矩阵的行等级是其行跨越的空间尺寸。
由于我们可以证明行列和列列始终相等,因此我们 简单地说矩阵的等级。
让我们从定义开始。
请记住, 线性空间 是的数量 其元素之一 基地, 那就是 数量 线性地 独立 产生空间的向量。因此,一个 矩阵是产生相同线性独立向量的数量 矩阵的列生成的空间。
例
考虑矩阵
和
线性空间
由其两个
列
那
是,所有向量的空间可以写成
线性组合 的
和
.
任何向量
可以写
如
哪里
和
是两个标量。注意两列
和
线性相关
因为
因此,
任何向量
可以写成
:
如
结果,
是
的基础
.
它有
元件。因此,尺寸
和的列等级
等于
.
行等级的定义类似于列等级的定义。
定义
让
成为
矩阵。的行等级
是
哪里
表示
-th
排
,
表示线性跨度,并且
表示尺寸。
换句话说,矩阵的行秩是线性空间的维数 由其行生成。
一个重要的结果是矩阵的列秩始终等于矩阵的列秩 行排名。
主张
让
成为
矩阵。
然后,
让
然后,
存在基础
的
跨列列跨度相同空间的列向量
.
表示为
的
从基础向量获得的矩阵:
每
的列
可以表示为
.
线性组合的系数可以收集到
矩阵
这样
那
如
我们已经在关于
矩阵
乘法和线性组合。在同一堂课中,我们还
显示产品行
是的行的线性组合
,
取自
.
因此,
不大于以下行的跨度
(因为的行的线性组合
可以写成的行的线性组合
)。那里
是
行中
.
如果它们是线性独立的,则它们的跨度具有尺寸
.
否则,其尺寸小于
.
结果,
小于或等于
(其列排名)。以完全类似的方式,我们证明了
等级小于或等于行等级:
然后,
存在基础
的
行向量跨越相同行的空间
.
表示为
的
从基础向量获得的矩阵:
每
排
可以表示为
.
线性组合的系数可以收集到
矩阵
这样
那
的
产品列
是的列的线性组合
,
取自
.
因此,
不大于以下列的跨度
(因为的列的线性组合
可以写成以下列的线性组合
)。那里
是
列中
.
如果它们是线性独立的,则它们的跨度具有尺寸
.
否则,其尺寸小于
.
结果,
小于或等于
(其行排名)。因此,我们证明了
那
和
因此,
证明列和行的等级一致时,我们现在可以提供 等级的定义。
定义
让
成为
矩阵。的等级
,
表示为
,
被定义为
换句话说,矩阵的秩是 它的列,与它的线性跨度的尺寸一致 行。
以下命题成立。
主张
让
成为
矩阵。
然后
我们有两种可能的情况。在第一
案件,那
是,数量
的行数小于或等于数字
列。列是具有
条目。因此,列跨越的空间尺寸小于或
等于
.
其他
话,
但
所以
那
在第二
案件,
那
是,数量
的列数小于或等于数字
行。行是具有
条目。因此,行跨越的空间尺寸小于或
等于
.
其他
话,
但
所以
那
从而,
同时
情况
根据先前的结果,我们现在可以给出全秩矩阵的定义。
定义
让
成为
矩阵。然后
据说仅当且仅当是完全排名
如果
显然,如果
是一个方矩阵,即
,
那么它是全等级的
如果
在
换句话说,如果
是正方形且为全秩,则其列(行)跨越所有空间
尺寸
向量:任何
尺寸
向量可以写为的列(行)的线性组合
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
成为
矩阵。最高等级是多少?
最大等级
是
定义
的等级是多少
?
矩阵
有两个
列:
的
两列是线性独立的,因为它们都不可以写成
另一个的线性组合。实际上,它们不是
倍数。从第三个条目可以清楚地看到
这是
:
没有系数可以乘以
获得
,
的第三项
.
因此,
有尺寸
,
即,
等于
,
和
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "矩阵的等级", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-of-a-matrix.