搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Matrix algebra

行梯队形式

经过 ,博士学位

A matrix 是 said to be in 行Echelon形式,当所有非零行具有枢轴时,即非零 进入,使其左下方和下方的所有条目等于零。

当一个系数矩阵时 linear system 是行梯队形式,很容易计算解决方案 系统通过使用称为背替换的算法。

目录

我们首先定义枢纽。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. Let $ a_ {kl} $ be an element of A. We say that $ a_ {kl} $ 如果才是唯一的话 [eq1][eq2] whenever both $ igeq k $ and $ jleq l $ (and [eq3])。

换句话说,如果它是非零并且全部,矩阵的元素是枢轴 它左侧和下方的条目等于零。

例子 Define[eq4]这 pivots of A 是带下划线的元素 $ a_ {11} $, $ a_ {22} $, $ a_ {33} $.

例子 Define[eq5]这 pivots of A are $ a_ {11} $, $ a_ {23} $, $ a_ {34} $.

例子 Define[eq6]这 only pivot of A is $ a_ {12} $.

例子 Define[eq7]这 only pivot of A is $ a_ {21} $. Note that $ a_ {12} $ 不是一个枢轴,因为 [eq8]

行梯度形式的定义

我们现在准备好提供行梯队形式的定义。

定义 Let A be a $ kimes l $ matrix. We say that A 如果且仅当其所有非零行包含枢轴时,才在行echelon形式 并且其所有零行位于非零行下方。

在上面的定义中,一个 零行 是一个条目的行 都等于零,而且 非零行 是 a row that has 至少一个不同于零的元素。

例子 The matrix[eq9]是 在行梯队形式。它有一个零行(第三个),它低于 非零行。第一个和第二行都有枢轴 ($ a_ {11} $ and $ a_ {23} $, respectively).

例子 The matrix[eq10]是 不在行梯队形式,因为它的第一行是非零并且没有枢轴。

例子 The matrix[eq11]是 在行梯队形式。它有两个零行(第三和第四),即 在非零行下方。第一个和第二行都有枢轴 ($ a_ {11} $ and $ a_ {22} $, respectively).

例子 The matrix[eq12]是 不在行梯队形式,因为它具有低于零的非零行(第三个) row (the second).

基本和非基本列

Given a matrix A 在行梯队形式中,我们这么说:

例子 Define[eq13]然后 第一个和第三列是基本的,第二列是非基本的。

如何在行梯队形式中解决一个系统

A linear system [eq14]是 如果系数矩阵,则据说是在梯队形式中 A 是行梯队形式。

基本和非基本变量

The product $ ax $ can 被视为线性组合 of the columns of A 从未知数的矢量取得的系数 x:[eq15]

对应于(即,是基本列的系数)的未知数 are called 基本变量。那些对应的人 调用非基本列 非基本变量.

例子 考虑行梯队形式中的线性系统 where[eq16][eq17]然后, $ x_ {2} $ and $ x_ {3} $ 是基本变量,和 $ x_ {1} $ and $ x_ {4} $ 是非基本变量。

关于基本和非基本变量的有用结果。

主张 If $ a_ {kl} $ 是行梯队形式的系统的枢轴,然后 [eq18] 只有当它们对应于位于下面行的枢轴时,才能成为基本变量 the k - 。

证明

证据是矛盾的。假设 $ x_ {l + j} $ ($j>0$) 是与枢轴相对应的基本变量 $ a_ {k-i,l + j} $ $ located in row $ k-i $ (with $i>0$)。 通过枢轴的定义,所有参赛作品 A 位于下方和左侧 $ a_ {k-i,l + j} $ $ 必须是零。所以, $ a_ {kl} $ 必须是零,这与假设相矛盾 $ a_ {kl} $ is a pivot.

例子 Consider the system[eq19]谁的 coefficient matrix[eq20]这 在第二排上枢轴 ($ a_ {22} =  -  1 $) 与基本变量相关联 $ x_ {2} $. As a consequence $ x_ {3} $ 仅当它对应于位于较低的枢轴时才可以是一个基本变量 排。但没有较低的行,所以 $ x_ {3} $ 不能成为基本变量。你可能会想:“那是显而易见的 在第三列上没有枢轴,所以列是非基本的“。这是真的, 尽管如此,在某些情况下可以有所帮助,以确定是否 变量是基本的或没有,而不看出其列中的所有值。

解决方案存在

我们可以轻松评估行梯队形式中的系统是否具有解决方案。

主张 如果有零行 $ a_ {j ullet} $ such that $b_{j}
eq 0$, 然后系统没有解决方案。如果没有这样的行,那么系统 至少有一个解决方案。

证明

显然,如果 [eq21]那里 is no x that can solve the $ j $ - equation of the system[eq22]如果 $b_{j}
eq 0$. 如果不出现这样的情况,那么我们可以使用背替换 算法(下面解释)以建设性地找到解决方案。

例子 Define a system[eq14]在哪里[eq24]这 系统没有解决方案,因为第二行为零,但是 $b_{2}
eq 0$.

背替代算法

Suppose there are $ bleq l $ basic variables.

背替换算法如下:

  1. choose $ l-b $ 非基本变量任意值;

  2. for $ k = k,ldots,1 $, if the k - row is non-zero and $ x_ {l} $ 是对应于枢轴的基本变量 k - row, set[eq25]

换句话说,我们从最后一行向后倒退。每次我们 遇到包含枢轴的行,我们为未知变量解决 对应于该枢轴。解决方案(即,值为 $ x_ {l} $ 在等式1的右侧计算仅取决于非基本 变量(预先修复)和值的变量 通过解决先前的行已经找到了。

反替代算法产生解决方案的事实证明 follows.

证明

我们首先需要证明所有的数字 在等式1的右侧是已知的。系数 $ a_ {kj} $ and $ b_ {k} $ 给出。背部替换从最下的非零行开始。有 那行没有枢转。因此,通过上面显示的结果关于基本结果 和非基本变量,都不是 [eq26] 可以是基本的。由于它们是非基本的,因此已经选择了它们的价值 任意。因此,当我们在最下的非零行上时,所有 公式1的右侧侧的数量是已知的。当我们移动时 向上到其他行,如果其中一个值 [eq27] 是基本的,它对应于位于较低行的枢轴,它已经存在 已经计算过。所以 [eq27] 已知。我们现在表明了 x 是一个解决方案。我们需要证明矢量满足所有方程式 系统。始终满足对应于零行的等式 because [eq29] for any x. 因此,我们只需要检查与非零行对应的等式。自从 系统处于行梯形形式,每个非零行具有枢轴。拿走任何一个 of these rows (the k - )。 相应的等式 is[eq30]如果 $ x_ {l} $ 是对应于枢轴的基本变量 k - 行,然后枢轴是 $ a_ {kl} $. 通过枢轴的定义, $ a_ {kj} = 0 $ if $j<l$. 因此,等式 becomes[eq31]或者[eq32]自从 $ a_ {kl} $ 是一个枢轴,它是非零。所以,我们可以划分方程的两侧 $ a_ {kl} $ 我们获得等式1。

我们现在提供一些示例来展示后替代算法如何工作 in practice.

例子 让我们在三个未知数中解决三个方程的系统 [eq33]这 系数矩阵和常数矢量 are[eq34]哪一个 是行梯队形式。所以,我们可以使用后退替代算法。全部 列包含枢轴,因此只有基本变量(没有) 任何非基本变量)。我们从最后一行开始并解决基本 变量对应其枢轴: [eq35]然后, 我们又移动到第二行,我们再次解决基本变量 corresponding to its pivot:[eq36]和 again for the first row:[eq37]因此, 我们发现的解决方案 is[eq38]

例子 让我们在三个未知数中解决两个方程的系统 [eq39]这 系数矩阵和常数矢量 are[eq40]这 可以使用后退替换算法,因为 A 是行梯队形式。所有行都是非零的。变量 $ x_ {1} $ and $ x_ {2} $ 是基本的,因为他们的列包含枢轴。相反,第三个 列不包含枢轴,所以 $ x_ {3} $ 是非基本的,其值可以任意选择。我们 choose[eq41]我们 从最后一行开始,解决与其对应的基本变量 pivot: [eq42]然后, 我们对第一个做同样的事情 row:[eq43]因此, 我们发现的解决方案 is[eq44]

如何将系统转换为行echelon形式

由于梯度形式的系统中的系统通过后替换容易解决,因此我们 经常尝试改造一个系统,我们需要在行中签名 echelon form.

用于这样做的最重要的算法 Gaussian elimination: 它 包括一系列 elementary row operations 将系统变为一个 equivalent system 其系数矩阵处于行梯度形式。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

确定是否是 matrix[eq45]是 in row echelon form.

解决方案

让我们首先强调 pivots:[eq46]这 第二行是非零,但它不包含枢轴。所以, A 不在行梯队形式。

练习2

使用背替代算法来解决 system[eq14]在哪里[eq48]

如果您找到非基本变量,请将其设置为等于 0.

解决方案

让我们强调了 pivots:[eq49]这 第三列不包含枢轴,所以 $ x_ {3} $ is non-basic. We choose[eq50]这 第四行为零,因此我们跳过它并从第三行开始。基础的 对应于其枢轴的变量是 $ x_ {4} $. 它的价值被发现为 follows:[eq51]我们 然后搬到第二个 row:[eq52]和 to the first:[eq53]因此 the solution is[eq54]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "行梯队形式", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/row-echelon-form.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。