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线性图的范围

通过 博士

线性图(或函数或变换) $ f:S
ightarrow T $ 变换线性空间的元素 $ S $ (域)到另一个线性空间的元素中 $ T $ (共域)。

线性变换的范围(或图像)是共域的子集 $ T $ 由地图上所有取值组成 $ fleft(s
权)$ 作为论据 $ s $ 随域而异 $ S $.

目录

范围的定义

范围的正式定义如下。

定义$ S $$ T $ 是两个 向量空间。让 $ f:S
ightarrow T $ 成为 线性图。的 组[eq1]是 称为范围(或图像) $ f $.

以下是一些示例。

$ S $$ T $ 分别是所有空间 $ 2imes 1 $$ 3imes 1 $ 列向量 有真实 条目。让 $ f:S
ightarrow T $ 是矩阵定义的线性图 产品[eq2]哪里 [eq3]表示 通过 $ A_ {1},A_ {2} $ 的两列 A$ s_ {1},s_ {2} $ 任意选择的两个条目 $罪S $. 产品 $ 如 $ 能够 写成列的线性组合A 取自向量的系数 $ s $:[eq4]的 系数 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 是可以从实数集中随意选择的标量 适当地选择相应的 向量[eq5]在 换句话说,作为 $ s $ 随域而异 $ S $, 我们建立所有可能的 线性组合 的 两列 $ A_ {1} $$ A_ {2} $. 但是两个向量的所有线性组合的集合是 线性跨度。总而言之,我们有 那范围 $ f $[eq6]注意 那 $ A_ {1} $$ A_ {2} $ 线性独立 因为它们不是彼此的倍数。因此,尺寸 $ QTR {rm} {range} f $ 等于2,小于空间的尺寸 $ T $ 在所有 $ 3imes 1 $ 列向量,等于3(这些事实在讲义中进行了解释 在 一个维度 线性空间)。因此,在这种情况下,函数的图像 $ f $ 是...的适当子集 $ T $.

在讲座中 线性图 我们 解释了线性变换 $ f:S
ightarrow T $ 由所采用的值完全指定 $ f $ 对应于 基础$ S $. 让 [eq7][eq8] 成为 $ S $$ T $, 分别。让我们定义 $ f $ 通过[eq9]任何 向量 $罪S $ 可以用基础来表示 $ B $[eq10]哪里 [eq11] 是标量。通过线性 $ f $, 我们有 那[eq12]$ s $ 随域而异 $ S $, 系数 [eq13] 取实数集中的任何可能值 R. 更精确地说,三元组 [eq14] 承担任何可能的价值 $ U {211d} ^ {3} $ (除此以外 $ S $ 不会是基础所跨越的空间 $ B $)。 结果,这两个 系数[eq15]采取 在任何可能的价值 $ U {211d} ^ {2} $ (例如,我们可以设置 $ lpha _ {2} = 0 $ 然后让 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {3} $ 随便更改)。因此,作为 $ s $ 变化 $ S $, 它的 转变[eq16]是 的所有可能的线性组合 $ c_ {1} $$ c_ {2} $. 但 [eq17] 是基础 $ T $. 因此,所述线性组合涵盖了所有 $ T $. 至 总结,[eq18]

范围是共域的线性子空间

您可能从前面的示例中猜到过,范围始终是 共域的子空间(即它是共域的一个子集,它是封闭的 关于线性组合)。

主张$ S $$ T $ 是两个向量空间。让 $ f:S
ightarrow T $ 是线性图。然后,范围 $ QTR {rm} {range} f $ 是一个 子空间$ T $.

证明

我们需要检查任何线性组合 的元素 $ QTR {rm} {range} f $ 仍然属于 $ QTR {rm} {range} f $ (即, 子空间 举行)。选择任意两个 向量 [eq19] 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $. 然后,存在两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 这样 那[eq20]此外, 通过地图的线性 $ f $, 我们有 那[eq21]因此, 任意线性组合 [eq22] 被关联 $ f $ 到 向量[eq23]哪一个 属于 $ S $. 因此,元素的任何线性组合 $ QTR {rm} {range} f $ 是某些元素的转变 $ S $ 通过功能 $ f $ ,也就是说,它仍然属于 $ QTR {rm} {range} f $. 这就是我们需要证明的。

有趣的是,零向量始终属于该范围。看看为什么会这样 情况下,选择任何 $罪S $ 并注意到,通过 $ f $, 我们有 那[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

$ S = T $ 成为所有人的空间 $ 2imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:S
ightarrow T $ 是由定义的线性图 [eq25]哪里 [eq26]

查找的图像 $ f $.

对于任何 $罪S $, 用...表示 $ s_ {1} $$ s_ {2} $ 的两个条目 $ s $, 所以 那[eq27]$ s $ 变化 $ S $, 标量 $ s_ {1} $ 可以具有任何实际价值。因此, $ f $ 是的跨度 向量[eq28]在 其他 话,[eq29]

练习2

$ S = T $ 成为所有人的空间 $ 3imes 1 $ 具有真实条目的列向量。让 $ f:S
ightarrow T $ 是矩阵定义的线性图 产品[eq30]哪里 [eq31]

是范围 $ f $ 的适当子空间 $ T $?

产品 $ 如 $ 可以写 如 [eq32]哪里 $ s_ {1},s_ {2},s_ {3} $ 是的三个条目 $ s $$ A_ {1},A_ {2},A_ {3} $ 是三列 A. 后者是线性独立的: A, 我们可以看到,没有任何列可以写为 其他。因此,列 [eq33] 跨越尺寸为3的空间,该空间与所有空间的空间重合 $ 3imes 1 $ 列向量。 从而,[eq34]如 结果, $ QTR {rm} {range} f $ 不是的适当子空间 $ T $, 因为它与 $ T $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "线性图的范围", 列克特ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/range-of-a-linear-map.

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