秩为零定理指出线性域的维数 函数等于其范围的维度之和(即 函数实际使用的共域中的值)和内核(即 域中的一组值,这些值映射到 共域)。
首先,我们需要定义一个 线性的
地图
在两个之间 向量空间
和
,
也就是说,这样的功能
那
对于
任何两个向量
和任何两个标量
和
.
套装
被称为
.
作为向量空间,域
有一个 尺寸,
表示的
通过
哪一个
等于一个基础的元素数量
(任何基础;请记住,一个空间的所有基础都具有相同数量的
元素)。
的范围(或图像)
是共域的子集
包含所有由
如
变化
:
正如我们在关于
线性图的范围,
是的子空间
.
其维度称为等级,是
通过
的空空间(或内核)
是域的子集
包含由映射的所有值
进入的零向量
:
正如我们在关于
线性的零空间
地图 ,
是的子空间
.
它的维度称为无效性,为
通过
这是线性代数中最重要的定理之一,称为 秩为零定理。
主张
让
和
是两个线性空间。让
是线性图。如果
是有限的,那么
让
和
选择一个依据
对于
.
让
和
选择一个依据
对于
.
由 基础扩展
定理 ,我们可以为
包含
:
可能
对基础向量重新编号后
.
任何
可以唯一地写成基础的线性组合
以上:
哪里
是标量。然后我们
有
哪里
在步
我们使用了这样一个事实
属于的零空间
结果,
.
刚刚推导的方程式适用于任何
,
这意味着
被
向量
我们
需要证明这些向量是线性独立的。由于矛盾,
假设他们不是。然后,可以将它们线性组合以获得
零
向量:
哪里
是线性组合的系数(不都等于零)。由
的线性
,
我们有
那
哪一个
表示
向量
属于
至
.
以来
是基础
,
我们可以将后一个向量写为
带有系数
:
要么
从而,
基础的线性组合
,
系数不全为零,则零向量为
结果。这是不可能的,因为基础的元素是线性的
独立。因此,我们产生了一个矛盾,这意味着
的
向量
必须
线性独立。我们已经证明它们跨越了
.
因此,我们得出结论,它们是
.
因此,
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
正如我们在关于
线性图线性图
由所采用的值完全指定
在一个 基础 对于
.
让
作为...的基础
和
作为...的基础
.
指定功能
如
如下:
找到尺寸
和
然后使用秩零定理找出
.
由于存在三个向量
基础
,
我们有
那
任何
向量
可以写成线性
组合
哪里
是标量。转变了
向量
能够
写成
和
.
作为结果,
是基础
.
因此,
至
结论,我们
得到
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "秩为零定理", 列克特 ures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-nullity-theorem.