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范围零空间分解

通过 博士

范围零空间分解是向量空间的表示形式 给定功率的范围和零位空间的直接和 矩阵。

目录

范围和空空间

让我们修改矩阵的范围和零空间的概念,它们是 在讲座中详细讨论了 四个基本 子空间.

假设 A 是一个 $ Kimes K $ 矩阵和 $ S $ 是所有空间 Kx1 列向量。

矩阵 A 定义一个 线性图 [eq1]这样 那 [eq2]对于 任何 $罪S $.

范围 (或列 空间)的 A 是个 子空间[eq3]那 是,地图作为其参数变化时所采用的所有值的集合 域 $ S $.

空空间A 是个 子空间[eq4]形成的 的所有要素 $ S $ 映射到零向量。

矩阵幂

让我们考虑一下力量 $ A ^ {m} $. 在讲座中 矩阵幂 我们 证明 [eq5] 及其 尺寸 随着功率的增加而减少 $ m $, 而 [eq6] 并且其尺寸同时增加。但是,在某些时候,这两个 子空间稳定:存在整数 $ kleq K $ 这样 那[eq7]对于 任何整数 $ jgeq 1 $.

最小非负整数 k 具有上述平等性的常被称为 指数A, 尽管有时该术语在线性代数中具有不同的含义 文学。

直接和

范围零空间分解,我们将证明和讨论 下面,断言 那[eq8]哪里 k 是的索引 A$ oplus $ 符号表示一个 直接和.

请记住,两者之和 子空间[eq9]是 直接(我们使用 $ oplus $ 而不是 $ + $ 表示它的符号) 如果[eq10]在 这种情况下任何向量的表示 [eq11] 作为向量的总和 [eq12] 和一个向量 [eq13] 是独特的。

此外,当直接和等于整个空间时 $ S $, 与范围零空间分解的情况一样,我们说两个 空格 [eq14][eq15] 补充.

路口

我们要证明的第一个结果是 [eq16][eq15] 仅包含零向量。

主张A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 k 是任何非负整数,使得 [eq18][eq19]. 然后,[eq20]

证明

$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。让 [eq21]. 以来 [eq22] 我们 有[eq23]此外, 以来 [eq24], 那里存在 $锡S $ 这样 [eq25]我们 可以将等式的两边都乘以 $ A ^ {k} $, 为了 得到[eq26]从而, [eq27]. 但 [eq28] 因为零空间的稳定化。作为结果, [eq29], 这意味着 那[eq30]以来 $ s $ 是任意选择的,我们可以得出结论 [eq31] 仅包含零向量。

分解

修改了空空间范围内涉及的所有概念之后 分解,我们现在准备将其陈述为命题。

主张$ S $ 成为所有人的空间 Kx1 列向量。让 A 成为 $ Kimes K $ 矩阵。让 k 是任何非负整数,使得 [eq32][eq33]. 然后,[eq34]

证明

我们将使用以下结果, 我们在关于 互补子空间: [eq35][eq15] 是互补的,当且仅当 $杯C $ 是基础 $ S $ 每当 $ B $ 是一个 基础 对于 [eq35]$ C $ 是基础 [eq38]. 任意选择两个这样的基础 [eq39][eq40]. 假设 $杯C $ 是一套 线性相关 向量。然后有标量 [eq41], 并非全部等于零,例如 那[eq42]要么[eq43]哪里 最后的不平等源于以下事实 $ B $$ C $ 是线性独立向量的集合,并且标量不全为零。 但[eq44][eq45]这个 这是不可能的,因为如上所述 [eq46] 仅包含零向量。因此,我们通过矛盾证明了 $杯C $ 是一组线性独立的向量。而且,通过 秩为零定理, $ K = n + m $. 从而, $杯C $ 是一套 K 线性独立向量。换句话说,它是 $ S $. 以来 $ B $$ C $ 是在以下各方面中任意选择的 [eq35][eq48] 分别下降 [eq49][eq15] 是互补的子空间,即 [eq51]

当分解不重要时

当矩阵 A 全职, 范围 零空间分解是微不足道的:因为 两个等级的乘积 矩阵 是全职的 $ A ^ {k} $ 对于任何非负整数都是全秩 k. 换句话说, $ A ^ {k} $ 总是线性独立的,因此,它们 跨度 所有的 $ S $. 从而,[eq52]对于 任何 k, 这使得分解变得微不足道。

注意 $ A ^ {0} = I $ (哪里 I 是个 单位矩阵)和 [eq53]. 结果,满秩矩阵的索引为 0.

运营商分解

我们为平方矩阵证明的所有内容都可以应用于 线性算子 上 有限维空间。实际上,在有限维情况下,每个 方阵定义一个运算符,每个运算符都与一个正方形相关联 矩阵。

请记住,向 k-th 整数次幂等于 构成 它的 相关算子 k 时代本身。

因此,我们可以将线性算子的范围零空间分解表示为 如下。

主张$ S $ 是有限维的 向量 空间。让 $ f:S
ightarrow S $ 成为线性算子。然后,存在一个非负整数 k 这样 那[eq54]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

找到索引 [eq55]和 确定范围的零空间分解 A.

我们 有[eq56]的 的第二次幂 A[eq57]从 我们可以清楚地看到 那[eq58]从而, 的索引 A1[eq59]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "范围零空间分解", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/range-null-space-decomposition.

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