本讲座介绍了置换的符号(或签名)的概念 一组自然数。该概念将用于定义 一个的决定因素 矩阵.
我们将假设读者已经熟悉了 排列.
我们将处理第一个集合的排列
自然
数字
请记住,排列是排序元素的可能方法之一 一套。
我们将用
哪里
是排列的第一个元素,
是第二个,依此类推。
例
考虑前四个自然数的集合
数字然后,
是
排列。其元素可以表示为
如下:
另一个
排列
是
和
我们
写
还请记住,第一个的所有可能排列的数量
自然数是 阶乘 的
:
例
那里
是可能
前三个自然数的排列。他们
是
一个重要的概念是反演。
定义
排列的几个要素
和
当且仅当被称为反演
如果
但
换句话说,如果两个元素的自然顺序是 倒。
例
考虑以下前五个自然数的排列
数字:它
包含以下内容
反转:
现在,我们定义排列的奇偶性。
定义 据说是 甚至 当且仅当总数 它包含的反转次数为偶数。否则,据说是 奇.
在前面的例子中有
倒置。因此,该示例中置换的奇偶性很奇怪。
这是另一个例子。
例
考虑以下前四个自然数的排列
数字:它的
倒置
是
从而,
总共有
倒置。结果,排列是偶数。
现在我们准备定义符号(或签名)的概念。
定义
排列的征兆
,
表示为
是定义为
如下:
例
的
排列定义的
在前面的例子中是偶数。因此,
.
现在,我们要分析按元素顺序的简单变化 排列会影响其符号。
定义 交换排列的任何两个不同元素的操作是 称为换位。如果元素相邻,则称为 相邻换位。
例
考虑以下前五个自然数的排列
数字:的
交换其第二和第四元素的操作,以获得
新
排列
是
换位。如果我们现在互换第一和第二
元件
我们
正在执行相邻换位。
换位对奇偶校验的影响的特征如下。
主张 如果排列是奇数,则换位将其变为偶数。
主张 如果排列是偶数,则换位会使它变得奇怪。
让我们从一个简单的例子开始
相邻换位。让
和
是换位中涉及的两个元素。如果
和
不是反转,那么它们就会变成反转。没有其他反转
受移调的影响。结果,
排列的反转增加一个单位。相反,如果
和
是一个反转,然后通过互换它们,我们删除了反转,并且
反转总数减少一个单位。因此,
反演会减少或增加一个单位。如果是奇数,则变为
甚至。如果是偶数,则变为奇数。换句话说,这两个命题
以上保持相邻换位。现在让我们解决一下
换位不相邻。让
和
是涉及换位的两个元素。我们执行
相邻换位器移动
定位
(我们总是互换
右边有最近的元素)。执行这些之后
相邻的换位
位置正确
(
),
而
就位
.
我们现在执行
相邻换位器移动
定位
.
因此,我们执行一个奇数
(
)
相邻的换位。由于每个相邻的换位都会改变
排列的奇偶校验,其中奇数个会更改奇偶校验(偶数
变得奇怪,反之亦然)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
在
排列
反演
是所以,
有
倒置。
确定标志
排列
反演
是所以
有
反转,奇偶校验是奇数,排列的符号是
.
考虑一下
排列和
它的第一个和第四个元素的换位,
给予
写下一系列相邻的换位序列,以便获得 同样的结果。
我们首先将第一个元素移到
相邻的最后一个位置
换位:的
元件
现在处于倒数第二个位置,我们将其移动
向后:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "排列的迹象", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/sign-of-a-permutation.