A 矩阵 据说在 呈行梯形形式及其基本列的精简行梯形形式 是的向量 标准 基础 (即向量的一项等于1,而所有其他项等于 等于0)。
当系数矩阵为 线性的 系统 是以简化的行梯形形式,很容易得出 系统的系数矩阵和向量的解 常数。
为了理解本讲座,您应该先阅读该讲座 有资格 行梯形表格.
特别是,请记住,当且仅当以下情况,矩阵为行梯形形式:
它所有的非零行都有一个条目,称为数据透视表,该条目非零且具有 在其下方和左侧仅零个条目;
零行(如果有)在非零行下方。
当行梯形形式的矩阵的列包含枢轴时,它称为a 基本专栏。当它不包含枢轴时,我们说它是非基础的 柱。
例
定义的
矩阵
以梯形形式排列。下标是带下划线的条目
,
,
.
的所有列
是基本的。没有任何非基本列。
例
的
矩阵是
行梯形形式。它的枢纽是
和
.
第一和第三列是基本列,第二列是非基本列。
减少行梯形形式的精确定义如下。
定义 我们说,当且仅当矩阵位于 行梯形形式,其所有枢轴等于1,并且枢轴是唯一的 基本列的非零条目。
在以下示例中,我们以简化的行梯形形式显示一些矩阵。
例
的
矩阵是
以减少的行梯形形式。它有一个零行(第三行),在下面
非零行。第一和第二行非零,但有一个枢轴
(
和
,
分别)。两个枢轴等于
并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。
例
的
矩阵是
以行梯形形式显示,因为其两行都有枢轴。但是,不是
以减少的行梯形形式,因为在列的列中有一个非零的条目
枢轴
.
例
的
矩阵是
以减少的行梯形形式。它的零行低于非零行。的
第一和第二行非零,但有一个枢轴
(
和
,
分别)。枢轴等于
并且它们是它们各自列中唯一的非零条目。
例
身份
矩阵是
以减少的行梯形形式。
考虑线性系统
哪里
是一个
系数矩阵
是一个
未知向量,以及
是一个
常数向量。据说,如果
的 矩阵
是缩小行梯形形式。
正如在演讲中所解释的
矩阵
乘法和线性组合,产品
可以写成以下各列的线性组合
:
哪里
组合的系数是未知数
.
如果未知数乘以基本列,则称为 基本的 变量。否则,如果它对应于非基本列,则为 叫做 非基本变量.
例
定义一个其矩阵为
系数是
以减少的梯队形式,
和
然后,
是非基本的
和
是基本的。
由于简化梯队形式是梯队形式的特例,因此 后一种形式的系统解的存在条件 申请,我们可以使用 反替代算法 至 解决系统。
记住反向替换算法是如何工作的:
如果有
基本列,我们选择
非基本变量(即未知数)的任意值
对应于非基本列);
对于
,
如果
-th
行不为零且
是对应于
-th
行,我们
组
如果
是缩小的梯形形式,然后
,
所以等式1
变成
此外,
系数
等式2中的等于
什么时候
是基本列的索引。
例
考虑减少行梯形形式的系统
增强型
矩阵以来
第三栏是不基本的,
是一个非基本变量,我们可以任意选择。我们
选择
我们
跳过第三行,因为它为零。在第二行,我们
有
和
在第一个
有
用于将系统转换为系统的标准算法 当量 系统 缩小行梯形形式称为 高斯·乔丹 淘汰.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
确定是否
矩阵是
以减少的行梯形形式。
让我们首先强调
枢轴:每
非零行具有枢轴。此外,这里有一个零行,但在下面
非零行。因此
是梯形形式。它不是简化形式,因为第三列是
基本,但包含非零元素,该元素不是枢轴。
确定是否
矩阵是
以减少的行梯形形式。
让我们首先强调
枢轴:每
非零行具有枢轴。而且,只有零行(第四行)在前面
由非零行组成。因此
是梯形形式。由于所有枢轴都是
等于
并且基本列中的非关键元素都等于
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "简化的行梯形形式", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/reduced-row-echelon-form.