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行等效

通过 博士

本讲座定义了行等效的概念并证明了一些 关于行等效矩阵的命题是许多问题的核心 线性代数的重要结果。

目录

定义

我们从行等效的定义开始。

定义 A $ B $ 是两个  $ Kimes L $ 矩阵。 A 行等于  $ B $ 当且仅当存在时  $ Kimes K $ 基本矩阵 [eq1] 这样 那 [eq2]

请记住,预乘 A 通过基本矩阵与执行 基本行 运作 A. 因此, A 行等于  $ B $ 当且仅当 A 可以转化为  $ B $ 通过执行一系列基本行操作 A.

等价关系

行等价关系是等价关系,因为它是:

证明

假设 A 行等于  $ B $ . 由于基本矩阵是可逆的,并且其逆是基本的 矩阵,我们有 [eq3] 哪里 [eq4] 是基本矩阵。因此,  $ B $ 相当于 A. 这证明了对称性。如果 A 相当于  $ B $  $ B $ 相当于  $ C $ , 然后 [eq2][eq6] 哪里 [eq7][eq8] 是基本矩阵。现在,将第一个方程式的两边乘以 [eq9]:[eq10] 然后, A 相当于  $ C $ , 也就是说,行等价是传递的。最后,对于任何基本矩阵 E, 我们可以 写 [eq11] 以来  $ E ^ {-1} $ 是基本的,这意味着我们可以改变 A 通过基本的行操作本身。结果,行 等价是反身的。

列对应属性

下一个命题陈述了行等效的重要属性,称为 列对应属性。

主张 A $ B $ 是两个  $ Kimes L $ 矩阵。让 A 行等效于  $ B $ . 表示为 $ A_ {ullet l} $$ B_ {ullet l} $ $ l $ -th 的列 A $ B $ 分别。然后, [eq12] 对于 一个  $酸橙1 $ 向量  $ v $ 当且仅 如果 [eq13]

证明

以来 A 行等于  $ B $ , 我们有 那 [eq14] 哪里 E 是基本的产品 矩阵: [eq15]此外, 根据矩阵乘积的定义(另请参见 这里 ): [eq16] 从而, 我们可以 替代 [eq17][eq18] 在 的 方程 [eq19] 所以 关于 获得 [eq20] 通过 将双方预先相乘 E, 我们 得到 [eq21] 从而, 我们已经证明 $ A_ {ullet l} = Av $ 暗示 $ B_ {ullet l} = Bv $. 相反的含义 ($ B_ {ullet l} = Bv $ 暗示 $ A_ {ullet l} = Av $ ), 可以类似地证明。

换句话说,当 A $ B $ 与行等效,  $ l $ -th 的列 A 可以写成 线性的 一组给定列的组合A 本身,系数取自向量  $ v $ , 当且仅当  $ l $ -th 的列  $ B $ 是对应的一组列的线性组合  $ B $ , 取自相同向量的系数  $ v $ .

以下是先前命题的有用推论。

主张 A $ B $ 是两行等效矩阵。然后,一组列 A 线性独立 如果 并且仅当  $ B $ 是线性独立的。

证明

证明是矛盾的。假设 一组列 A 是线性独立的,但对应的列  $ B $ 是线性相关的。随之而来的是一列 $ B_ {ullet l} $ 可以写成其他的线性组合 列: [eq22] 哪里 $v
eq 0$. 特别是,存在一些非零的  $ v $ 对应于我们正在考虑的集合中的列。但是通过 先前的主张,这意味着 [eq19] 在 换句话说,一组列 A 不是线性独立的,是矛盾的。因此,如果一组列 的 A 是线性独立的,则对应的列  $ B $ 必须是线性独立的。可以证明相反的含义 类似地。

优势列

本节介绍了优势列的概念,将使用 下面研究行等效矩阵的属性。

定义 A 成为  $ Kimes L $ 矩阵。表示其  $ l $ -th 列 $ A_ {ullet l} $. 我们说 $ A_ {ullet l} $ 当且仅当不能将其写为 线性组合 的 其左侧的列。

有关显性列的第一个简单结果如下。

主张 两个等效矩阵 A $ B $ 具有相同的主导列集,即 的主要列 A 与的主要列的索引集一致  $ B $ .

证明

假设 $ A_ {ullet l} $A. 然后,没有向量 [eq24] 这样 那 [eq19] 通过 上面的列对应属性,仅当且仅当 没有这样的载体 满意的 [eq26] 如 结果, $ B_ {ullet l} $ 不能写为左侧各列的线性组合。因此,它 占主导地位。我们刚刚证明 $ A_ {ullet l} $ 只有在 $ B_ {ullet l} $ 占主导地位。相反含义的证明是相似的。这成立 对于任何  $ l $ . 因此,在 A 也占主导地位  $ B $ 反之亦然。

例如,如果 A 是第二,第三和第五,然后是  $ B $ 是第二,第三和第五。

缩小行梯形形式的行等效矩阵

上面的命题使我们能够证明矩阵的一些性质 缩小排梯队 形成 .

请记住,当且仅在以下情况下,矩阵为缩减行梯形形式(RREF):

此外, 高斯-乔丹消除 算法 可用于通过以下方式将任何矩阵转换为RREF矩阵 基本行操作。因此,任何矩阵的行等效于RREF 矩阵。

请记住,基本列是包含枢轴的列,而非基本列 列不包含任何数据透视。

RREF矩阵的基本列是 规范基础,也就是说,他们 具有一个等于1的条目,而所有其他条目等于0。 此外,如果RREF矩阵具有  $ b $ 基本列,那么这些列是第一列  $ b $ 如以下命题所述,是规范基础的向量。

主张  $ R $ 是缩小行梯形形式的矩阵。然后,  $ l $ -th 的基本专栏  $ R $ , 从左边算起,等于  $ l $ -th 规范基础的向量,即位置为1  $ l $ 并且其所有其他条目等于0。

证明

通过RREF矩阵的定义,基本 的列  $ R $ 是规范基础的向量(它们有一个等于1的条目,而所有 其他条目等于0)。此外,所有非零行均包含枢轴。 因此,  $ l $ -th 基本列包含  $ l $ -th 枢轴,位于  $ l $ -th 行。换句话说,等于1的枢轴是  $ l $ -th 进入  $ l $ -th 基本专栏。

现在,我们陈述一些有关基本列和非基本列的简单结果。

主张 减少行梯形形式的矩阵的基本列为优势列。

证明

基本列包含等于1的数据透视。 并且枢纽左侧的所有条目都等于0。因此, 基本列不能写成其列的线性组合 左(0的线性组合不能等于1)。因此,它是主导 柱。

主张 减少行梯形形式的矩阵的非基本列不是主要的 柱。

证明

如果列 $ R_ {ullet l} $ 是非基本的,也就是说,它没有枢轴,则可以编写 如 [eq27] 哪里 k 是其左侧的基本列数( k -th 必须为零,因为  $ m $ -th 枢纽 $m>k$, 左边只有0)。因此,非基本列 $ R_ {ullet l} $ 可以写为左侧各列的线性组合。对于 例如,如果 $k=3$ 第一,第三和第四列是基本的 然后 [eq28] 从而, 如果列 $ R_ {ullet l} $ 是非基本的,它与左侧的列不是线性独立的。 因此,它不是主导列。

通过结合以上两个简单的命题,我们得到以下一个。

主张 如果矩阵是简化的行梯形形式,则其列之一是基本的 当且仅当它是主导的,并且它是非基本的,当且仅当它不是 优势。

证明

根据上一个命题,如果某列是 占主导地位,那么它就不能是非基础的。因此,这是基本的。我们已经 建立了相反的含义(基本意味着占优势)。因此, 当且仅当是基本列时,该列才是主要列。的等价证明 非主要列是类似的。

因此,当矩阵为简化的行梯形形式时,我们可以使用 基本列和主导列可互换。

现在,我们准备陈述本演讲的最重要的主张。

主张 任何矩阵的行等效于缩减行梯形形式的唯一矩阵。

证明

我们已经解释了任何矩阵 A 是等效于缩小行梯形形式的矩阵的行,该矩阵可以导出 通过使用Gauss-Jordan消除算法。我们需要证明独特性。 假设两个矩阵  $ R_ {A} $  $ S_ {A} $ 处于简化的行梯形形式,并且它们都等于 A. 由于行对等是传递和对称的,  $ R_ {A} $  $ S_ {A} $ 与行等效。因此,他们的主要专栏的位置 重合。同样,它们的基本列的位置重合。但是我们 上面已经证明了  $ l $ -th 从左数起,RREF矩阵的基本列等于  $ l $ -th 规范基础的向量。因此,不仅是  $ R_ {A} $  $ S_ {A} $ 具有相同的位置,但它们对应的条目重合。的 非基本列是基本列的线性组合。按专栏 上面的对应属性,线性组合的系数为 一样  $ R_ {A} $  $ S_ {A} $ . 但是向量的线性组合也是重合的,因为 的列  $ R_ {A} $  $ S_ {A} $ 重合。因此,每个非基本列  $ R_ {A} $ 等于的相应非基本列  $ S_ {A} $ . 从而, $ R_ {A} = S_ {A} $, 证明矩阵的行等效RREF是唯一的。

这种唯一性结果的结果是,如果两个矩阵都排成一行 等效,则它们等效于相同的RREF矩阵。

主张 A 行等效于  $ B $ . 然后, A $ B $ 等效于相同的RREF矩阵  $ R_ {A} $ .

证明

表示为  $ R_ {A} $  $ R_ {B} $ 行等效于的RREF矩阵  $ A $  $ B $ 分别:[eq29] 哪里  $ E_ {A} $  $ E_ {B} $ 是基本矩阵的乘积。此外, A 行等于  $ B $ , 所以 那 [eq30] 哪里  $ E_ {AB} $ 是基本矩阵的乘积。我们将等式的两边预乘。 (3)通过  $ E_ {B} $ , 为了 得到 [eq31] 以来 $ E_ {B} E_ {AB} $ 是基本矩阵的乘积  $ R_ {B} $ 是等效于的RREF矩阵行 A. 但是RREF行等效矩阵是唯一的。因此, $ R_ {A} = R_ {B} $.

等级和等价

在本节中,我们提供了一些我们已经证明的结果的推论 前面的部分。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 可逆矩阵 。 然后, A 行等于  $ Kimes K $ 单位矩阵 I.

证明

根据以上结果,我们知道 A 行等效于唯一的RREF矩阵  $ R $ . 此外, A 可以转化为  $ R $ 通过基本的行运算,即通过预乘 A 通过可逆矩阵 E (等于用于执行该行的基本矩阵的乘积 操作):[eq32] 但 我们知道,预乘是可逆的(即, 全职 )矩阵 不会改变 秩 。因此,  $ R $ 是全职的。结果,所有的列  $ R $ 是基本的(不能有非基本列,因为 全秩矩阵都彼此线性独立)。但这意味着 那 K 的列  $ R $ K 空间的规范基础的向量 K尺寸 向量。换句话说,它们是 K 的列  $ Kimes K $ 单位矩阵因此,  $ R = I $ .

显然,由于身份矩阵 I 是缩减行梯形形式的矩阵,任何可逆矩阵都是等效的 到独特的RREF矩阵 I.

先前主张的直接后果如下。

主张 A 成为  $ Kimes K $ 可逆矩阵。然后, A 可以写成基本的产物 矩阵: [eq33] 哪里 [eq7] 是基本矩阵。

证明

根据先前的主张,身份 矩阵 I 行等于 A. 因此,根据行等效矩阵的定义,我们有 那 [eq35] 哪里 [eq7] 是基本矩阵。

前两个命题涉及平方可逆矩阵, 以下命题适用于可以是非平方和的矩阵 不可逆的。

主张  $ R $ 是与行等效的RREF矩阵 A. 然后 A $ R $ 具有相同的等级。等级等于1)的非零行数  $ R $ 或等效地,等于2)的基本列数  $ R $ .

证明

首先,请记住预乘 矩阵 A 通过可逆矩阵 E 不会改变等级 A. 结果,如果 E (基本矩阵的可逆积)变换 A 放入等效的RREF矩阵行中  $ R = EA $ , 我们有 那 [eq37] 的 等级  $ R $ 等于的线性独立列的最大数量  $ R $ . 的基本专栏  $ R $ 是线性独立的,而非基本列可以写为线性 基本组合。因此,排名  $ R $ 等于的基本列数  $ R $ . 此外,每个基本列都包含一个枢轴和每个非零行 包含一个枢轴。结果,等级也等于 的非零行  $ R $ .

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "行等效", 列克特 ures 上 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/row-equivalence.

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