简化的行梯形形式

A 矩阵据说在呈行梯形形式及其基本列的精简行梯形形式是的向量标准基础（即向量的一项等于1，而所有其他项等于等于0）。

当系数矩阵为线性的系统是以简化的行梯形形式，很容易得出系统的系数矩阵和向量的解常数。

先决条件

为了理解本讲座，您应该先阅读该讲座有资格行梯形表格.

特别是，请记住，当且仅当以下情况，矩阵为行梯形形式：

当行梯形形式的矩阵的列包含枢轴时，它称为a 基本专栏。当它不包含枢轴时，我们说它是非基础的柱。

例定义 [eq1] 的矩阵以梯形形式排列。下标是带下划线的条目 $A_ {11}$ , $A_ {22}$ , $A_ {33}$ . 的所有列是基本的。没有任何非基本列。

例的矩阵 [eq2] 是行梯形形式。它的枢纽是 $A_ {11}$ 和 $A_ {23}$ . 第一和第三列是基本列，第二列是非基本列。

减少行梯形形式的精确定义如下。

定义我们说，当且仅当矩阵位于行梯形形式，其所有枢轴等于1，并且枢轴是唯一的基本列的非零条目。

在以下示例中，我们以简化的行梯形形式显示一些矩阵。

例的矩阵 [eq3] 是以减少的行梯形形式。它有一个零行（第三行），在下面非零行。第一和第二行非零，但有一个枢轴 ( $A_ {11}$ 和 $A_ {23}$ , 分别）。两个枢轴等于并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。

例的矩阵 [eq4] 是以行梯形形式显示，因为其两行都有枢轴。但是，不是以减少的行梯形形式，因为在列的列中有一个非零的条目枢轴 $A_ {23}$ .

例的矩阵 [eq5] 是以减少的行梯形形式。它的零行低于非零行。的第一和第二行非零，但有一个枢轴 ( $A_ {11}$ 和 $A_ {22}$ , 分别）。枢轴等于并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。

例身份矩阵 [eq6] 是以减少的行梯形形式。

考虑线性系统哪里是一个系数矩阵是一个未知向量，以及是一个常数向量。据说，如果的矩阵是缩小行梯形形式。

正如在演讲中所解释的矩阵乘法和线性组合，产品可以写成以下各列的线性组合 : 哪里组合的系数是未知数 .

如果未知数乘以基本列，则称为 基本的变量。否则，如果它对应于非基本列，则为叫做 非基本变量.

例定义一个其矩阵为系数 [eq10] 是以减少的梯队形式，和 [eq11] 然后， $x_ {1}$ 是非基本的 $x_ {2}$ 和 $x_ {3}$ 是基本的。

由于简化梯队形式是梯队形式的特例，因此后一种形式的系统解的存在条件申请，我们可以使用反替代算法至解决系统。

记住反向替换算法是如何工作的：

如果是缩小的梯形形式，然后 $A_ {kl} = 1$ , 所以等式1 变成 [eq13] 此外，系数 $A_ {kj}$ 等式2中的等于什么时候是基本列的索引。

例考虑减少行梯形形式的系统增强型矩阵 [eq14] 以来第三栏是不基本的， $x_ {3}$ 是一个非基本变量，我们可以任意选择。我们选择我们跳过第三行，因为它为零。在第二行，我们有和在第一个有

用于将系统转换为系统的标准算法当量系统缩小行梯形形式称为高斯·乔丹淘汰.

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

确定是否矩阵 [eq18] 是以减少的行梯形形式。

解

让我们首先强调枢轴： [eq19] 每非零行具有枢轴。此外，这里有一个零行，但在下面非零行。因此是梯形形式。它不是简化形式，因为第三列是基本，但包含非零元素，该元素不是枢轴。

确定是否矩阵 [eq20] 是以减少的行梯形形式。

解

让我们首先强调枢轴： [eq21] 每非零行具有枢轴。而且，只有零行（第四行）在前面由非零行组成。因此是梯形形式。由于所有枢轴都是等于并且基本列中的非关键元素都等于 .

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "简化的行梯形形式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/reduced-row-echelon-form.

<figcaption class="I1WQr1V"><xmp id="kI94VTc"></xmp></figcaption>