范围零空间分解是向量空间的表示形式 给定功率的范围和零位空间的直接和 矩阵。
让我们修改矩阵的范围和零空间的概念,它们是 在讲座中详细讨论了 四个基本 子空间.
假设
是一个
矩阵和
是所有空间
列向量。
矩阵
定义一个 线性图
这样
那
对于
任何
.
的 范围 (或列
空间)的
是个
子空间
那
是,地图作为其参数变化时所采用的所有值的集合
域
.
的 空空间 的
是个
子空间
形成的
的所有要素
映射到零向量。
让我们考虑一下力量
.
在讲座中 矩阵幂 我们
证明
及其 尺寸
随着功率的增加而减少
,
而
并且其尺寸同时增加。但是,在某些时候,这两个
子空间稳定:存在整数
这样
那
对于
任何整数
.
最小非负整数
具有上述平等性的常被称为 指数
的
,
尽管有时该术语在线性代数中具有不同的含义
文学。
范围零空间分解,我们将证明和讨论
下面,断言
那哪里
是的索引
和
符号表示一个 直接和.
请记住,两者之和
子空间是
直接(我们使用
而不是
表示它的符号)
如果
在
这种情况下任何向量的表示
作为向量的总和
和一个向量
是独特的。
此外,当直接和等于整个空间时
,
与范围零空间分解的情况一样,我们说两个
空格
和
是 补充.
我们要证明的第一个结果是
和
仅包含零向量。
主张
让
成为
矩阵。让
是任何非负整数,使得
和
.
然后,
让
成为所有人的空间
列向量。让
.
以来
我们
有
此外,
以来
,
那里存在
这样
我们
可以将等式的两边都乘以
,
为了
得到
从而,
.
但
因为零空间的稳定化。作为结果,
,
这意味着
那
以来
是任意选择的,我们可以得出结论
仅包含零向量。
修改了空空间范围内涉及的所有概念之后 分解,我们现在准备将其陈述为命题。
主张
让
成为所有人的空间
列向量。让
成为
矩阵。让
是任何非负整数,使得
和
.
然后,
当矩阵
是 全职, 范围
零空间分解是微不足道的:因为
两个等级的乘积
矩阵 是全职的
对于任何非负整数都是全秩
.
换句话说,
总是线性独立的,因此,它们
跨度 所有的
.
从而,
对于
任何
,
这使得分解变得微不足道。
注意
(哪里
是个 单位矩阵)和
.
结果,满秩矩阵的索引为
.
我们为平方矩阵证明的所有内容都可以应用于 线性算子 上 有限维空间。实际上,在有限维情况下,每个 方阵定义一个运算符,每个运算符都与一个正方形相关联 矩阵。
请记住,向
-th
整数次幂等于
构成 它的
相关算子
时代本身。
因此,我们可以将线性算子的范围零空间分解表示为 如下。
主张
让
是有限维的 向量
空间。让
成为线性算子。然后,存在一个非负整数
这样
那
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
找到索引
和
确定范围的零空间分解
.
我们
有的
的第二次幂
是
从
我们可以清楚地看到
那
从而,
的索引
是
和
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "范围零空间分解", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/range-null-space-decomposition.