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矩阵

经过 ,博士学位

The column rank of a matrix 是 the 线性的尺寸 space 被列跨越了。

矩阵的行等级是其行跨越的空间的维度。

由于我们可以证明行排名和列等级总是相等的,我们 只是谈到矩阵的等级。

目录

列级别

让我们从定义开始。

定义 Let A be a $ kimes l $ 矩阵。柱子等级 A is[eq1]在哪里 $ a_ {ullet l} $ denotes the $ l $ - column of A, $ qtr {rm} {span} $ denotes the linear span, 和 $ Dim $. denotes the dimension.

请记住,一个维度 linear space 是个 number of 其中一个的元素 bases, 那就是 number of linearly independent 产生空间的载体。所以,柱子排名 矩阵是产生相同的线性独立向量的数量 由矩阵列生成的空间。

例子 Consider the matrix [eq2]和 the linear space $ s $ spanned by its two columns[eq3]那 是,所有载体的空间都可以写成 linear combinations of $ a_ {ullet 1} $ and $ a_ {ullet 2} $. Any vector $ sin s $ can be written as[eq4]在哪里 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 是两个标量。请注意,两列 $ a_ {ullet 1} $ and $ a_ {ullet 2} $ 是线性依赖的 because[eq5]所以, any vector $ sin s $ 可以写成一个倍数 $ a_ {ullet 1} $: [eq6]作为 a consequence, [eq7]是 a basis for $ s $. It has 1 元素。因此,维度的维度 $ s $ 和柱子等级 A are equal to 1.

行级别

行排名的定义类似于列级别的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ 矩阵。行等级 A is[eq8]在哪里 $ a_ {k ullet} $ denotes the k - row of A, $ qtr {rm} {span} $ 表示线性跨度和 $ Dim $. 表示维度。

换句话说,矩阵的行等级是线性空间的尺寸 由它的行生成。

列级等于行排名

重要结果是矩阵的列等级始终等于其 row rank.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then,[eq9]

证明

[eq10]然后, there exists a basis [eq11]Kx1 跨越由列跨越的相同空间的列向量 A. Denote by $ b $ the $ kimes u $ 从基础上获得的矩阵: [eq12]每个 column of A 可以表示为线性组合 [eq13]. 可以将线性组合的系数收集到a中 $ umimes l $ matrix $ C $ such that[eq14]作为 我们在讲座中显示了 Matrix 乘法和线性组合。在同一讲座中,我们也有 显示了产品的行 $ BC $ 是行的线性组合 $ C $, 带有系数 $ b $. 所以行的跨度 A 不大于行的跨度 $ C $ (因为行的线性组合 A 可以写作行的线性组合 $ C $)。那里 are $ U $ rows in $ C $. 如果它们是线性的独立,那么它们的跨度具有尺寸 $ U $. 否则,它的尺寸小于 $ U $. 因此,行排名 A 小于或等于 $ U $ (它的柱子等级)。以一种完全类似的方式,我们证明了该列 排名小于或等于行排名:让 [eq15]然后, there exists a basis [eq16]$ 1  -  $ 跨越行跨越行的行向量 A. Denote by $ d $ the $ Vimes L $ 从基础上获得的矩阵: [eq17]每个 row of A 可以表示为线性组合 [eq18]. 可以将线性组合的系数收集到a中 $ kimes v $ matrix E such that[eq19]这 产品列 $ ed $ 是列的线性组合 E, 带有系数 $ d $. 所以跨度的跨度 A 不大于列的跨度 E (因为列的线性组合 A 可以写作列的线性组合 E)。那里 are $ v $ columns in E. 如果它们是线性的独立,那么它们的跨度具有尺寸 $ v $. 否则,它的尺寸小于 $ v $. 因此,列等级 A 小于或等于 $ v $ (它的行排名)。因此,我们已经证明了 that[eq20][eq21]所以, [eq22]

排名的定义

证明柱子和行排名一致,我们现在准备提供 排名的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. The rank of A, denoted by [eq23], is defined as [eq24]

换句话说,矩阵的等级是线性跨度的尺寸 它的柱子,它与其线性跨度的尺寸一致 rows.

最大级别

以下主张持有。

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then[eq25]

证明

我们有两个可能的情况。在第一 case,[eq26]那 is, the number K 行小于或等于数字 $ l $ 列。列是vectors的 K 参赛作品。因此,列跨越的空间的尺寸小于或 equal to K. In other words,[eq27][eq28]所以 that[eq29] In the second case,[eq30]那 is, the number $ l $ 列小于或等于数字 K 行。行是vectors $ l $ 参赛作品。因此,行跨越的空间的尺寸小于或 equal to $ l $. In other words,[eq31][eq32]所以 that[eq33]因此, in both cases,[eq34]

全级别

鉴于以前的结果,我们现在可以给出全级矩阵的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then A 如果只有 if[eq35]

Clearly, if A 是一个方形矩阵,即,如果 $ l = k $, 然后它是全级别的级别 if[eq36]在 other words, if A 是广场和全级,然后其列(行)跨越所有的空间 K - 一维 vectors: any K - 一维 向量可以写成列(行)的线性组合 A.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be a $ 3 $ 2 $ 矩阵。它可以拥有的最大等级是多少?

解决方案

最大等级 A is[eq37]

练习2

Define[eq38] What is the rank of A?

解决方案

矩阵 A has two columns:[eq39]这 两列是线性独立的,因为它们都没有写为 另一个线性组合。事实上,他们不是 倍数。这可以从第三个条目清楚地看出 $ a_ {ullet 1} $ which is 0: 没有可以乘以的系数 0 to obtain 1, the third entry of $ a_ {ullet 2} $. 因此,列的跨度 A has dimension $2$, 也就是说,列等级 A is equal to $2$, and [eq40]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-of-a-matrix.

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