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矩阵的等级

通过 博士

一个的列等级 矩阵 是个 线性尺寸 空间 由其列跨越。

矩阵的行等级是其行跨越的空间尺寸。

由于我们可以证明行列和列列始终相等,因此我们 简单地说矩阵的等级。

目录

列等级

让我们从定义开始。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的列等级 A[eq1]哪里 $ A_ {ullet l} $ 表示 $ l $-th 的列 A, $ QTR {rm} {span} $ 表示 线性跨度$ dim $ 表示 尺寸.

请记住, 线性空间 是的数量 其元素之一 基地, 那就是 数量 线性地 独立 产生空间的向量。因此,一个 矩阵是产生相同线性独立向量的数量 矩阵的列生成的空间。

考虑矩阵 [eq2]和 线性空间 $ S $ 由其两个 列[eq3]那 是,所有向量的空间可以写成 线性组合$ A_ {ullet 1} $$ A_ {ullet 2} $. 任何向量 $罪S $ 可以写 如 [eq4]哪里 $ lpha _ {1} $$ lpha _ {2} $ 是两个标量。注意两列 $ A_ {ullet 1} $$ A_ {ullet 2} $ 线性相关 因为[eq5]因此, 任何向量 $罪S $ 可以写成 $ A_ {ullet 1} $: [eq6]如 结果, [eq7]是 的基础 $ S $. 它有 1 元件。因此,尺寸 $ S $ 和的列等级 A 等于 1.

行列

行等级的定义类似于列等级的定义。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的行等级 A[eq8]哪里 $ A_ {k ullet} $ 表示 k-th 排 A, $ QTR {rm} {span} $ 表示线性跨度,并且 $ dim $ 表示尺寸。

换句话说,矩阵的行秩是线性空间的维数 由其行生成。

列级等于行级

一个重要的结果是矩阵的列秩始终等于矩阵的列秩 行排名。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。 然后,[eq9]

证明

[eq10]然后, 存在基础 [eq11]Kx1 跨列列跨度相同空间的列向量 A. 表示为 $ B $$ Kimes美元 从基础向量获得的矩阵: [eq12]每 的列 A 可以表示为 [eq13]. 线性组合的系数可以收集到 $ uimes L $ 矩阵 $ C $ 这样 那[eq14]如 我们已经在关于 矩阵 乘法和线性组合。在同一堂课中,我们还 显示产品行 $ BC $ 是的行的线性组合 $ C $, 取自 $ B $. 因此, A 不大于以下行的跨度 $ C $ (因为的行的线性组合 A 可以写成的行的线性组合 $ C $)。那里 是 $ u $ 行中 $ C $. 如果它们是线性独立的,则它们的跨度具有尺寸 $ u $. 否则,其尺寸小于 $ u $. 结果, A 小于或等于 $ u $ (其列排名)。以完全类似的方式,我们证明了 等级小于或等于行等级: [eq15]然后, 存在基础 [eq16]$ 1imes L $ 行向量跨越相同行的空间 A. 表示为 $ D $$ vimes L $ 从基础向量获得的矩阵: [eq17]每 排 A 可以表示为 [eq18]. 线性组合的系数可以收集到 $ Kimes v $ 矩阵 E 这样 那[eq19]的 产品列 $ ED $ 是的列的线性组合 E, 取自 $ D $. 因此, A 不大于以下列的跨度 E (因为的列的线性组合 A 可以写成以下列的线性组合 E)。那里 是 $ v $ 列中 E. 如果它们是线性独立的,则它们的跨度具有尺寸 $ v $. 否则,其尺寸小于 $ v $. 结果, A 小于或等于 $ v $ (其行排名)。因此,我们证明了 那[eq20][eq21]因此, [eq22]

等级的定义

证明列和行的等级一致时,我们现在可以提供 等级的定义。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的等级 A, 表示为 [eq23], 被定义为 [eq24]

换句话说,矩阵的秩是 它的列,与它的线性跨度的尺寸一致 行。

最高等级

以下命题成立。

主张A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。 然后[eq25]

证明

我们有两种可能的情况。在第一 案件,[eq26]那 是,数量 K 的行数小于或等于数字 $ L $ 列。列是具有 K 条目。因此,列跨越的空间尺寸小于或 等于 K. 其他 话,[eq27][eq28]所以 那[eq29] 在第二 案件,[eq30]那 是,数量 $ L $ 的列数小于或等于数字 K 行。行是具有 $ L $ 条目。因此,行跨越的空间尺寸小于或 等于 $ L $. 其他 话,[eq31][eq32]所以 那[eq33]从而, 同时 情况[eq34]

全等级

根据先前的结果,我们现在可以给出全秩矩阵的定义。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。然后 A 据说仅当且仅当是完全排名 如果[eq35]

显然,如果 A 是一个方矩阵,即 $ L = K $, 那么它是全等级的 如果[eq36]在 换句话说,如果 A 是正方形且为全秩,则其列(行)跨越所有空间 K尺寸 向量:任何 K尺寸 向量可以写为的列(行)的线性组合 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

A 成为 3美金2美金 矩阵。最高等级是多少?

最大等级 A[eq37]

练习2

定义[eq38] 的等级是多少 A?

矩阵 A 有两个 列:[eq39]的 两列是线性独立的,因为它们都不可以写成 另一个的线性组合。实际上,它们不是 倍数。从第三个条目可以清楚地看到 $ A_ {ullet 1} $ 这是 0: 没有系数可以乘以 0 获得 1, 的第三项 $ A_ {ullet 2} $. 因此, A 有尺寸 $2$, 即, A 等于 $2$, 和 [eq40]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "矩阵的等级", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-of-a-matrix.

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