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统计列克特
指数 > 矩阵代数

排列的迹象

通过 博士

本讲座介绍了置换的符号(或签名)的概念 一组自然数。该概念将用于定义 一个的决定因素 矩阵.

目录

前n个自然数的排列

我们将假设读者已经熟悉了 排列.

我们将处理第一个集合的排列 n 自然 数字[eq1]

请记住,排列是排序元素的可能方法之一 一套。

我们将用 [eq2]哪里 [eq3] 是排列的第一个元素, [eq4] 是第二个,依此类推。

考虑前四个自然数的集合 数字[eq5]然后,[eq6]是 排列。其元素可以表示为 如下:[eq7]另一个 排列 是[eq8]和 我们 写[eq9]

还请记住,第一个的所有可能排列的数量 n 自然数是 阶乘n: [eq10]

那里 是[eq11]可能 前三个自然数的排列。他们 是[eq12]

反演

一个重要的概念是反演。

定义 排列的几个要素 [eq13][eq14] 当且仅当被称为反演 如果[eq15][eq16]

换句话说,如果两个元素的自然顺序是 倒。

考虑以下前五个自然数的排列 数字:[eq17]它 包含以下内容 反转:[eq18]

排列奇偶

现在,我们定义排列的奇偶性。

定义 据说是 甚至 当且仅当总数 它包含的反转次数为偶数。否则,据说是 .

在前面的例子中有 $7$ 倒置。因此,该示例中置换的奇偶性很奇怪。

这是另一个例子。

考虑以下前四个自然数的排列 数字:[eq19]它的 倒置 是[eq20]从而, 总共有 $4$ 倒置。结果,排列是偶数。

标志的定义

现在我们准备定义符号(或签名)的概念。

定义 排列的征兆 $ pi $, 表示为 [eq21] 是定义为 如下:[eq22]

的 排列[eq23]定义的 在前面的例子中是偶数。因此, [eq24].

换位

现在,我们要分析按元素顺序的简单变化 排列会影响其符号。

定义 交换排列的任何两个不同元素的操作是 称为换位。如果元素相邻,则称为 相邻换位。

考虑以下前五个自然数的排列 数字:[eq25]的 交换其第二和第四元素的操作,以获得 新 排列[eq26]是 换位。如果我们现在互换第一和第二 元件[eq27]我们 正在执行相邻换位。

换位对奇偶校验的影响的特征如下。

主张 如果排列是奇数,则换位将其变为偶数。

主张 如果排列是偶数,则换位会使它变得奇怪。

证明

让我们从一个简单的例子开始 相邻换位。让 [eq28][eq29] 是换位中涉及的两个元素。如果 [eq30][eq29] 不是反转,那么它们就会变成反转。没有其他反转 受移调的影响。结果, 排列的反转增加一个单位。相反,如果 [eq32][eq29] 是一个反转,然后通过互换它们,我们删除了反转,并且 反转总数减少一个单位。因此, 反演会减少或增加一个单位。如果是奇数,则变为 甚至。如果是偶数,则变为奇数。换句话说,这两个命题 以上保持相邻换位。现在让我们解决一下 换位不相邻。让 [eq30][eq35] 是涉及换位的两个元素。我们执行 $ m $ 相邻换位器移动 [eq30] 定位 $ i + m $ (我们总是互换 [eq30] 右边有最近的元素)。执行这些之后 $ m $ 相邻的换位 [eq38] 位置正确 ($ i + m $), 而 [eq39] 就位 $ i + m-1 $. 我们现在执行 $m-1$ 相邻换位器移动 [eq40] 定位 i. 因此,我们执行一个奇数 ($2m-1$) 相邻的换位。由于每个相邻的换位都会改变 排列的奇偶校验,其中奇数个会更改奇偶校验(偶数 变得奇怪,反之亦然)。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

在 排列[eq41]

反演 是[eq42]所以, 有 $5$ 倒置。

练习2

确定标志 排列[eq43]

反演 是[eq44]所以 有 $3$ 反转,奇偶校验是奇数,排列的符号是 $-1$.

练习3

考虑一下 排列[eq45]和 它的第一个和第四个元素的换位, 给予[eq46]

写下一系列相邻的换位序列,以便获得 同样的结果。

我们首先将第一个元素移到 相邻的最后一个位置 换位:[eq47]的 元件 [eq48] 现在处于倒数第二个位置,我们将其移动 向后:[eq49]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "排列的迹象", 列克特ures on 矩阵 algebra. //www.junruiqiche.com/matrix-algebra/sign-of-a-permutation.

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