范围零空间分解

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

范围零空间分解是向量空间的表示形式 给定功率的范围和零位空间的直接和 矩阵。

范围和空空间

让我们修改矩阵的范围和零空间的概念，它们是 在讲座中详细讨论了 四个基本 子空间.

假设 是一个 矩阵和 是所有空间 列向量。

矩阵 定义一个 线性图 这样 那 对于 任何 .

的 范围 （或列 空间）的 是个 子空间那 是，地图作为其参数变化时所采用的所有值的集合 域 .

的 空空间 的 是个 子空间形成的 的所有要素 映射到零向量。

矩阵幂

让我们考虑一下力量 . 在讲座中 矩阵幂 我们 证明 及其 尺寸 随着功率的增加而减少 , 而 并且其尺寸同时增加。但是，在某些时候，这两个 子空间稳定：存在整数 这样 那对于 任何整数 .

最小非负整数 具有上述平等性的常被称为 指数 的 , 尽管有时该术语在线性代数中具有不同的含义 文学。

直接和

范围零空间分解，我们将证明和讨论 下面，断言 那哪里 是的索引 和 符号表示一个 直接和.

请记住，两者之和 子空间是 直接（我们使用 而不是 表示它的符号） 如果在 这种情况下任何向量的表示 作为向量的总和 和一个向量 是独特的。

此外，当直接和等于整个空间时 , 与范围零空间分解的情况一样，我们说两个 空格 和 是 补充.

路口

我们要证明的第一个结果是 和 仅包含零向量。

分解

修改了空空间范围内涉及的所有概念之后 分解，我们现在准备将其陈述为命题。

当分解不重要时

当矩阵 是 全职， 范围 零空间分解是微不足道的：因为 两个等级的乘积 矩阵 是全职的 对于任何非负整数都是全秩 . 换句话说， 总是线性独立的，因此，它们 跨度 所有的 . 从而，对于 任何 , 这使得分解变得微不足道。

注意 （哪里 是个 单位矩阵）和 . 结果，满秩矩阵的索引为 .

运营商分解

我们为平方矩阵证明的所有内容都可以应用于 线性算子 上 有限维空间。实际上，在有限维情况下，每个 方阵定义一个运算符，每个运算符都与一个正方形相关联 矩阵。

请记住，向 -th 整数次幂等于 构成 它的 相关算子 时代本身。

因此，我们可以将线性算子的范围零空间分解表示为 如下。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

找到索引 和 确定范围的零空间分解 .

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "范围零空间分解", 列克特ures 上 matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/range-null-space-decomposition.