]和 the product is[eq22]

练习2

Define the block matrix[eq23]如何 is the transpose $ m ^ {op} $ structured?

解决方案

转置 $ m $. is[eq24]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "块矩阵的属性", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/properties-of-block-matrices.

这本书

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