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矩阵

经过 ，博士学位

The column rank of a matrix 是 the 线性的尺寸 space 被列跨越了。

矩阵的行等级是其行跨越的空间的维度。

由于我们可以证明行排名和列等级总是相等的，我们 只是谈到矩阵的等级。

目录

目录

  1. 列级别

  2. 行级别

  3. 列级等于行排名

  4. 排名的定义

  5. 最大级别

  6. 全级别

  7. 解决练习

    1. 练习1

    2. 练习2

列级别

让我们从定义开始。

定义 Let A be a $ kimes l $ 矩阵。柱子等级 A is[eq1]在哪里 $ a_ {ullet l} $ denotes the $ l $ - column of A, $ qtr {rm} {span} $ denotes the linear span， 和 $ Dim $. denotes the dimension.

请记住，一个维度 linear space 是个 number of 其中一个的元素 bases， 那就是 number of linearly independent 产生空间的载体。所以，柱子排名 矩阵是产生相同的线性独立向量的数量 由矩阵列生成的空间。

例子 Consider the matrix [eq2]和 the linear space $ s $ spanned by its two columns[eq3]那 是，所有载体的空间都可以写成 linear combinations of $ a_ {ullet 1} $ and $ a_ {ullet 2} $. Any vector $ sin s $ can be written as[eq4]在哪里 $ lpha _ {1} $ and $ lpha _ {2} $ 是两个标量。请注意，两列 $ a_ {ullet 1} $ and $ a_ {ullet 2} $ 是线性依赖的 because[eq5]所以， any vector $ sin s $ 可以写成一个倍数 $ a_ {ullet 1} $: [eq6]作为 a consequence, [eq7]是 a basis for $ s $. It has 1 元素。因此，维度的维度 $ s $ 和柱子等级 A are equal to 1.

行级别

行排名的定义类似于列级别的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ 矩阵。行等级 A is[eq8]在哪里 $ a_ {k ullet} $ denotes the k - row of A, $ qtr {rm} {span} $ 表示线性跨度和 $ Dim $. 表示维度。

换句话说，矩阵的行等级是线性空间的尺寸 由它的行生成。

列级等于行排名

重要结果是矩阵的列等级始终等于其 row rank.

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then,[eq9]

证明

让 [eq10]然后， there exists a basis [eq11]的 Kx1 跨越由列跨越的相同空间的列向量 A. Denote by $ b $ the $ kimes u $ 从基础上获得的矩阵： [eq12]每个 column of A 可以表示为线性组合 [eq13]. 可以将线性组合的系数收集到a中 $ umimes l $ matrix $ C $ such that[eq14]作为 我们在讲座中显示了 Matrix 乘法和线性组合。在同一讲座中，我们也有 显示了产品的行 $ BC $ 是行的线性组合 $ C $, 带有系数 $ b $. 所以行的跨度 A 不大于行的跨度 $ C $ （因为行的线性组合 A 可以写作行的线性组合 $ C $）。那里 are $ U $ rows in $ C $. 如果它们是线性的独立，那么它们的跨度具有尺寸 $ U $. 否则，它的尺寸小于 $ U $. 因此，行排名 A 小于或等于 $ U $ （它的柱子等级）。以一种完全类似的方式，我们证明了该列 排名小于或等于行排名：让 [eq15]然后， there exists a basis [eq16]的 $ 1 - $ 跨越行跨越行的行向量 A. Denote by $ d $ the $ Vimes L $ 从基础上获得的矩阵： [eq17]每个 row of A 可以表示为线性组合 [eq18]. 可以将线性组合的系数收集到a中 $ kimes v $ matrix E such that[eq19]这 产品列 $ ed $ 是列的线性组合 E, 带有系数 $ d $. 所以跨度的跨度 A 不大于列的跨度 E （因为列的线性组合 A 可以写作列的线性组合 E）。那里 are $ v $ columns in E. 如果它们是线性的独立，那么它们的跨度具有尺寸 $ v $. 否则，它的尺寸小于 $ v $. 因此，列等级 A 小于或等于 $ v $ （它的行排名）。因此，我们已经证明了 that[eq20]和[eq21]所以， [eq22]

排名的定义

证明柱子和行排名一致，我们现在准备提供 排名的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. The rank of A, denoted by [eq23], is defined as [eq24]

换句话说，矩阵的等级是线性跨度的尺寸 它的柱子，它与其线性跨度的尺寸一致 rows.

最大级别

以下主张持有。

主张 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then[eq25]

证明

我们有两个可能的情况。在第一 case,[eq26]那 is, the number K 行小于或等于数字 $ l $ 列。列是vectors的 K 参赛作品。因此，列跨越的空间的尺寸小于或 equal to K. In other words,[eq27]但 [eq28]所以 that[eq29] In the second case,[eq30]那 is, the number $ l $ 列小于或等于数字 K 行。行是vectors $ l $ 参赛作品。因此，行跨越的空间的尺寸小于或 equal to $ l $. In other words,[eq31]但 [eq32]所以 that[eq33]因此， in both cases,[eq34]

全级别

鉴于以前的结果，我们现在可以给出全级矩阵的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. Then A 如果只有 if[eq35]

Clearly, if A 是一个方形矩阵，即，如果 $ l = k $, 然后它是全级别的级别 if[eq36]在 other words, if A 是广场和全级，然后其列（行）跨越所有的空间 K - 一维 vectors: any K - 一维 向量可以写成列（行）的线性组合 A.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let A be a $ 3 $ 2 $ 矩阵。它可以拥有的最大等级是多少？

解决方案

最大等级 A is[eq37]

练习2

Define[eq38] What is the rank of A?

解决方案

矩阵 A has two columns:[eq39]这 两列是线性独立的，因为它们都没有写为 另一个线性组合。事实上，他们不是 倍数。这可以从第三个条目清楚地看出 $ a_ {ullet 1} $ which is 0: 没有可以乘以的系数 0 to obtain 1, the third entry of $ a_ {ullet 2} $. 因此，列的跨度 A has dimension $2$, 也就是说，列等级 A is equal to $2$, and [eq40]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "矩阵", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/rank-of-a-matrix.

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