A 矩阵 据说在 当其所有非零行都具有轴(即非零)时的行梯形形式 条目,使其左侧和下方的所有条目都等于零。
当系数矩阵为 线性的 系统 呈梯形形式,很容易计算出 通过使用称为反替换的算法来实现系统。
我们首先定义枢轴。
定义
让
成为
矩阵。让
成为
.
我们说
是且仅当且仅当
和
每当
都
和
(和
)。
换句话说,如果矩阵的元素非零且全部为零,则它是枢轴 其左侧和下方的条目等于零。
例
定义的
的枢纽
带下划线的元素
,
,
.
例
定义的
的枢纽
是
,
,
.
例
定义的
唯一的枢纽
是
.
例
定义的
唯一的枢纽
是
.
注意
不是枢轴,因为
现在,我们准备提供行梯形形式的定义。
定义
让
成为
矩阵。我们说
当且仅当其所有非零行都包含轴时,才采用行梯形形式
并且其所有零行均位于非零行下方。
在上面的定义中, 零排 是其条目的行 都等于零,并且a 非零行 是具有 至少一个不同于零的元素。
例
的
矩阵是
行梯形形式。它有一个零行(第三行),该行在
非零行。第一排和第二排都有一个枢轴
(
和
,
分别)。
例
的
矩阵是
不以梯队形式呈现,因为其第一行非零且没有枢轴。
例
的
矩阵是
行梯形形式。它有两个零行(第三和第四行),分别是
在非零行下方。第一排和第二排都有一个枢轴
(
和
,
分别)。
例
的
矩阵是
不采用行梯形形式,因为它在零以下有一个非零的行(第三行)
行(第二个)。
给定矩阵
以梯队形式,我们说:
一列
如果包含枢轴,则是基本的;
一列
如果不包含枢轴,则为非基本。
例
定义然后
第一和第三列为基本列,第二列为非基本列。
线性系统
是
如果系数矩阵表示为行梯形
以梯形形式排列。
产品
能够
被视为线性组合 的列数
取自未知向量的系数
:
对应于基本列(即其系数)的未知数 被称为 基本变量。那些对应于 非基本列称为 非基本变量.
例
考虑行梯形形式的线性系统
哪里和
然后,
和
是基本变量,并且
和
是非基本变量。
有关基本和非基本变量的有用结果如下。
主张
如果
是行梯形形式的系统的枢轴,然后
仅当它们对应于位于以下行中的枢轴时才可以是基本变量
的
-th。
证明是矛盾的。假设
(
)
是与枢轴相对应的基本变量
位于行
(与
)。
根据数据透视的定义,
位于下方和左侧
必须为零。因此,
必须为零,这与以下假设相反:
是关键。
例
考虑一下
系统谁的
系数
矩阵
的
在第二行上旋转
(
)
与基本变量相关
.
作为结果
仅当它对应于位于下方的枢轴时才可以是基本变量
行。但是没有较低的行,所以
不能是基本变量。您可能会想:“那很明显,
在第三列上没有枢轴,因此该列是非基础的。”是的,
不过,在某些情况下确定
变量是否为基本变量,而无需查看其列中的所有值。
我们可以轻松评估行梯形形式的系统是否有解决方案。
主张
如果零行
这样
,
则系统无解。如果没有这样的行,那么系统
有至少一种解决方案。
显然,如果
那里
没有
可以解决
-th
的方程
系统
如果
.
如果没有出现这种情况,那么我们可以使用反替代
算法(如下所述)来建设性地找到解决方案。
例
定义一个
系统哪里
的
系统没有解决方案,因为第二行为零,但是
.
假设有
基本变量。
反替换算法如下:
选择
非基本变量的任意值;
对于
,
如果
-th
行不为零且
是对应于
-th
行,
组
换句话说,我们从最后一行返回第一行。每次我们
遇到包含枢轴的行,我们求解未知变量
对应于那个枢轴。解决方案(即
在等式1右侧计算的值仅取决于非基本
变量(预先固定)和值具有
通过解决先前的行已经找到。
反替代算法产生解的事实的证明 如下。
我们首先需要证明所有数字
在等式1的右侧的已知。系数
和
给出。反向替换从最低的非零行开始。有
该行下方没有数据透视。因此,根据上面显示的有关基本
和非基本变量,都没有
可以是基本的。由于它们是非基本的,因此已经选择了它们的值
任意地。因此,当我们在最低的非零行上时,所有
等式1右侧的量是已知的。当我们移动
如果值之一,则向上移动到其他行
是基本的,它对应于位于较低行中的枢轴,并且已经
被计算。因此
众所周知。现在我们证明
是一个解决方案。我们需要证明向量满足下式中的所有方程式
系统。始终满足与零行对应的方程
因为
对于任何
.
因此,我们只需要检查与非零行相对应的方程式。以来
系统采用行梯形形式,每个非零行都有一个枢轴。拿任何一个
这些行(
-th)。
对应方程
是
如果
是对应于
-th
行,则枢轴为
.
根据枢轴的定义,
如果
.
因此,等式
变成
要么
以来
是一个枢轴,非零。因此,我们可以将等式的两边除以
得出方程式1。
现在,我们提供一些示例来展示反替换算法的工作原理 在实践中。
例
让我们求解三个未知数中的三个方程组
的
系数矩阵和常数向量
是
哪一个
以梯形形式排列。因此,我们可以使用反向替换算法。所有
列包含枢轴,因此仅存在基本变量(没有
任何非基本变量)。我们从最后一行开始,解决基本问题
与其枢纽相对应的变量:
然后,
我们移至第二行,并再次求解基本变量
对应于
枢:
和
再次第一次
行:
从而,
我们找到的解决方案
是
例
让我们求解三个未知数中的两个方程组
的
系数矩阵和常数向量
是
的
可以使用反向替换算法,因为
以梯形形式排列。所有行都不为零。变量
和
是基本的,因为它们的列包含枢轴。相反,第三
列不包含数据透视表,因此
是非基本的,其值可以任意选择。我们
选择
我们
从最后一行开始,并求解与其对应的基本变量
枢:
然后,
我们第一次做一样
行:
从而,
我们找到的解决方案
是
由于行梯形形式的系统很容易通过反替换来解决,因此我们 经常尝试将我们需要求解的系统转换为等效的行 梯队形式。
用于执行此操作的最重要的算法称为 高斯消去:它 由一系列 基本行 运作 将系统转变为 当量 系统 其系数矩阵为行梯形形式。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
确定是否
矩阵是
行梯形形式。
让我们首先强调
枢轴:的
第二行非零,但不包含枢轴。因此,
不是行梯形形式。
使用反向替换算法来解决
系统哪里
如果发现非基本变量,请将它们设置为等于
.
让我们强调
枢轴:的
第三列不包含枢轴,因此
是非基本的。我们
选择
的
第四行为零,因此我们跳过它,从第三行开始。基础的
与其枢轴相对应的变量是
.
发现其值为
如下:
我们
然后移到第二个
行:
和
到
第一:
从而
解决方案
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "行梯形表格", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/row-echelon-form.