在Statlect上搜索概率和统计术语
统计列克特
指数 > 矩阵代数

特征值和特征向量的性质

通过 博士

本讲座讨论了 特征值和 特征向量 方阵

目录

左特征向量

第一个属性涉及矩阵转置的特征值。

主张A 成为 $ Kimes K $ 方阵。标量 $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅当它是一个特征值 $ A ^ {intercal} $.

证明

记住标量 $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅当它解决了特征 方程[eq1]哪里 $ det $ 表示 行列式。我们知道 那 换位不 改变行列式. 从而,[eq2]因此, $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅 如果[eq3]哪一个 仅当且仅当被验证 $ lambda $ 也是的特征值 $ A ^ {intercal} $.

即使 A$ A ^ {intercal} $ 具有相同的特征值,它们不一定具有相同的特征向量。

如果 $ y $ 是转置的特征向量, 满足[eq4]

通过转置等式的两边,我们 得到[eq5]

行向量 $ y ^ {intercal} $ 被称为的左特征向量 A.

三角矩阵的特征值

三角矩阵的对角元素等于其特征值。

主张A 成为 $ Kimes K $ 三角矩阵。然后,每个 的对角线项的 A 是的特征值 A.

证明

$ lambda $ 标量。 然后[eq6]是 三角形,因为将恒等矩阵的标量倍数添加到 $ -A $ 仅影响 $ -A $. 特别是如果 $ A_ {kk} $ 是的对角线入口 A, 然后 $ lambda -A_ {kk} $ 是的对角线入口 $ lambda I-A $. 以来 a的行列式 三角矩阵等于其对角线入口的乘积, 我们有 那[eq7]以来 的特征值 A 满足特征 方程[eq8]我们 有那个 $ lambda $ 是的特征值 A 如果其中一项 [eq9] 上述乘积的等于零,即 $ lambda = A_ {kk} $ 对于一些 k.

零特征值和可逆性

特征值使我们能够判断矩阵是否可逆。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。然后 A 可逆的 当且仅当它 没有零特征值。

证明

我们知道 $ lambda $ 是的特征值 A 当且仅当它满足特征时 方程[eq10]因此, 0 不是的特征值 A 当且仅 如果[eq11]哪一个 当且仅当 A 是可逆的(请参阅 行列式 矩阵)。

逆矩阵的特征值和特征向量

逆的特征值易于计算。

主张A 成为 $ Kimes K $ 可逆矩阵。然后 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当 $ lambda ^ {-1} $ 是的特征值 $ A ^ {-1} $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

标量 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当 [eq12]以来 A 是可逆的 $lambda 
eq 0$ 我们可以将方程的两边乘以 [eq13], 为了 获得[eq14]要么[eq15]哪一个 当且仅当为真 $ lambda ^ {-1} $ 是的特征值 $ A ^ {-1} $ 与特征向量相关 x.

共轭对

一个有趣的事实是,实矩阵的复杂特征值总是会出现 在共轭对中。

主张A 成为 $ Kimes K $ 具有真实项的矩阵。复数 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当其复共轭 [eq16] 是对应于 共轭载体 $ overline {x} $.

证明

标量 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当 [eq17]通过 取方程两边的复共轭,我们 获得[eq18]以来 A 是实数,等于其复共轭。 因此,[eq19]那 是的 [eq20] 是的特征值 A 对应于特征向量 $ overline {x} $.

标量倍数

要是我们 乘以 标量矩阵,然后将其所有特征值乘以相同的 标量。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 $lpha 
eq 0$ 标量。如果 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x, 然后 $ lpha lambda $ 是的特征值 $ lpha A $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

标量 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当 [eq21]如果 我们将方程的两边乘以标量 $ lpha $, 我们 得到[eq22]哪一个 当且仅当为真 $ lpha lambda $ 是的特征值 $ lpha A $ 对应于特征向量 x.

矩阵幂

n 是自然数。的 n-th 方阵的幂 A[eq23]

换句话说, n-th 通过执行获得动力 n 矩阵乘法A 通过它自己。

容易推导的特征值 $ A ^ {n} $ 从那些 A.

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x, 然后 $ lambda ^ {n} $ 是的特征值 $ A ^ {n} $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

标量 $ lambda $ 是的特征值 A 对应于特征向量 x 当且仅当 [eq24]如果 我们将方程式的两边都乘以 A, 我们 得到[eq25]如果 我们再次将双方乘以 A, 我们 获得[eq26]我们 可以这种方式进行,直到我们 得到[eq27]哪一个 当且仅当为真 $ lambda ^ {n} $ 是的特征值 $ A ^ {n} $ 对应于特征向量 x.

厄米矩阵的所有特征值都是实数

记住,矩阵 A 当且仅当它等于 共轭 转置:[eq28]

厄米矩阵具有以下很好的性质。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。如果 A 是Hermitian,则其所有特征值都是实数(即,它们的复杂部分是 零)。

证明

任意选择一个特征值 $ lambda $ 及其相关的特征向量之一 x. 根据特征向量的定义, $x
eq 0$. 注意 那[eq29]哪里 [eq30] 表示 规范x. 如果我们采用刚刚导出的方程式两边的共轭转置, 我们 获得[eq31]哪里 我们已经使用了这样的事实,即规范是一个实数,因此, 复杂的共轭使其不受影响。而且,我们可以取代 $ A ^ {st} $ 在最后一个方程式中 A 因为 A 是埃尔米特人。因此,我们 有[eq32][eq33][eq34] 暗示 $ lambda $ 零复杂部分。

对称实矩阵的所有特征值均为实

如果是实矩阵 A 是对称的(即, $ A = A ^ {op} $), 那也是厄米(Hermitian)(即 [eq35]) 因为复杂的共轭使得实数不受影响。因此,通过 前面的命题,一个实对称矩阵的所有特征值都是实的。

迹线等于特征值之和

请记住 痕迹 矩阵 是其对角线条目的总和。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 [eq36] 它的特征值 然后,[eq37]

证明

为了使这一证明尽可能简单,我们 使用的概念 相似 舒尔分解, 我们尚未介绍。您可能现在想跳过此证明, 在研究了这两个概念之后阅读。通过舒尔分解, $ A $ 完全类似于上三角矩阵 $ T $. 当两个矩阵相似时,它们具有相同的迹线和相同的 特征值。而且,因为 $ T $ 是三角形,其对角线项是其特征值。 因此,[eq38]

行列式等于特征值的乘积

下一个重要结果将矩阵的行列式与其 特征值。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵和 [eq36] 它的特征值 然后,[eq40]

证明

与之前的证明一样,我们使用 的概念 相似 舒尔分解。由 舒尔分解, A 完全类似于上三角矩阵 $ T $. 两个相似的矩阵具有相同的行列式和相同的特征值。 而且,因为 $ T $ 是三角形,其对角线项是其特征值,其行列式为 等于其对角线入口的乘积。 因此,[eq41]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

定义[eq42]

找出的特征值 [eq43]

以来 A 是三角形,其特征值等于其对角线项。因此, 的特征值 A[eq44]换位 不会改变特征值和乘以 $2$ 将它们加倍。因此,...的特征值 [eq45][eq46]那些 逆的 [eq47][eq48]和 那些 [eq49][eq50]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "特征值和特征向量的性质", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/properties-of-eigenvalues-and-eigenvectors.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。