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块矩阵的性质

通过 博士

在本讲座中,我们总结了块矩阵所具有的一些简单属性 (也称为分区矩阵)。

我们将假设读者已经熟悉了 a 块矩阵.

目录

块矩阵的加法

如果两个块矩阵 $ M_ {1} $$ M_ {2} $ 具有相同的尺寸,并以相同的方式分区,我们得到它们 通过添加相应的块求和。

如果 [eq1]我们 可以计算他们的总和 如 [eq2]

所有成对的夫妇都必须具有相同的尺寸。例如,在 上面的例子,如果 $ A_ {1} $$ Jimes K $ ($ J $ 行和 K 列),然后 $ A_ {2} $ 一定是 $ Jimes K $.

块矩阵的这种属性是 矩阵加法的定义. 具有相同维数的两个矩阵可以通过将它们相加而加在一起 相应的条目。例如, $ left(j,k
权)$-th 进入 $ M_ {1} + M_ {2} $$ left(j,k
权)$-th 进入 $ M_ {1} $$ left(j,k
权)$-th 进入 $ M_ {2} $. 如果我们先分区,这不会改变 $ M_ {1} $$ M_ {2} $ 然后我们将两个块加在一起 $ left(j,k
权)$-th 的条目 $ M_ {1} $$ M_ {2} $ 分别属于。

块矩阵的标量乘法

记得 矩阵的乘法 $ M $ 由标量 $ lpha $ 通过将的所有条目相乘来执行 $ M $ 由标量 $ lpha $.

通过将的所有块相乘可以获得相同的结果 $ M $ 通过 $ lpha $ (因为每个块的所有条目都乘以 $ lpha $)$。$

如果 [eq3]然后[eq4]

块矩阵相乘

两个块矩阵的乘法可以像它们的块一样进行 是标量,使用标准规则 矩阵乘法: 的 $ left(j,k
权)$-th 产品块 $ M_ {1} M_ {2} $ 等于之间的点积 $ j $-th 排的 $ M_ {1} $k-th 列的块 $ M_ {2} $.

给定两个街区 矩阵[eq5]我们 有 那[eq6]

由于所有产品都必须定义明确,因此涉及的所有模块 乘法必须是一致的。例如,在上面的示例中 的列数 $ A_ {1} $ 和的行数 $ A_ {2} $ 必须与产品一致 $ A_ {1} A_ {2} $ 明确定义。

以下证明了点积公式可以应用于块矩阵。

证明

让我们从两种情况开始 矩阵 $ M_ {1} $$ M_ {2} $ 在前面的示例中。假设块 $ A_ {1} $$ C_ {1} $$ S_ {1} $ 列。作为结果, $ A_ {2} $$ B_ {2} $ 一定有 $ S_ {1} $ 明确定义块产品的行。进一步假设块 $ B_ {1} $$ D_ {1} $$ S_ {2} $ 列。它遵循 $ C_ {2} $$ D_ {2} $ 一定有 $ S_ {2} $ 行。根据矩阵乘积的定义, $ left(j,k
权)$-th 进入 $ M_ {1} M_ {2} $[eq7]现在, 假设 $ M_ {1} $ 树叶 $ J_ {1} $ 矩阵上部的行和 $ J_ {2} $ 在下一个。进一步假设 $ M_ {2} $ 树叶 $ K_ {1} $ 左边的列和 $ K_ {2} $ 在右边。那如果 $ jleq J_ {1} $$ kleq K_ {2} $ (的左上象限 $ M_ {1} M_ {2} $), 我们 有[eq8]哪里 我们使用以下事实:1) [eq9] 什么时候 $ jleq J_ {1} $$ sleq S_ {1} $; [eq10] 什么时候 $ sleq S_ {1} $$ kleq K_ {2} $; 3) [eq11] 什么时候 $ jleq J_ {1} $$s>S_{1}$; 4) [eq12] 什么时候 $s>S_{1}$$ kleq K_ {2} $. 因此,就左上象限而言,我们希望 证明是真的。同样,我们可以讨论以下情况 $ jleq J_ {1} $$k>K_{2}$ (右上象限),用于 哪一个[eq13]我们 不要报告其余两个象限的证明。 此外,如果该阻止,可以进行类似的个案讨论 矩阵以不同的方式分区(即,它具有不同数量的 水平和垂直切割)。

证明虽然乏味,但可以让我们更好地理解 条件所有块都可以相乘。分区必须是这样的 垂直分隔的 $ M_ {1} $ 树叶 $ S_ {1} $ 左边的列和 $ S_ {2} $ 在右边 当且仅当 的水平分区 $ M_ {2} $ 树叶 $ S_ {1} $ 矩阵上部的行和 $ S_ {2} $ 在下部。对水平分隔没有任何限制 $ M_ {1} $ 和垂直分区 $ M_ {2} $.

块矩阵转置

块矩阵的转置 $ M $ 是矩阵 $ M ^ {op} $ 这样 $ left(j,k
权)$-th 的块 $ M ^ {op} $ 等于 $ left(k,j
权)$-th 的块 $ M $.

分区矩阵的转置 [eq14][eq15]

证明如下。

证明

让我们首先证明矩阵的结果 $ M $ 在这个例子中。假设:1) A$ B $$ J_ {1} $ 行; 2) $ C $$ D $$ J_ {2} $ 行; 3) A$ C $$ K_ {1} $ 列; 4) $ B $$ D $$ K_ {2} $ 列。然后,我们可以定义 $ left(j,k
权)$-th 进入 $ M $[eq16]通过 转置的定义,我们有 $ left(k,j
权)$-th 进入 $ M ^ {op} $[eq17]因此,[eq18]我们 可以轻松检查此案例定义是否对应于 [eq15]的 具有不同分区(即不同数字)的块矩阵的证明 (水平和垂直切口的数量)相似(每个案例的定义 矩阵会根据切分的数量而变化)。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义块 矩阵[eq20]哪里 I 是一个单位矩阵, 0 是零的矩阵。计算产品 $ MM ^ {op} $.

我们有转置 $ M $[eq21]和 产品 是[eq22]

练习2

定义块 矩阵[eq23]怎么样 是转置 $ M ^ {op} $ 结构化的?

转置 $ M $[eq24]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "块矩阵的性质", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/properties-of-block-matrices.

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