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简化的行梯形形式

通过 博士

A 矩阵 据说在 呈行梯形形式及其基本列的精简行梯形形式 是的向量 标准 基础 (即向量的一项等于1,而所有其他项等于 等于0)。

当系数矩阵为 线性的 系统 是以简化的行梯形形式,很容易得出 系统的系数矩阵和向量的解 常数。

目录

先决条件

为了理解本讲座,您应该先阅读该讲座 有资格 行梯形表格.

特别是,请记住,当且仅当以下情况,矩阵为行梯形形式:

当行梯形形式的矩阵的列包含枢轴时,它称为a 基本专栏。当它不包含枢轴时,我们说它是非基础的 柱。

定义[eq1]的 矩阵 A 以梯形形式排列。下标是带下划线的条目 $ A_ {11} $, $ A_ {22} $, $ A_ {33} $. 的所有列 A 是基本的。没有任何非基本列。

的 矩阵[eq2]是 行梯形形式。它的枢纽是 $ A_ {11} $$ A_ {23} $. 第一和第三列是基本列,第二列是非基本列。

缩小行梯形形式的定义

减少行梯形形式的精确定义如下。

定义 我们说,当且仅当矩阵位于 行梯形形式,其所有枢轴等于1,并且枢轴是唯一的 基本列的非零条目。

在以下示例中,我们以简化的行梯形形式显示一些矩阵。

的 矩阵[eq3]是 以减少的行梯形形式。它有一个零行(第三行),在下面 非零行。第一和第二行非零,但有一个枢轴 ($ A_ {11} $$ A_ {23} $, 分别)。两个枢轴等于 $1 $ 并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。

的 矩阵[eq4]是 以行梯形形式显示,因为其两行都有枢轴。但是,不是 以减少的行梯形形式,因为在列的列中有一个非零的条目 枢轴 $ A_ {23} $.

的 矩阵[eq5]是 以减少的行梯形形式。它的零行低于非零行。的 第一和第二行非零,但有一个枢轴 ($ A_ {11} $$ A_ {22} $, 分别)。枢轴等于 1 并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。

身份 矩阵[eq6]是 以减少的行梯形形式。

如何简化梯队形式的系统

考虑线性系统 [eq7]哪里 A 是一个 $ Kimes L $ 系数矩阵 x 是一个 $酸橙1 $ 未知向量,以及 $ b $ 是一个 Kx1 常数向量。据说,如果 的 矩阵 A 是缩小行梯形形式。

正如在演讲中所解释的 矩阵 乘法和线性组合,产品 $ Ax $ 可以写成以下各列的线性组合 A: [eq8]哪里 组合的系数是未知数 [eq9].

如果未知数乘以基本列,则称为 基本的 变量。否则,如果它对应于非基本列,则为 叫做 非基本变量.

定义一个其矩阵为 系数[eq10]是 以减少的梯队形式, 和[eq11]然后, $ x_ {1} $ 是非基本的 $ x_ {2} $$ x_ {3} $ 是基本的。

由于简化梯队形式是梯队形式的特例,因此 后一种形式的系统解的存在条件 申请,我们可以使用 反替代算法 至 解决系统。

记住反向替换算法是如何工作的:

  1. 如果有 $ B $ 基本列,我们选择 $ L-B $ 非基本变量(即未知数)的任意值 对应于非基本列);

  2. 对于 $ k = K,ldots,1 $, 如果 k-th 行不为零且 $ x_ {l} $ 是对应于 k-th 行,我们 组[eq12]

如果 A 是缩小的梯形形式,然后 $ A_ {kl} = 1 $, 所以等式1 变成[eq13]此外, 系数 $ A_ {kj} $ 等式2中的等于 0 什么时候 $ j $ 是基本列的索引。

考虑减少行梯形形式的系统 增强型 矩阵[eq14]以来 第三栏是不基本的, $ x_ {3} $ 是一个非基本变量,我们可以任意选择。我们 选择[eq15]我们 跳过第三行,因为它为零。在第二行,我们 有[eq16]和 在第一个 有[eq17]

如何将系统转换为简化的行梯形形式

用于将系统转换为系统的标准算法 当量 系统 缩小行梯形形式称为 高斯·乔丹 淘汰.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

确定是否 矩阵[eq18]是 以减少的行梯形形式。

让我们首先强调 枢轴:[eq19]每 非零行具有枢轴。此外,这里有一个零行,但在下面 非零行。因此 A 是梯形形式。它不是简化形式,因为第三列是 基本,但包含非零元素,该元素不是枢轴。

练习2

确定是否 矩阵[eq20]是 以减少的行梯形形式。

让我们首先强调 枢轴:[eq21]每 非零行具有枢轴。而且,只有零行(第四行)在前面 由非零行组成。因此 A 是梯形形式。由于所有枢轴都是 等于 1 并且基本列中的非关键元素都等于 0.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "简化的行梯形形式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/reduced-row-echelon-form.

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