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排列的迹象

通过 博士

本讲座介绍了置换的符号（或签名）的概念 一组自然数。该概念将用于定义 一个的决定因素 矩阵.

目录

目录

  1. 前n个自然数的排列

  2. 反演

  3. 排列奇偶

  4. 标志的定义

  5. 换位

  6. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

前n个自然数的排列

我们将假设读者已经熟悉了 排列.

我们将处理第一个集合的排列 n 自然 数字[eq1]

请记住，排列是排序元素的可能方法之一 一套。

我们将用 [eq2]哪里 [eq3] 是排列的第一个元素， [eq4] 是第二个，依此类推。

例 考虑前四个自然数的集合 数字[eq5]然后，[eq6]是 排列。其元素可以表示为 如下：[eq7]另一个 排列 是[eq8]和 我们 写[eq9]

还请记住，第一个的所有可能排列的数量 n 自然数是 阶乘 的 n: [eq10]

例 那里 是[eq11]可能 前三个自然数的排列。他们 是[eq12]

反演

一个重要的概念是反演。

定义 排列的几个要素 [eq13] 和 [eq14] 当且仅当被称为反演 如果[eq15]但[eq16]

换句话说，如果两个元素的自然顺序是 倒。

例 考虑以下前五个自然数的排列 数字：[eq17]它 包含以下内容 反转：[eq18]

排列奇偶

现在，我们定义排列的奇偶性。

定义 据说是 甚至 当且仅当总数 它包含的反转次数为偶数。否则，据说是 奇.

在前面的例子中有 $7$ 倒置。因此，该示例中置换的奇偶性很奇怪。

这是另一个例子。

例 考虑以下前四个自然数的排列 数字：[eq19]它的 倒置 是[eq20]从而， 总共有 $4$ 倒置。结果，排列是偶数。

标志的定义

现在我们准备定义符号（或签名）的概念。

定义 排列的征兆 $ pi $, 表示为 [eq21] 是定义为 如下：[eq22]

例 的 排列[eq23]定义的 在前面的例子中是偶数。因此， [eq24].

换位

现在，我们要分析按元素顺序的简单变化 排列会影响其符号。

定义 交换排列的任何两个不同元素的操作是 称为换位。如果元素相邻，则称为 相邻换位。

例 考虑以下前五个自然数的排列 数字：[eq25]的 交换其第二和第四元素的操作，以获得 新 排列[eq26]是 换位。如果我们现在互换第一和第二 元件[eq27]我们 正在执行相邻换位。

换位对奇偶校验的影响的特征如下。

主张 如果排列是奇数，则换位将其变为偶数。

主张 如果排列是偶数，则换位会使它变得奇怪。

证明

让我们从一个简单的例子开始 相邻换位。让 [eq28] 和 [eq29] 是换位中涉及的两个元素。如果 [eq30] 和 [eq29] 不是反转，那么它们就会变成反转。没有其他反转 受移调的影响。结果， 排列的反转增加一个单位。相反，如果 [eq32] 和 [eq29] 是一个反转，然后通过互换它们，我们删除了反转，并且 反转总数减少一个单位。因此， 反演会减少或增加一个单位。如果是奇数，则变为 甚至。如果是偶数，则变为奇数。换句话说，这两个命题 以上保持相邻换位。现在让我们解决一下 换位不相邻。让 [eq30] 和 [eq35] 是涉及换位的两个元素。我们执行 $ m $ 相邻换位器移动 [eq30] 定位 $ i + m $ （我们总是互换 [eq30] 右边有最近的元素）。执行这些之后 $ m $ 相邻的换位 [eq38] 位置正确 ($ i + m $）， 而 [eq39] 就位 $ i + m-1 $. 我们现在执行 $m-1$ 相邻换位器移动 [eq40] 定位 i. 因此，我们执行一个奇数 ($2m-1$) 相邻的换位。由于每个相邻的换位都会改变 排列的奇偶校验，其中奇数个会更改奇偶校验（偶数 变得奇怪，反之亦然）。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

在 排列[eq41]

解

反演 是[eq42]所以， 有 $5$ 倒置。

练习2

确定标志 排列[eq43]

解

反演 是[eq44]所以 有 $3$ 反转，奇偶校验是奇数，排列的符号是 $-1$.

练习3

考虑一下 排列[eq45]和 它的第一个和第四个元素的换位， 给予[eq46]

写下一系列相邻的换位序列，以便获得 同样的结果。

解

我们首先将第一个元素移到 相邻的最后一个位置 换位：[eq47]的 元件 [eq48] 现在处于倒数第二个位置，我们将其移动 向后：[eq49]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "排列的迹象", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/sign-of-a-permutation.

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