本讲座定义了行等效的概念并证明了一些 关于行等效矩阵的命题是许多问题的核心 线性代数的重要结果。
我们从行等效的定义开始。
定义
让
和
是两个
矩阵。
行等于
当且仅当存在时
基本矩阵
这样
那
请记住,预乘
通过基本矩阵与执行
基本行
运作 上
.
因此,
行等于
当且仅当
可以转化为
通过执行一系列基本行操作
.
行等价关系是等价关系,因为它是:
对称的:如果
行等于
,
然后
行等于
;
可及的:如果
相当于
和
相当于
,
然后
相当于
;
反身:
等同于自身。
假设
行等于
.
由于基本矩阵是可逆的,并且其逆是基本的
矩阵,我们有
哪里
是基本矩阵。因此,
相当于
.
这证明了对称性。如果
相当于
和
相当于
,
然后
和
哪里
和
是基本矩阵。现在,将第一个方程式的两边乘以
:
然后,
相当于
,
也就是说,行等价是传递的。最后,对于任何基本矩阵
,
我们可以
写
以来
是基本的,这意味着我们可以改变
通过基本的行操作本身。结果,行
等价是反身的。
下一个命题陈述了行等效的重要属性,称为 列对应属性。
主张
让
和
是两个
矩阵。让
行等效于
.
表示为
和
的
-th
的列
和
分别。然后,
对于
一个
向量
当且仅
如果
以来
行等于
,
我们有
那
哪里
是基本的产品
矩阵:
此外,
根据矩阵乘积的定义(另请参见
这里 ):
从而,
我们可以
替代
和
在
的
方程
所以
关于
获得
通过
将双方预先相乘
,
我们
得到
从而,
我们已经证明
暗示
.
相反的含义
(
暗示
),
可以类似地证明。
换句话说,当
和
与行等效,
-th
的列
可以写成
线性的
一组给定列的组合 的
本身,系数取自向量
,
当且仅当
-th
的列
是对应的一组列的线性组合
,
取自相同向量的系数
.
以下是先前命题的有用推论。
主张
让
和
是两行等效矩阵。然后,一组列
是 线性独立 如果
并且仅当
是线性独立的。
证明是矛盾的。假设
一组列
是线性独立的,但对应的列
是线性相关的。随之而来的是一列
可以写成其他的线性组合
列:
哪里
.
特别是,存在一些非零的
对应于我们正在考虑的集合中的列。但是通过
先前的主张,这意味着
在
换句话说,一组列
不是线性独立的,是矛盾的。因此,如果一组列
的
是线性独立的,则对应的列
必须是线性独立的。可以证明相反的含义
类似地。
本节介绍了优势列的概念,将使用 下面研究行等效矩阵的属性。
定义
让
成为
矩阵。表示其
-th
列
.
我们说
当且仅当不能将其写为
线性组合 的
其左侧的列。
有关显性列的第一个简单结果如下。
主张
两个等效矩阵
和
具有相同的主导列集,即
的主要列
与的主要列的索引集一致
.
假设
是
.
然后,没有向量
这样
那
通过
上面的列对应属性,仅当且仅当
没有这样的载体
满意的
如
结果,
不能写为左侧各列的线性组合。因此,它
占主导地位。我们刚刚证明
只有在
占主导地位。相反含义的证明是相似的。这成立
对于任何
.
因此,在
也占主导地位
反之亦然。
例如,如果
是第二,第三和第五,然后是
是第二,第三和第五。
上面的命题使我们能够证明矩阵的一些性质 缩小排梯队 形成 .
请记住,当且仅在以下情况下,矩阵为缩减行梯形形式(RREF):
它所有的非零行都包含一个元素,称为透视,等于1,并且 在其下方和左侧的象限中只有零个条目;
每个枢轴都是其列中唯一的非零元素;
所有零行(如果有的话)都位于非零行的下方。
此外, 高斯-乔丹消除 算法 可用于通过以下方式将任何矩阵转换为RREF矩阵 基本行操作。因此,任何矩阵的行等效于RREF 矩阵。
请记住,基本列是包含枢轴的列,而非基本列 列不包含任何数据透视。
RREF矩阵的基本列是
规范基础,也就是说,他们
具有一个等于1的条目,而所有其他条目等于0。
此外,如果RREF矩阵具有
基本列,那么这些列是第一列
如以下命题所述,是规范基础的向量。
主张
让
是缩小行梯形形式的矩阵。然后,
-th
的基本专栏
,
从左边算起,等于
-th
规范基础的向量,即位置为1
并且其所有其他条目等于0。
通过RREF矩阵的定义,基本
的列
是规范基础的向量(它们有一个等于1的条目,而所有
其他条目等于0)。此外,所有非零行均包含枢轴。
因此,
-th
基本列包含
-th
枢轴,位于
-th
行。换句话说,等于1的枢轴是
-th
进入
-th
基本专栏。
现在,我们陈述一些有关基本列和非基本列的简单结果。
主张 减少行梯形形式的矩阵的基本列为优势列。
基本列包含等于1的数据透视。 并且枢纽左侧的所有条目都等于0。因此, 基本列不能写成其列的线性组合 左(0的线性组合不能等于1)。因此,它是主导 柱。
主张 减少行梯形形式的矩阵的非基本列不是主要的 柱。
如果列
是非基本的,也就是说,它没有枢轴,则可以编写
如
哪里
是其左侧的基本列数(
-th
必须为零,因为
-th
枢纽
,
左边只有0)。因此,非基本列
可以写为左侧各列的线性组合。对于
例如,如果
第一,第三和第四列是基本的
然后
从而,
如果列
是非基本的,它与左侧的列不是线性独立的。
因此,它不是主导列。
通过结合以上两个简单的命题,我们得到以下一个。
主张 如果矩阵是简化的行梯形形式,则其列之一是基本的 当且仅当它是主导的,并且它是非基本的,当且仅当它不是 优势。
根据上一个命题,如果某列是 占主导地位,那么它就不能是非基础的。因此,这是基本的。我们已经 建立了相反的含义(基本意味着占优势)。因此, 当且仅当是基本列时,该列才是主要列。的等价证明 非主要列是类似的。
因此,当矩阵为简化的行梯形形式时,我们可以使用 基本列和主导列可互换。
现在,我们准备陈述本演讲的最重要的主张。
主张 任何矩阵的行等效于缩减行梯形形式的唯一矩阵。
我们已经解释了任何矩阵
是等效于缩小行梯形形式的矩阵的行,该矩阵可以导出
通过使用Gauss-Jordan消除算法。我们需要证明独特性。
假设两个矩阵
和
处于简化的行梯形形式,并且它们都等于
.
由于行对等是传递和对称的,
和
与行等效。因此,他们的主要专栏的位置
重合。同样,它们的基本列的位置重合。但是我们
上面已经证明了
-th
从左数起,RREF矩阵的基本列等于
-th
规范基础的向量。因此,不仅是
和
具有相同的位置,但它们对应的条目重合。的
非基本列是基本列的线性组合。按专栏
上面的对应属性,线性组合的系数为
一样
和
.
但是向量的线性组合也是重合的,因为
的列
和
重合。因此,每个非基本列
等于的相应非基本列
.
从而,
,
证明矩阵的行等效RREF是唯一的。
这种唯一性结果的结果是,如果两个矩阵都排成一行 等效,则它们等效于相同的RREF矩阵。
主张
让
行等效于
.
然后,
和
等效于相同的RREF矩阵
.
表示为
和
行等效于的RREF矩阵
和
分别:
哪里
和
是基本矩阵的乘积。此外,
行等于
,
所以
那
哪里
是基本矩阵的乘积。我们将等式的两边预乘。 (3)通过
,
为了
得到
以来
是基本矩阵的乘积
是等效于的RREF矩阵行
.
但是RREF行等效矩阵是唯一的。因此,
.
在本节中,我们提供了一些我们已经证明的结果的推论 前面的部分。
显然,由于身份矩阵
是缩减行梯形形式的矩阵,任何可逆矩阵都是等效的
到独特的RREF矩阵
.
先前主张的直接后果如下。
主张
让
成为
可逆矩阵。然后,
可以写成基本的产物
矩阵:
哪里
是基本矩阵。
根据先前的主张,身份
矩阵
行等于
.
因此,根据行等效矩阵的定义,我们有
那
哪里
是基本矩阵。
前两个命题涉及平方可逆矩阵, 以下命题适用于可以是非平方和的矩阵 不可逆的。
主张
让
是与行等效的RREF矩阵
.
然后
和
具有相同的等级。等级等于1)的非零行数
或等效地,等于2)的基本列数
.
首先,请记住预乘
矩阵
通过可逆矩阵
不会改变等级
.
结果,如果
(基本矩阵的可逆积)变换
放入等效的RREF矩阵行中
,
我们有
那
的
等级
等于的线性独立列的最大数量
.
的基本专栏
是线性独立的,而非基本列可以写为线性
基本组合。因此,排名
等于的基本列数
.
此外,每个基本列都包含一个枢轴和每个非零行
包含一个枢轴。结果,等级也等于
的非零行
.
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "行等效", 列克特 ures 上 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/row-equivalence.