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秩为零定理

通过 博士

秩为零定理指出线性域的维数 函数等于其范围的维度之和(即 函数实际使用的共域中的值)和内核(即 域中的一组值,这些值映射到 共域)。

目录

线性功能

首先,我们需要定义一个 线性的 地图 $ f:S
ightarrow T $ 在两个之间 向量空间  $ S $  $ T $ , 也就是说,这样的功能 那 [eq1] 对于 任何两个向量 S $ {s_ {1},s_ {2} 和任何两个标量 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $.

套装  $ S $ 被称为  $ f $ .

作为向量空间,域  $ S $ 有一个 尺寸, 表示的 通过 [eq2] 哪一个 等于一个基础的元素数量  $ S $ (任何基础;请记住,一个空间的所有基础都具有相同数量的 元素)。

的范围(或图像)  $ f $ 是共域的子集  $ T $ 包含所有由 $ fleft(s
权)$ $ s $ 变化  $ S $ :[eq3]

正如我们在关于 线性图的范围, $ QTR {rm} {range} f $ 是的子空间  $ T $ . 其维度称为等级,是 通过 [eq4]

空值

的空空间(或内核)  $ f $ 是域的子集  $ S $ 包含由映射的所有值  $ f $ 进入的零向量  $ T $ :[eq5]

正如我们在关于 线性的零空间 地图 , $ QTR {rm} {null} f $ 是的子空间  $ T $ . 它的维度称为无效性,为 通过 [eq6]

定理

这是线性代数中最重要的定理之一,称为 秩为零定理。

主张 $ S $  $ T $ 是两个线性空间。让 $ f:S
ightarrow T $ 是线性图。如果 [eq7] 是有限的,那么 [eq8]

证明

[eq9] 和 选择一个依据 [eq10] 对于 $ QTR {rm} {null} f $. 让 [eq11] 和 选择一个依据 [eq12] 对于  $ S $ . 由 基础扩展 定理 ,我们可以为  $ S $ 包含 [eq10]:[eq14]可能 对基础向量重新编号后 [eq15]. 任何  $罪S $ 可以唯一地写成基础的线性组合 以上: [eq16] 哪里 [eq17] 是标量。然后我们 有 [eq18] 哪里 在步 $ rame {A} $ 我们使用了这样一个事实 [eq10] 属于的零空间  $ f $ 结果, [eq20]. 刚刚推导的方程式适用于任何  $罪S $ , 这意味着 $ QTR {rm} {range} f $ $ N-K $ 向量 [eq21] 我们 需要证明这些向量是线性独立的。由于矛盾, 假设他们不是。然后,可以将它们线性组合以获得 零 向量: [eq22] 哪里 [eq23] 是线性组合的系数(不都等于零)。由 的线性  $ f $ , 我们有 那 [eq24] 哪一个 表示 向量 [eq25] 属于 至 $ QTR {rm} {null} f $. 以来 [eq10] 是基础 $ QTR {rm} {null} f $, 我们可以将后一个向量写为 [eq27] 带有系数 [eq28]:[eq29] 要么 [eq30] 从而, 基础的线性组合  $ S $ , 系数不全为零,则零向量为 结果。这是不可能的,因为基础的元素是线性的 独立。因此,我们产生了一个矛盾,这意味着 的  $ N-K $ 向量 [eq31] 必须 线性独立。我们已经证明它们跨越了 $ QTR {rm} {range} f $. 因此,我们得出结论,它们是 $ QTR {rm} {range} f $. 因此, [eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

正如我们在关于 线性图线性图 $ f:S
ightarrow T $ 由所采用的值完全指定  $ f $ 在一个 基础 对于  $ S $ .

[eq33] 作为...的基础  $ S $ [eq34] 作为...的基础  $ T $ .

指定功能  $ f $ 如 如下:[eq35]

找到尺寸  $ S $ $ QTR {rm} {range} f $ 然后使用秩零定理找出  $ f $ .

由于存在三个向量 基础  $ B $ , 我们有 那 [eq36] 任何 向量  $罪S $ 可以写成线性 组合[eq37] 哪里 [eq38] 是标量。转变了 向量 [eq39] 能够 写成  $ c_ {1} $  $ c_ {3} $ . 作为结果, [eq40] 是基础 $ QTR {rm} {range} f $. 因此,[eq41] 至 结论,我们 得到 [eq42]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "秩为零定理", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-nullity-theorem.

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