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矩阵的等级

通过 博士

一个的列等级 矩阵 是个 线性尺寸 空间 由其列跨越。

矩阵的行等级是其行跨越的空间尺寸。

由于我们可以证明行列和列列始终相等，因此我们 简单地说矩阵的等级。

目录

目录

  1. 列等级

  2. 行列

  3. 列级等于行级

  4. 等级的定义

  5. 最高等级

  6. 全等级

  7. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

列等级

让我们从定义开始。

定义 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的列等级 A 是[eq1]哪里 $ A_ {ullet l} $ 表示 $ l $-th 的列 A, $ QTR {rm} {span} $ 表示 线性跨度和 $ dim $ 表示 尺寸.

请记住， 线性空间 是的数量 其元素之一 基地， 那就是 数量 线性地 独立 产生空间的向量。因此，一个 矩阵是产生相同线性独立向量的数量 矩阵的列生成的空间。

例 考虑矩阵 [eq2]和 线性空间 $ S $ 由其两个 列[eq3]那 是，所有向量的空间可以写成 线性组合 的 $ A_ {ullet 1} $ 和 $ A_ {ullet 2} $. 任何向量 $罪S $ 可以写 如 [eq4]哪里 $ lpha _ {1} $ 和 $ lpha _ {2} $ 是两个标量。注意两列 $ A_ {ullet 1} $ 和 $ A_ {ullet 2} $ 线性相关 因为[eq5]因此， 任何向量 $罪S $ 可以写成 $ A_ {ullet 1} $: [eq6]如 结果， [eq7]是 的基础 $ S $. 它有 1 元件。因此，尺寸 $ S $ 和的列等级 A 等于 1.

行列

行等级的定义类似于列等级的定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的行等级 A 是[eq8]哪里 $ A_ {k ullet} $ 表示 k-th 排 A, $ QTR {rm} {span} $ 表示线性跨度，并且 $ dim $ 表示尺寸。

换句话说，矩阵的行秩是线性空间的维数 由其行生成。

列级等于行级

一个重要的结果是矩阵的列秩始终等于矩阵的列秩 行排名。

主张 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。 然后，[eq9]

证明

让 [eq10]然后， 存在基础 [eq11]的 Kx1 跨列列跨度相同空间的列向量 A. 表示为 $ B $ 的 $ Kimes美元 从基础向量获得的矩阵： [eq12]每 的列 A 可以表示为 [eq13]. 线性组合的系数可以收集到 $ uimes L $ 矩阵 $ C $ 这样 那[eq14]如 我们已经在关于 矩阵 乘法和线性组合。在同一堂课中，我们还 显示产品行 $ BC $ 是的行的线性组合 $ C $, 取自 $ B $. 因此， A 不大于以下行的跨度 $ C $ （因为的行的线性组合 A 可以写成的行的线性组合 $ C $）。那里 是 $ u $ 行中 $ C $. 如果它们是线性独立的，则它们的跨度具有尺寸 $ u $. 否则，其尺寸小于 $ u $. 结果， A 小于或等于 $ u $ （其列排名）。以完全类似的方式，我们证明了 等级小于或等于行等级： [eq15]然后， 存在基础 [eq16]的 $ 1imes L $ 行向量跨越相同行的空间 A. 表示为 $ D $ 的 $ vimes L $ 从基础向量获得的矩阵： [eq17]每 排 A 可以表示为 [eq18]. 线性组合的系数可以收集到 $ Kimes v $ 矩阵 E 这样 那[eq19]的 产品列 $ ED $ 是的列的线性组合 E, 取自 $ D $. 因此， A 不大于以下列的跨度 E （因为的列的线性组合 A 可以写成以下列的线性组合 E）。那里 是 $ v $ 列中 E. 如果它们是线性独立的，则它们的跨度具有尺寸 $ v $. 否则，其尺寸小于 $ v $. 结果， A 小于或等于 $ v $ （其行排名）。因此，我们证明了 那[eq20]和[eq21]因此， [eq22]

等级的定义

证明列和行的等级一致时，我们现在可以提供 等级的定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。的等级 A, 表示为 [eq23], 被定义为 [eq24]

换句话说，矩阵的秩是 它的列，与它的线性跨度的尺寸一致 行。

最高等级

以下命题成立。

主张 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。 然后[eq25]

证明

我们有两种可能的情况。在第一 案件，[eq26]那 是，数量 K 的行数小于或等于数字 $ L $ 列。列是具有 K 条目。因此，列跨越的空间尺寸小于或 等于 K. 其他 话，[eq27]但 [eq28]所以 那[eq29] 在第二 案件，[eq30]那 是，数量 $ L $ 的列数小于或等于数字 K 行。行是具有 $ L $ 条目。因此，行跨越的空间尺寸小于或 等于 $ L $. 其他 话，[eq31]但 [eq32]所以 那[eq33]从而， 同时 情况[eq34]

全等级

根据先前的结果，我们现在可以给出全秩矩阵的定义。

定义 让 A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。然后 A 据说仅当且仅当是完全排名 如果[eq35]

显然，如果 A 是一个方矩阵，即 $ L = K $, 那么它是全等级的 如果[eq36]在 换句话说，如果 A 是正方形且为全秩，则其列（行）跨越所有空间 K尺寸 向量：任何 K尺寸 向量可以写为的列（行）的线性组合 A.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 A 成为 3美金2美金 矩阵。最高等级是多少？

解

最大等级 A 是[eq37]

练习2

定义[eq38] 的等级是多少 A?

解

矩阵 A 有两个 列：[eq39]的 两列是线性独立的，因为它们都不可以写成 另一个的线性组合。实际上，它们不是 倍数。从第三个条目可以清楚地看到 $ A_ {ullet 1} $ 这是 0: 没有系数可以乘以 0 获得 1, 的第三项 $ A_ {ullet 2} $. 因此， A 有尺寸 $2$, 即， A 等于 $2$, 和 [eq40]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "矩阵的等级", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-of-a-matrix.

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