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特征值和特征向量的性质

经过 ,博士学位

这次讲座讨论了一些属性 eigenvalues and eigenvectors 的 a square matrix.

目录

左特征向量

第一属性涉及矩阵转置的特征值。

主张 Let A be a $ kimes k $ 方矩阵。一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 如果并且只有它是一个特征值 $ a ^ {intercal} $.

证明

记住一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 如果它只是解决了特征 equation[eq1]在哪里 $ det $ denotes the determinant。我们知道 that 换位没有 改变决定因素. Thus,[eq2]所以, $ lambda $ is an eigenvalue of A if and only if[eq3]哪一个 如果且仅在 $ lambda $ 也是一个特征值 $ a ^ {intercal} $.

Even if A and $ a ^ {intercal} $ 具有相同的特征值,它们不一定具有相同的特征向量。

If $ y $ 它是转置的特征向量 satisfies[eq4]

我们通过转换等式的两侧 get[eq5]

The row vector $ y ^ {intercal} $ 被称为左特征向量 A.

三角矩阵的特征值

三角形矩阵的对角线元件等于其特征值。

主张 Let A be a $ kimes k $ triangular matrix。然后,每个 对角线条目 A is an eigenvalue of A.

证明

$ lambda $ be a scalar. Then[eq6]是 三角形,因为添加标识矩阵的标量倍数 $ -a $ 只影响对角线条目 $ -a $. In particular, if $ a_ {kk} $ 是一个对角线条目 A, then $ lambda -a_ {kk} $ 是一个对角线条目 $ lambda i-a $. Since the determinant of a 三角矩阵等于其对角线条目的乘积, 我们有 that[eq7]自从 the eigenvalues of A 满足特征 equation[eq8]我们 have that $ lambda $ is an eigenvalue of A if one of the terms [eq9] 上述产品等于零,即如果 $ lambda = a_ {kk} $ for some k.

零特征值和可逆性

特征值允许我们判断矩阵是否可逆。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. Then A is invertible 如果并且只有 it 没有零特征值。

证明

我们知道 $ lambda $ is an eigenvalue of A 如果且仅当它满足特征 equation[eq10]所以, 0 不是一个特征值 A if and only if[eq11]哪一个 如果且仅在 A 是可逆的(见上的部分 单数的决定因素 matrix)。

逆矩阵的特征值和特征向量

逆的特征值易于计算。

主张 Let A be a $ kimes k $ 可逆矩阵。然后 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x if and only if $ lambda ^ { -  1} $ is an eigenvalue of $ a ^ { -  1} $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x if and only if [eq12]自从 A is invertible, $lambda 
eq 0$ 我们可以乘以等式的两侧 [eq13], so as to obtain[eq14]或者[eq15]哪一个 如果只有,是真的 $ lambda ^ { -  1} $ is an eigenvalue of $ a ^ { -  1} $ 与特征向量相关联 x.

共轭对

一个有趣的事实是,真正矩阵的复杂特征值总是来 in conjugate pairs.

主张 Let A be a $ kimes k $ 矩阵有真实条目。一个复杂的数字 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x 如果并且只有其复杂的共轭 [eq16] 是一个对应的特征值 共轭 vector $ overline {x} $.

证明

一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x if and only if [eq17]经过 考虑到等式两侧的复杂共轭,我们 obtain[eq18]自从 A 是真实的,它等于其复杂的缀合物。 Therefore,[eq19]那 is, [eq20] is an eigenvalue of A 对应于特征向量 $ overline {x} $.

标量倍数

If we multiply a matrix by a scalar,那么所有的特征值都是相同的 scalar.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and $lpha 
eq 0$ a scalar. If $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x, then $ lpha lambda $ is an eigenvalue of $ lpha a $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x if and only if [eq21]如果 我们将等式的两侧乘以标量 $ lpha $, we get[eq22]哪一个 如果只有,是真的 $ lpha lambda $ is an eigenvalue of $ lpha a $ 对应于特征向量 x.

矩阵权力

Let n 是一个自然的数量。这 n - 方矩阵的力量 A is[eq23]

In other words, the n - 通过执行获得权力 n 矩阵乘法 of A by itself.

它很容易衍生出特征值 $ a ^ {n} $ from those of A.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. If $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x, then $ lambda ^ {n} $ is an eigenvalue of $ a ^ {n} $ 对应于相同的特征向量 x.

证明

一个标量 $ lambda $ is an eigenvalue of A 对应于特征向量 x if and only if [eq24]如果 我们预先乘以等式的两侧 A, we get[eq25]如果 我们再次预先乘坐双方 A, we obtain[eq26]我们 可以以这种方式继续之前 get[eq27]哪一个 如果只有,是真的 $ lambda ^ {n} $ is an eigenvalue of $ a ^ {n} $ 对应于特征向量 x.

隐士矩阵的所有特征值都是真实的

记住矩阵 A 据说是亨密人,如果它等于它 conjugate transpose:[eq28]

赫米特矩阵有以下好财产。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix. If A 是亨密人,那么其所有特征值都是真实的(即,他们的复杂部件是 zero).

证明

任意选择一个特征值 $ lambda $ 以及其相关的特征向量之一 x. 通过针对特征向量的定义, $x
eq 0$. Note that[eq29]在哪里 [eq30] denotes the norm of x. 如果我们采取刚刚得出的等式的两侧的共轭转向, we obtain[eq31]在哪里 我们已经使用了规范是实数,并且因此, 复合缀合物使其不受影响。而且,我们可以取代 $ a ^ {st} $ 在最后一个等式中 A because A 是赫米特人。因此,我们 have[eq32][eq33][eq34] implies that $ lambda $ 有零复杂部分。

对称实际矩阵的所有特征值都是真实的

If a real matrix A is symmetric (i.e., $ a = a ^ {op} $), 那么它也是赫米特人(即, [eq35]) 因为复杂的共轭留下了不受影响的实数。因此,由此 以前的命题,真实对称矩阵的所有特征值都是真实的。

该跟踪等于特征值的总和

Remember that the trace of a matrix 是其对角线条目的总和。

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and [eq36] its eigenvalues. Then,[eq37]

证明

我们尽可能简单地制作这个证据 use the concepts of similarity and Schur decomposition, 我们还没有引入。您现在可能想跳过此证明 在研究这两个概念后阅读它。由施施分解, $ a $ 与上三角矩阵相同 $ t $. 当两个矩阵相似时,它们具有相同的迹线和相同的迹线 特征值。而且,因为 $ t $ 是三角形的,它的对角线条目是其特征值。 Therefore,[eq38]

决定蛋白等于特征值的产物

下一个重要结果将矩阵的决定因素链接到其内容 eigenvalues.

主张 Let A be a $ kimes k $ matrix and [eq36] its eigenvalues. Then,[eq40]

证明

与以前的证据一样,我们使用 concepts of similarity and Schur decomposition。由这件事 Schur decomposition, A 与上三角矩阵相同 $ t $. 两个类似的矩阵具有相同的决定因素和相同的特征值。 Moreover, because $ t $ 是三角形的,它的对角线条目是其特征值,其决定因素是 等于其对角线条目的乘积。 Therefore,[eq41]

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Define[eq42]

找到特征值 [eq43]

解决方案

自从 A 是三角形的,其特征值等于其对角线条目。所以, the eigenvalues of A are[eq44]换位 不会改变特征值和乘法 $2$ 双打他们。因此,特征值 [eq45] are[eq46]那些 of the inverse [eq47] are [eq48]和 those of [eq49] are[eq50]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "特征值和特征向量的性质", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/properties-of-eigenvalues-and-eigenvectors.

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