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行梯形表格

通过 博士

A 矩阵 据说在 当其所有非零行都具有轴(即非零)时的行梯形形式 条目,使其左侧和下方的所有条目都等于零。

当系数矩阵为 线性的 系统 呈梯形形式,很容易计算出 通过使用称为反替换的算法来实现系统。

目录

我们首先定义枢轴。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。让 $ A_ {kl} $ 成为 A. 我们说 $ A_ {kl} $ 是且仅当且仅当 [eq1][eq2] 每当 都 $ igeq k $$ jleq l $ (和 [eq3])。

换句话说,如果矩阵的元素非零且全部为零,则它是枢轴 其左侧和下方的条目等于零。

定义[eq4]的 的枢纽 A 带下划线的元素 $ A_ {11} $, $ A_ {22} $, $ A_ {33} $.

定义[eq5]的 的枢纽 A$ A_ {11} $, $ A_ {23} $, $ A_ {34} $.

定义[eq6]的 唯一的枢纽 A$ A_ {12} $.

定义[eq7]的 唯一的枢纽 A$ A_ {21} $. 注意 $ A_ {12} $ 不是枢轴,因为 [eq8]

行梯形形式的定义

现在,我们准备提供行梯形形式的定义。

定义A 成为 $ Kimes L $ 矩阵。我们说 A 当且仅当其所有非零行都包含轴时,才采用行梯形形式 并且其所有零行均位于非零行下方。

在上面的定义中, 零排 是其条目的行 都等于零,并且a 非零行 是具有 至少一个不同于零的元素。

的 矩阵[eq9]是 行梯形形式。它有一个零行(第三行),该行在 非零行。第一排和第二排都有一个枢轴 ($ A_ {11} $$ A_ {23} $, 分别)。

的 矩阵[eq10]是 不以梯队形式呈现,因为其第一行非零且没有枢轴。

的 矩阵[eq11]是 行梯形形式。它有两个零行(第三和第四行),分别是 在非零行下方。第一排和第二排都有一个枢轴 ($ A_ {11} $$ A_ {22} $, 分别)。

的 矩阵[eq12]是 不采用行梯形形式,因为它在零以下有一个非零的行(第三行) 行(第二个)。

基本列和非基本列

给定矩阵 A 以梯队形式,我们说:

定义[eq13]然后 第一和第三列为基本列,第二列为非基本列。

如何解决行梯形形式的系统

线性系统 [eq14]是 如果系数矩阵表示为行梯形 A 以梯形形式排列。

基本和非基本变量

产品 $ Ax $ 能够 被视为线性组合 的列数 A 取自未知向量的系数 x:[eq15]

对应于基本列(即其系数)的未知数 被称为 基本变量。那些对应于 非基本列称为 非基本变量.

考虑行梯形形式的线性系统 哪里[eq16][eq17]然后, $ x_ {2} $$ x_ {3} $ 是基本变量,并且 $ x_ {1} $$ x_ {4} $ 是非基本变量。

有关基本和非基本变量的有用结果如下。

主张 如果 $ A_ {kl} $ 是行梯形形式的系统的枢轴,然后 [eq18] 仅当它们对应于位于以下行中的枢轴时才可以是基本变量 的 k-th。

证明

证明是矛盾的。假设 $ x_ {l + j} $ ($j>0$) 是与枢轴相对应的基本变量 $ A_ {k-i,l + j} $ 位于行 $ k-i $ (与 $i>0$)。 根据数据透视的定义, A 位于下方和左侧 $ A_ {k-i,l + j} $ 必须为零。因此, $ A_ {kl} $ 必须为零,这与以下假设相反: $ A_ {kl} $ 是关键。

考虑一下 系统[eq19]谁的 系数 矩阵[eq20]的 在第二行上旋转 ($ A_ {22} =-1 $) 与基本变量相关 $ x_ {2} $. 作为结果 $ x_ {3} $ 仅当它对应于位于下方的枢轴时才可以是基本变量 行。但是没有较低的行,所以 $ x_ {3} $ 不能是基本变量。您可能会想:“那很明显, 在第三列上没有枢轴,因此该列是非基础的。”是的, 不过,在某些情况下确定 变量是否为基本变量,而无需查看其列中的所有值。

解决方案的存在

我们可以轻松评估行梯形形式的系统是否有解决方案。

主张 如果零行 $ A_ {j ullet} $ 这样 $b_{j}
eq 0$, 则系统无解。如果没有这样的行,那么系统 有至少一种解决方案。

证明

显然,如果 [eq21]那里 没有 x 可以解决 $ j $-th 的方程 系统[eq22]如果 $b_{j}
eq 0$. 如果没有出现这种情况,那么我们可以使用反替代 算法(如下所述)来建设性地找到解决方案。

定义一个 系统[eq14]哪里[eq24]的 系统没有解决方案,因为第二行为零,但是 $b_{2}
eq 0$.

反替换算法

假设有 $ Bleq L $ 基本变量。

反替换算法如下:

  1. 选择 $ L-B $ 非基本变量的任意值;

  2. 对于 $ k = K,ldots,1 $, 如果 k-th 行不为零且 $ x_ {l} $ 是对应于 k-th 行, 组[eq25]

换句话说,我们从最后一行返回第一行。每次我们 遇到包含枢轴的行,我们求解未知变量 对应于那个枢轴。解决方案(即 $ x_ {l} $ 在等式1右侧计算的值仅取决于非基本 变量(预先固定)和值具有 通过解决先前的行已经找到。

反替代算法产生解的事实的证明 如下。

证明

我们首先需要证明所有数字 在等式1的右侧的已知。系数 $ A_ {kj} $$ b_ {k} $ 给出。反向替换从最低的非零行开始。有 该行下方没有数据透视。因此,根据上面显示的有关基本 和非基本变量,都没有 [eq26] 可以是基本的。由于它们是非基本的,因此已经选择了它们的值 任意地。因此,当我们在最低的非零行上时,所有 等式1右侧的量是已知的。当我们移动 如果值之一,则向上移动到其他行 [eq27] 是基本的,它对应于位于较低行中的枢轴,并且已经 被计算。因此 [eq27] 众所周知。现在我们证明 x 是一个解决方案。我们需要证明向量满足下式中的所有方程式 系统。始终满足与零行对应的方程 因为 [eq29] 对于任何 x. 因此,我们只需要检查与非零行相对应的方程式。以来 系统采用行梯形形式,每个非零行都有一个枢轴。拿任何一个 这些行( k-th)。 对应方程 是[eq30]如果 $ x_ {l} $ 是对应于 k-th 行,则枢轴为 $ A_ {kl} $. 根据枢轴的定义, $ A_ {kj} = 0 $ 如果 $j<l$. 因此,等式 变成[eq31]要么[eq32]以来 $ A_ {kl} $ 是一个枢轴,非零。因此,我们可以将等式的两边除以 $ A_ {kl} $ 得出方程式1。

现在,我们提供一些示例来展示反替换算法的工作原理 在实践中。

让我们求解三个未知数中的三个方程组 [eq33]的 系数矩阵和常数向量 是[eq34]哪一个 以梯形形式排列。因此,我们可以使用反向替换算法。所有 列包含枢轴,因此仅存在基本变量(没有 任何非基本变量)。我们从最后一行开始,解决基本问题 与其枢纽相对应的变量: [eq35]然后, 我们移至第二行,并再次求解基本变量 对应于 枢:[eq36]和 再次第一次 行:[eq37]从而, 我们找到的解决方案 是[eq38]

让我们求解三个未知数中的两个方程组 [eq39]的 系数矩阵和常数向量 是[eq40]的 可以使用反向替换算法,因为 A 以梯形形式排列。所有行都不为零。变量 $ x_ {1} $$ x_ {2} $ 是基本的,因为它们的列包含枢轴。相反,第三 列不包含数据透视表,因此 $ x_ {3} $ 是非基本的,其值可以任意选择。我们 选择[eq41]我们 从最后一行开始,并求解与其对应的基本变量 枢: [eq42]然后, 我们第一次做一样 行:[eq43]从而, 我们找到的解决方案 是[eq44]

如何将系统转换为行梯形表格

由于行梯形形式的系统很容易通过反替换来解决,因此我们 经常尝试将我们需要求解的系统转换为等效的行 梯队形式。

用于执行此操作的最重要的算法称为 高斯消去:它 由一系列 基本行 运作 将系统转变为 当量 系统 其系数矩阵为行梯形形式。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

确定是否 矩阵[eq45]是 行梯形形式。

让我们首先强调 枢轴:[eq46]的 第二行非零,但不包含枢轴。因此, A 不是行梯形形式。

练习2

使用反向替换算法来解决 系统[eq14]哪里[eq48]

如果发现非基本变量,请将它们设置为等于 0.

让我们强调 枢轴:[eq49]的 第三列不包含枢轴,因此 $ x_ {3} $ 是非基本的。我们 选择[eq50]的 第四行为零,因此我们跳过它,从第三行开始。基础的 与其枢轴相对应的变量是 $ x_ {4} $. 发现其值为 如下:[eq51]我们 然后移到第二个 行:[eq52]和 到 第一:[eq53]从而 解决方案 是[eq54]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "行梯形表格", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/row-echelon-form.

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