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指数 > Matrix algebra

排列的标志

经过 ,博士学位

本讲座介绍了置换符号(或签名)的概念 一套自然数。该概念将用于定义 determinant of a matrix.

目录

第一个N自然数的排列

我们将假设读者已经熟悉了概念 permutation.

我们将处理第一个集合的排列 n natural numbers[eq1]

请记住,排列是订购元素的可能方法之一 of a set.

我们将表示排列 [eq2]在哪里 [eq3] 是排列的第一个元素, [eq4] 是第二,等等。

例子 考虑前四个自然的集合 numbers[eq5]然后,[eq6]是 排列。它的元素可以表示为 follows:[eq7]其他 permutation is[eq8]和 we write[eq9]

还记得第一个可能的所有可能排列的数量 n 自然数是 factorial of n: [eq10]

例子 There are[eq11]可能的 前三个自然数的排列。他们 are[eq12]

反转

一个重要的概念是反演。

定义 一些排列的元素 [eq13] and [eq14] 据说是一个反演的反演 if[eq15][eq16]

换句话说,如果他们的自然顺序是这样的两个元素是反转 inverted.

例子 考虑以下第五自然的以下排列 numbers:[eq17]它 包含以下内容 inversions:[eq18]

置换的奇偶校验

我们现在定义排列的奇偶校验。

定义 据说置换是 甚至 如果且仅当总数 它包含的终端数即使。否则,据说是 奇怪的.

在前面的例子中有 $7$ 反转。因此,该示例中的置换的奇偶校验是奇数。

这是另一个例子。

例子 考虑前四个自然的以下排列 numbers:[eq19]它的 inversions are[eq20]因此, there are a total of $4$ 反转。结果,置换甚至。

标志的定义

我们现在准备定义符号(或签名)的概念。

定义 排列的标志 $ pi $, denoted by [eq21] 是定义为的函数 follows:[eq22]

例子 The permutation[eq23]定义 在前面的例子中甚至。所以, [eq24].

换位

我们现在正在分析如何在元素的顺序变化 排列影响其标志。

定义 互换任何两个置换的不同元素的操作是 被称为换位。如果元素相邻,则它被称为 相邻的换位。

例子 考虑以下第五自然的以下排列 numbers:[eq25]这 互换其第二和第四元素的操作以便获得 new permutation[eq26]是 换位。如果我们现在互换第一个和第二个 element[eq27]我们 正在执行相邻的换位。

转子对奇偶校验的影响表征如下。

主张 如果置换是奇数,则换位使其变得偶数。

主张 如果甚至是置换,则换位使其奇数。

证明

让我们从更简单的情况开始 相邻的换位。让 [eq28] and [eq29] 是转置中涉及的两个元素。如果 [eq30] and [eq29] 不是反演,然后他们成为反演​​。没有其他反转 受转置的影响。结果,总数 置换中的逆转由一个单元增加。相反,如果 [eq32] and [eq29] 是一个反演,然后通过互换它们,我们去除反转 终端的总次数由一个单位减少。因此,数量 逆转减少或增加一个单位。如果它是奇数,它就变成了 甚至。如果它是偶数,它变得奇怪。换句话说,两个命题 以上保持相邻换位。现在让我们解决这种情况 换位不相邻。让 [eq30] and [eq35] 是转置中涉及的两个元素。我们表演 $ m $. 相邻的换位移动 [eq30] to position $ i + m $ (我们总是互换 [eq30] 右边有最近的元素)。在执行这些之后 $ m $. 相邻的换位, [eq38] 处于正确的位置 ($ i + m $), while [eq39] is in position $ i + m-1 $. We now perform $m-1$ 相邻的换位移动 [eq40] to position i. 因此,我们执行一个奇数 ($2m-1$) 相邻的换位。由于每个相邻的换位改变 置换的奇偶校验,它们的奇数更改了奇偶校验(偶数 变得奇怪,反之亦然)。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

查找中的终端数 permutation[eq41]

解决方案

反转 are[eq42]所以, there are $5$ inversions.

练习2

确定标志 permutation[eq43]

解决方案

反转 are[eq44]所以 there are $3$ endersions,奇偶校验是奇数,排列的符号是 $-1$.

练习3.

Consider the permutation[eq45]和 其第一和第四元素的转换, giving[eq46]

写下允许获得的相邻换位序列 same result.

解决方案

我们首先将第一个元素移动到 邻近的最后位置 transpositions:[eq47]这 element [eq48] 现在在倒数第二个位置,我们移动它 backwards:[eq49]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "排列的标志", Lectures on matrix algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/sign-of-a-permutation.

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